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相关试卷

1、直线 $x + y - 1 = 0$ 的倾斜角的正切值为（）

A、 $- 1$ B、 $1$ C、 $0$ D、 $2$

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2、如图所示，正方形 $A B C D$ 所在平面与梯形 $A B M N$ 所在平面垂直， $M B / / A N$ ， $N A = A B = 2$ ， $B M = 4$ ， $C N = 2 \sqrt{3}$ ．

(1)、证明： $M B ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、在线段 $C M$ （不含端点）上是否存在一点E，使得二面角 $E - B N - M$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，若存在求出的 $\frac{C E}{E M}$ 值，若不存在请说明理由．

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3、某工艺品售卖店，为了更好地进行工艺品售卖，进行了销售情况的调查研究．通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去一个月（以30天计），每件的销售价格 $φ (x)$ （单位：元）与时间第 $x$ 天的函数关系近似满足 $φ (x) = 10 + \frac{k}{x}$ ，（ $k > 0$ ），日销售量 $g (x)$ （单位：件）与时间第 $x$ 天的部分数据如下表所示：
$x$
10
15
20
25
30
$g (x)$
50
55
60
55
50
已知第10天的日销售收入为505元．

(1)、求 $k$ 的值；

(2)、给出以下三个函数模型：① $g (x) = a x + b$ ；② $g (x) = \frac{a}{x} - b$ ；③ $g (x) = a |x - m| + b$ ．根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述在过去一个月内日销售量 $g (x)$ 与时间第 $x$ 天的变化关系，并求出该函数解析式及定义域；

(3)、设在过去一个月内该工艺品的日销售收入为 $f (x)$ （单位：元），求 $f (x)$ 的最小值．

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4、下列说法正确的是（）

A、若 $f (x)$ 的定义域为 $(- 2, 4)$ ，则 $f (2 x)$ 的定义域为 $(- 1, 2)$ B、 $f (x) = \frac{x^{2}}{x}$ 和 $g (x) = x$ 表示同一个函数 C、函数 $y = 2 x - \sqrt{1 - x}$ 的值域为 $(- \infty, \frac{17}{8}]$ D、函数 $f (x)$ 满足 $f (x) - 2 f (- x) = 2 x - 1$ ，则 $f (x) = \frac{2}{3} x + 1$

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5、设函数 $f (x) = \frac{e^{2 x} + \sin x}{1 + x^{2}}$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, 1)$ 处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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6、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形，侧棱 $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P D = D C, E$ 是 $P C$ 的中点，作 $E F ⊥ P B$ 交 $P B$ 于点 $F$ .

(1)、求证： $P A$ $∥$ 面 $E D B$ ；

(2)、求证： $P B ⊥$ 平面 $E F D$ ；

(3)、求直线PA与平面 $P B D$ 的夹角的正弦值.

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7、如图，在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为线段 $D D_{1}$ 的中点， $F$ 为线段 $B B_{1}$ 的中点.

(1)、求点 $A_{1}$ 到直线 $B_{1} E$ 的距离；

(2)、求直线 $F C_{1}$ 到直线 $A E$ 的距离；

(3)、求点 $A_{1}$ 到平面 $A B_{1} E$ 的距离；

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8、写出满足下列条件的直线的方程.

(1)、经过点 $A (8, - 2)$ ，斜率是 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ；

(2)、经过点 $B (- 2, 0)$ ，且与 $x$ 轴垂直；

(3)、斜率是 $- 4$ ，在 $y$ 轴上的截距是7；

(4)、在 $y$ 轴上的截距是2，且与 $x$ 轴平行；

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9、 $(\vec{A B} - \vec{C B}) + \vec{C C_{1}}$ 运算的结果是．

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10、在平面直角坐标系xOy(O为坐标原点)中，不过原点的两直线 $l_{1} : x - m y + 2 m - 1 = 0$ ， $l_{2} : m x + y - m - 2 = 0$ 的交点为P，过点O分别向直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 引垂线，垂足分别为M，N，则四边形OMPN面积的最大值为（）

A、3 B、 $\frac{3}{2}$ C、5 D、 $\frac{5}{2}$

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11、已知函数 $f (x) = (\sqrt{x} + a) e^{x} (a \in R)$ ．

(1)、当 $a = 0$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x)$ 是增函数，求a的取值范围；

(3)、证明： $f (x)$ 有最小值，且最小值小于 $f (1)$ ．

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12、已知关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} - 3 x + 2 > 0$ 的解集为 $\{x |x < 1$ 或 $x > b\}$ ．

(1)、求 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、当 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且满足 $\frac{a}{x} + \frac{b}{y} = 1$ 时，有 $2 x + y \geq k^{2} + k + 2$ 恒成立，求 $k$ 的取值范围；

(3)、关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} - 2 (m + 1) x + 2 b m \leq 0$ 的解集中恰有5个正整数，求实数 $m$ 的取值范围．

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13、某地为庆祝中华人民共和国成立七十周年，在一个半径为 $50$ 米、圆心角为60°的扇形 $O A B$ 草坪上，由数千人的表演团队手持光影屏组成红旗图案，已知红旗图案为矩形，其四个顶点中有两个顶点 $M$ 、 $N$ 在线段 $O B$ 上，另两个顶点 $P$ 、 $Q$ 分别在弧 $A B$ 、线段 $O A$ 上.

(1)、若 $∠ P O N = 45 °$ ，求此红旗图案的面积 $S$ ；（精确到 $1 m^{2}$ ）

(2)、求组成的红旗图案的最大面积.（精确到 $1 m^{2}$ ）

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14、已知函数 $f (x) = \frac{2 x}{x^{2} + 1}$ ， $x \in (- 1, 1)$ .

(1)、①判断函数 $f (x)$ 的奇偶性，并用定义证明；
②判断函数 $f (x)$ 的单调性，无需说明理由；

(2)、若 $f (t^{2} - 1) < - f (t)$ 恒成立，求 $t$ 的取值范围.

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15、（1）已知 $\sin θ = \frac{4}{5}$ ， $θ$ 为第二象限角，求 $\cos (θ - \frac{π}{6})$ 和 $\cos (\frac{π}{2} - 2 θ)$ 的值；
（2）在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，已知 $A + C = 2 B$ ， $a + c = 8$ ， $a c = 15$ ，求 $△ A B C$ 的面积和边 $b$ .

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16、数学必修二101页介绍了海伦-秦九韶公式：我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求三角形的面积的公式，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隔，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即 $S = \sqrt{\frac{1}{4} [a^{2} c^{2} - {(\frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2})}^{2}]}$ ，其中 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 分别为 $△ A B C$ 内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边.若 $\frac{1 - \sqrt{3} \cos B}{\sqrt{3} \sin B} = \frac{1}{\tan C}$ ， $b = 2$ ，则 $△ A B C$ 面积 $S$ 的最大值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{5}$ C、2 D、 $\sqrt{2}$

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17、下列命题错误的是（）

A、 ${(\frac{a + b}{2})}^{2} \geq a b$ B、若 $a + b = 1$ ，且 $a > 0$ ， $b > 0$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 4$ C、若 $a > 1$ ，则 $a + \frac{1}{a - 1} \geq 2$ D、若 $|x - 2| + |x + 3| \geq 5$ ，则当且仅当 $x \in (- \infty, - 3] \cup [2, + \infty)$ 时，等号成立

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18、若幂函数 $f (x) = x^{a}$ 为奇函数，且在 $(0, + \infty)$ 上单调递增，则满足条件的实数 $a$ 的值是（）

A、 $- 1$ B、 $\frac{1}{2}$ C、3 D、4

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19、若实数 $a, b$ 满足 $a > 0 > b$ ，则（）

A、 $a - b < 0$ B、 $a + b > 0$ C、 $a^{2} > b^{2}$ D、 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$

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20、已知定义在 $(- 3, 3)$ 上的奇函数 $y = f (x)$ 的导函数是 $f^{'} (x)$ ，当 $x \geq 0$ 时， $y = f (x)$ 的图象如图所示，则关于x的不等式 $\frac{f^{'} (x)}{x} > 0$ 的解集为.

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$x$	10	15	20	25	30
$g (x)$	50	55	60	55	50