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相关试卷

1、已知抛物线的方程 $P : x^{2} = 4 y$ ，现将抛物线绕其顶点分别逆时针旋转 $90^{\circ}$ 、 $180^{\circ}$ 、 $270^{\circ}$ 后得另外三条曲线，四条曲线相交围成如图阴影区域的封闭图形， $A$ 、 $B$ 分别为曲线在第一象限和第四象限的交点．

(1)、求 $| A B |$ 的长度．

(2)、求直线 $x + y = t$ 被第一象限封闭图形截的弦长最大值．

(3)、求证：阴影区域的面积不大于32．

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2、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ 是棱 $B C$ 的中点， $N$ 是棱 $D D_{1}$ 上的动点（含端点）．

(1)、若 $N$ 是棱 $D D_{1}$ 的中点，求过 $A$ ， $M$ ， $N$ 的平面截正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 表面所得的截面图形的周长．

(2)、若 $C N$ 与平面 $A B_{1} C$ 所成的角为 $θ$ ，求 $\sin θ$ 的取值范围．

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3、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $A$ 为椭圆 $C$ 的右顶点， $B$ 为椭圆 $C$ 的上顶点， $P$ 为椭圆 $C$ 上与椭圆顶点不重合的动点，直线 $P A$ 与 $y$ 轴交于点 $N$ ，直线 $P B$ 与 $x$ 轴交于点 $M$ ．

(1)、求 $|A M| \cdot |B N|$ 的值．

(2)、求 $△ P A B$ 面积最大值．

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4、设 $m \in R$ ，直线 $l_{1} : 2 x + y - m = 0$ ，直线 $l_{2} : 2 x + y - 5 = 0$ ．

(1)、若直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的距离为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，求 $m$ 的值．

(2)、若直线 $l_{1}$ 与两坐标轴的正半轴所围成的三角形的面积为4，求 $m$ 的值．

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5、由双曲线的光学性质可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角．已知 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别为双曲线 $C : \frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{5} = 1$ 的左、右焦点，过 $C$ 右支上一点 $A (x_{0}, y_{0}) (x_{0} > 2)$ 作双曲线 $C$ 的切线交 $x$ 轴于点 $M$ ，交 $y$ 轴于点 $N$ ，过点 $F_{1}$ 作 $F_{1} H ⊥ A M$ ，垂足为 $H$ ， $O$ 为原点，求 $|O H| =$ ．

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6、已知 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 是空间的一组基底，其中 $\vec{A B} = 2 \vec{a} - 3 \vec{b}$ ， $\vec{A C} = \vec{a} - \vec{c}$ ， $\vec{A D} = 2 \vec{b} + λ \vec{c}$ ．若 $A, B, C, D$ 四点共面，则 $λ =$ ．

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7、 $\forall x$ ， $y \in R$ ，函数 $f (x, y) = \sqrt{{(x - 1)}^{2} + {(y - 4)}^{2}} + \frac{1}{5} |3 x + 4 y - 5|$ 的最小值为.

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8、已知椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，双曲线 $C_{2} : \frac{x^{2}}{m^{2}} - \frac{y^{2}}{n^{2}} = 1 (m > 0, n > 0)$ 的顶点与椭圆 $C_{1}$ 的焦点重合，一条渐近线与椭圆 $C_{1}$ 的一个交点为 $A (\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，则（）

A、椭圆 $C_{1}$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ B、双曲线 $C_{2}$ 的离心率为 $\sqrt{5}$ C、过椭圆 $C_{1}$ 右顶点且垂直于 $x$ 轴的直线被双曲线 $C_{2}$ 截得的弦长为 $\sqrt{3}$ D、椭圆 $C_{1}$ 上到直线 $O A$ （ $O$ 为原点）距离最大的点有2个

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9、已知直线 $l : k x - y + 1 + 2 k = 0$ 与圆 $M : {(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$ ，则（）

A、直线 $l$ 的方程可转化为 $k (x + 2) + 1 = y$ ，即直线 $l$ 过定点 $P (- 2, 1)$ ． B、若直线 $l$ 与圆 $M$ 有公共点，则实数 $k$ 的取值范围为 $[- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}]$ C、若圆 $M$ 上恰有3个点到直线 $l$ 的距离为1，则 $k = \pm \frac{\sqrt{15}}{15}$ D、若直线 $l$ 与圆 $M$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，则 $\vec{M A} \cdot \vec{M B}$ 的取值范围为 $[- 4, 4]$

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10、如图，在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D = A A_{1} = 2$ ， $∠ B A D = \frac{2 π}{3}$ ， $E$ ， $F$ 分别为 $C_{1} D_{1}$ ， $A_{1} D_{1}$ 的中点，则（）

A、 $\vec{A E} = \frac{1}{2} \vec{A B} + \vec{A D} + \vec{A A_{1}}$ B、 $\vec{B F} = \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A D} + \vec{A A_{1}}$ C、 $\vec{A B} \cdot \vec{A E} = 0$ D、 $\vec{A B} \cdot \vec{B F} = - 5$

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11、在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，若 $\vec{B_{1} P} = \frac{1}{3} \vec{B_{1} C}$ ，则平面 $A_{1} B P$ 与平面 $A_{1} B_{1} P$ 夹角的余弦值（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$

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12、类比椭圆的方程 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 我们可以得到一个新的曲线方程 $C : \frac{x^{4}}{16} + y^{4} = 1$ ，曲线 $C$ 上的点到原点 $O$ 的距离平方最大值为（）

A、1 B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{15}$ D、 $\sqrt{17}$

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13、在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别在棱 $B B_{1}$ ， $D D_{1}$ 上，且 $B E = \frac{1}{4} B B_{1}$ ， $D F = \frac{1}{3} D D_{1}$ ．若 $\vec{E F} = x \vec{A B} + y \vec{A D} + z \vec{A A_{1}}$ ，则 $x + y + z =$ （）

A、 $- \frac{1}{12}$ B、 $\frac{1}{12}$ C、 $\frac{25}{12}$ D、 $- \frac{1}{6}$

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14、已知圆 $O : x^{2} + y^{2} = 1$ ，直线 $x - y + a = 0$ 上存在点 $P$ ，过点 $P$ 作圆 $O$ 的两条切线，切点为 $A$ ， $B$ ，使得 $∠ A P B = 60^{\circ}$ ，则 $a$ 的取值范围（）

A、 $[- 2, 2]$ B、 $(- \infty, 2]$ C、 $[- 2 \sqrt{2}, 2 \sqrt{2}]$ D、 $[- 2 \sqrt{2}, + \infty)$

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15、若 $\vec{a} = (- 1, 2, 1)$ ， $\vec{b} = (1, 2, - 3)$ ，则 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (2 \vec{a} - \vec{b}) =$ （）

A、 $- 2$ B、4 C、 $- 21$ D、26

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16、已知直线 $a x - 4 y - 1 = 0$ 与直线 $a x + (a + 1) y + 4 = 0$ 平行，则 $a =$ （）

A、 $- 5$ B、 $- 5$ 或0 C、1 D、1或0

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17、圆 $x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y + 3 = 0$ 的圆心到直线 $x + y + 1 = 0$ 的距离为（）

A、2 B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、1 D、 $\sqrt{2}$

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18、已知抛物线 $C : x^{2} = 16 y$ 的焦点为 $F$ ，点 $M (x_{0}, y_{0})$ 为抛物线 $C$ 上一点，若 $|M F| = 2 y_{0}$ ，则 $y_{0} =$ （）

A、4 B、 $4 \sqrt{2}$ C、8 D、 $8 \sqrt{2}$

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19、若圆锥的表面积为 $12 π$ ，底面圆的半径为2，则该圆锥的体积为（）

A、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3} π$ B、 $4 \sqrt{3} π$ C、 $\frac{8 \sqrt{3}}{3} π$ D、 $8 \sqrt{3} π$

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20、下列四个正方体中， $A$ ， $B$ ， $C$ 为所在棱的中点， $D$ ， $E$ ， $F$ 为正方体的三个顶点，则能得出平面 $A B C / /$ 平面 $D E F$ 的是（）

A、 B、 C、 D、

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