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相关试卷

1、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 2$ ， $\frac{a_{n + 1} + a_{n}}{2} = {(\frac{a_{n + 1} - a_{n}}{2})}^{2}$ ，则 $a_{20}$ 的最大值为（）

A、420 B、380 C、342 D、6

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2、若直线 $l : k x + y + 2 k - 1 = 0$ 与 $⊙ C : x^{2} + {(y - 3)}^{2} = 16$ 交于 $A, B$ 两点，则 $|A B|$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $4 \sqrt{2}$ D、 $6 \sqrt{2}$

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3、设等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $S_{9} = 27$ ． $a_{3} \cdot a_{7} = 5$ ，则等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差为（）

A、1 B、2 C、 $\pm 1$ D、 $\pm 2$

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4、已知直线 $y = x + 3$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{m} = 1$ 有公共点，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(0, 4]$ B、 $(- \infty, 0]\cup[4, + \infty)$ C、 $[4, + \infty)$ D、 $[4, 5) \cup (5, + \infty)$

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5、已知圆 $C_{1} : {(x + 2)}^{2} + y^{2} = 4$ 与圆 $C_{2} : {(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 9$ ，则圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 的位置关系是（）

A、相交 B、外离 C、外切 D、内含

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6、4与9的等比中项为（）

A、6 B、 $- 6$ C、 $\pm 6$ D、6.5

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7、已知在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，记其面积为 $S$ ，则有 $4 S = a^{2} + b^{2} - c^{2}$

(1)、求 $C$ ；

(2)、若 $c = \sqrt{2}$ ，求 $S$ 的最大值．

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8、设 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是不共线的两个非零向量．

(1)、若 $\vec{O A} = 2 \vec{a} - \vec{b}$ ， $\vec{O B} = 3 \vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{a} - 3 \vec{b}$ ，求证： $A$ ， $B$ ， $C$ 三点共线；

(2)、若 $\vec{A B} = \vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{B C} = 2 \vec{a} - 3 \vec{b}$ ， $\vec{C D} = 2 \vec{a} - k \vec{b}$ ，且 $A$ ， $C$ ， $D$ 三点共线，求 $k$ 的值．

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9、如图，正方形 $A B C D$ 中， $\vec{D E} = 2 \vec{E C}$ ， $P$ 是线段 $B E$ 上的动点且 $\vec{A P} = x \vec{A B} + y \vec{A D}$ （ $x > 0, y > 0$ ），则 $\frac{3}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值为．

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10、在 $△ A B C$ 中， $O$ 是边 $B C$ 的中点， $\vec{A P} = t \vec{A O}$ ，过点 $P$ 的直线 $l$ 交直线 $A B, A C$ 分别于 $M, N$ 两点，且 $\vec{A M} = m \vec{A B}, \vec{A N} = n \vec{A C}$ ，则 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n} =$ .

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11、已知 $\{e_{1}, e_{2}\}$ 是平面 $α$ 内所有向量的一组基，且 $\vec{a} = e_{1} + e_{2}, \vec{b} = 3 e_{1} - 2 e_{2}, \vec{c} = 2 e_{1} + 3 e_{2}$ ，若 $\vec{c} =$ $λ \vec{a} + μ \vec{b} (λ, μ \in R)$ ，则 $λ + μ =$ ．

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12、在 $△ A B C$ 中， $\vec{A B} = \vec{c}, \vec{A C} = \vec{b}$ ，点 $M$ 满足 $\vec{B M} = λ \vec{B C} (0 < λ < 1)$ ，若 $\vec{A M} = \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{2}{3} \vec{c}$ ，则 $λ$ 的值为.

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13、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 满足 $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 2$ ， $|\vec{a} - \vec{b}| = 2$ ， $|2 \vec{a} - \vec{c}| = \sqrt{3}$ ，则 $|\vec{c} - \vec{b}|$ 的最大值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $3 \sqrt{3}$ D、 $4 \sqrt{3}$

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14、已知 $△ A B C$ 的内角A， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，面积为 $S$ ，若 $a \sin \frac{A + C}{2} = b \sin A$ ， $6 S = \sqrt{3} \vec{A B} \cdot \vec{A C}$ ，则 $△ A B C$ 的形状是（）

A、等腰三角形 B、直角三角形 C、正三角形 D、等腰直角三角形

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15、已知平面向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{6}$ ，且 $|\vec{a}| = \sqrt{3}, |\vec{b}| = 2$ ，在 $△ A B C$ 中， $\vec{A B} = 2 \vec{a} + 2 \vec{b}, \vec{A C} = 2 \vec{a} - 6 \vec{b}$ ， D为BC的中点，则 $|\vec{A D}|$ 等于（）

A、2 B、4 C、6 D、8

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16、在 $△ A B C$ 中， $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A C} = \vec{b}$ ，若 $\vec{A C} = 2 \vec{E C}, \vec{B C} = 2 \vec{D C}$ ，线段 $A D$ 与 $B E$ 交于点 $F$ ，则 $\vec{C F} =$ （）

A、 $\frac{1}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b}$ B、 $\frac{1}{3} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b}$ C、 $- \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b}$ D、 $- \frac{1}{3} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b}$

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17、已知等边三角形 $A B C$ 边长为 $2$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{B C} =$ （）

A、 $- 2$ B、 $2$ C、 $- 2 \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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18、下列运算正确的个数是（）
① $(- 3) \cdot 2 \vec{a} = - 6 \vec{a}$ ；
② $2 (\vec{a} + \vec{b}) - (2 \vec{b} - \vec{a}) = 3 \vec{a}$ ；
③ $(\vec{a} + 2 \vec{b}) - (2 \vec{b} + \vec{a}) = 0$ .

A、0 B、1 C、2 D、3

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19、如图所示，点O为正六边形ABCDEF的中心，则可作为基底的一对向量是（）

A、 $\vec{O A}, \vec{B C}$ B、 $\vec{O A}, \vec{C D}$ C、 $\vec{A B}, \vec{C F}$ D、 $\vec{A B}, \vec{D E}$

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20、如图，圆C的半径为3，其中A，B为圆C上两点.

(1)、若 $\cos ∠ C A B = \frac{1}{3}$ ，当k为何值时， $\vec{A C} + 2 \vec{A B}$ 与 $k \vec{A C} - \vec{A B}$ 垂直？

(2)、若G为 $△ A B C$ 的重心，直线l过点G交边AB于点P，交边AC于点Q，且 $\vec{A P} = λ \vec{A B} ， \vec{A Q} = μ \vec{A C}$ ，求 $λ + μ + \frac{2}{3}$ 最小值.

(3)、若 $|\vec{A C} + t \vec{A B}|$ 的最小值为1，求 $|\vec{A B}|$ 的值.

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