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相关试卷

1、“中国天眼”射电望远镜的反射面的形状为球冠（球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆面为底，垂直于圆面的直径被截得的部分为高，球冠面积 $S = 2 π R h$ ，其中R为球的半径， $h$ 为球冠的高），设球冠底的半径为r，周长为C，球冠的面积为S，则当 $C = 2 \sqrt{10} π$ ， $S = 14 π$ 时， $\frac{r}{R} =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{7}$ B、 $\frac{2 \sqrt{10}}{7}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{8}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{4}$

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2、如图的平面图形由16个全部是边长为2且有一个内角为 $60^{\circ}$ 的菱形组成，那么图形中的向量 $\vec{A B}, \vec{C D}$ 的数量积 $\vec{A B} \cdot \vec{C D} =$ （）

A、34 B、 $20 + 14 \sqrt{3}$ C、6 D、15

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3、如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现，我们来重温这个伟大发现，圆柱的表面积与球的表面积之比为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、2 C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{4}{3}$

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4、已知向量 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 是平面上两个不共线的单位向量，且 $\vec{A B} = \vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}$ ， $\vec{B C} = - 3 \vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}$ ， $\vec{D A} = 3 \vec{e_{1}} - 6 \vec{e_{2}}$ ，则（）

A、 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 三点共线 B、 $A$ 、 $B$ 、 $D$ 三点共线 C、 $A$ 、 $C$ 、 $D$ 三点共线 D、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 三点共线

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5、复数 $z$ 满足 $i (z + i) = 1 + i$ ，则 $z =$ （）

A、 $1 - 2 i$ B、 $1 + 2 i$ C、 $2 + i$ D、 $- 1 + 2 i$

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6、已知函数 $f (x) = x^{2} - a x$ .

(1)、若 $f (x) + 2 \geq 0$ 恒成立，求 $a$ 的最大值；

(2)、若 $f (x)$ 在 $[- 1, 5]$ 上单调，求 $a$ 的取值范围；

(3)、求 $f (x)$ 在 $[1, 3]$ 上的最小值为 $- \frac{5}{4} a$ ，求 $a$ .

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7、方同学积极响应国家“全面实施乡村振兴战略”的号召，大学毕业后回到家乡，利用所学专业进行自主创业，自主研发生产A产品．经过市场调研，生产A产品需投入固定成本1万元，每生产x（单位：万元），需再投入流动成本 $C (x)$ （单位：万元），当年产量小于9万件时， $C (x) = \frac{4}{x} + 6 x - 8$ ，当年产量不小于9万件时， $C (x) = 5 x + \ln x + \frac{e^{3}}{x} - 12$ ．已知每件A产品的售价为5元，若方同学生产的A产品当年全部售完．

(1)、写出年利润 $P (x)$ （单位：万元）关于年产量x的函数解析式；（注：年利润 $=$ 年销售收入 $-$ 固定成本 $-$ 流动成本）

(2)、当年产量约为多少万件时，方同学的A产品所获年利润最大？最大年利润是多少？（注：取 $e^{3} \approx 20$ ）

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8、已知函数 $f (x) = ln x + a x + 2$

(1)、若函数 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处取得极值，求 $a$ 的值；

(2)、若函数 $f (x)$ 在定义域内存在两个零点，求 $a$ 的取值范围.

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9、已知函数 $f (x) = a x + \frac{3}{x} + 2 ln x$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线平行于 $x$ 轴．

(1)、求实数 $a$ ；

(2)、求 $f (x)$ 的单调区间和极值．

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10、函数 $f (x) = \frac{\ln x}{x}$ 的极大值是.

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11、在 ${(x - \frac{1}{x})}^{6}$ 的二项展开式中，常数项等于.

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12、函数 $f (x)$ 的定义域为R，它的导函数 $y = f^{'} (x)$ 的部分图象如图所示，则下面结论正确的是（）

A、在 $(1, 2)$ 上函数 $f (x)$ 为增函数 B、在 $(3, 5)$ 上函数 $f (x)$ 为增函数 C、在 $(1, 3)$ 上函数 $f (x)$ 有极大值 D、 $x = 3$ 是函数 $f (x)$ 在区间 $[1, 5]$ 上的极小值点

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13、若不等式 $x \ln x + x (1 - k) + 2 k > 0$ 对任意的 $x \in (2, + \infty)$ 都恒成立，则整数 $k$ 的最大值为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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14、已知 ${(1 - 2 x)}^{7} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{7} x^{7}$ ，那么 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} + a_{6} + a_{7} =$ （）

A、 $- 2$ B、2 C、 $- 12$ D、12

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15、甲､乙､丙､丁四名同学和一名老师站成一排合影留念.若老师站在正中间，甲同学不与老师相邻，乙同学与老师相邻，则不同站法种数为

A、24 B、12 C、8 D、6

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16、设 $S_{n}$ 是等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和，若 $a_{2} + a_{5} + a_{8} = 15$ ，则 $S_{9} =$ （）

A、15 B、30 C、45 D、60

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17、已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} a x^{3} - 4 x + 4 (a \in R)$ 在 $x = - 2$ 处取得极值．

(1)、确定 $a$ 的值并求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若关于 $x$ 的方程 $f (x) = b$ 至多有两个根，求实数 $b$ 的取值范围．

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18、为弘扬中华优秀传统文化，荣造良好的文化氛围，某高中校团委组织非毕业年级开展了“我们的元宵节”主题知识竞答活动，该活动有个人赛和团体赛，每人只能参加其中的一项，根据各位学生答题情况，获奖学生人数统计如下：
奖项组别
个人赛
团体赛获奖
一等奖
二等奖
三等奖
高一
20
20
60
50
高二
16
29
105
50

(1)、从获奖学生中随机抽取1人，若已知抽到的学生获得一等奖，求抽到的学生来自高一的概率；

(2)、从高一和高二获奖者中各随机抽取1人，以 $X$ 表示这2人中团体赛获奖的人数，求 $X$ 的分布列和数学期望；

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19、已知 ${(1 + m x)}^{7} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{7} x^{7}$ ，展开式中二项式系数的最大值为 $7 m$ .

(1)、求 $m$ 的值；

(2)、求 $a_{1} + a_{3} + a_{5} + a_{7}$ 的值（结果可以保留指数形式）.

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20、2023年第57届世界乒乓球锦标赛在南非德班拉开帷幕，参赛选手甲、乙进入了半决赛，半决赛采用五局三胜制，当选手甲、乙两位中有一位赢得三局比赛时，就由该选手晋级而比赛结束．每局比赛皆须分出胜负，且每局比赛的胜负不受之前比赛结果影响．假设甲在任一局赢球的概率为 $p (0 \leq p \leq 1)$ ，比赛局数的期望值记为 $f (p)$ ，则 $f (p)$ 的最大值是．

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奖项组别	个人赛			团体赛获奖
奖项组别	一等奖	二等奖	三等奖	团体赛获奖
高一	20	20	60	50
高二	16	29	105	50