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相关试卷

1、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2$ ， E为棱 $B B_{1}$ 的中点，F为棱 $C C_{1}$ （含端点）上的一个动点给出下列四个结论正确的是（）

A、存在符合条件的点F，使得 $B_{1} F / /$ 平面 $A_{1} E D$ ； B、不存在符合条件的点F，使得 $B F ⊥ D E$ ； C、异面直线 $A_{1} D$ 与 $E C_{1}$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ； D、三棱锥 $F - A_{1} D E$ 的体积的取值范围是 $[\frac{2}{3}, 2]$ ．

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2、下列说法正确的有（）

A、直线倾斜角越大，斜率越大 B、过点 $P (x_{1}, y_{1}), Q (x_{2}, y_{2})$ 的直线方程是 $\frac{x - x_{1}}{x_{1} - x_{2}} = \frac{y - y_{1}}{y_{1} - y_{2}}$ C、经过点 $(1, 1)$ 且在x轴和y轴上截距相等的直线有2条 D、直线 $\frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 1$ 在y轴上的截距是 $- 3$

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3、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，下列选项中，能成为空间中的一组基底的为（）

A、 $\{\vec{D A}, \vec{D C}, \vec{D D_{1}}\}$ B、 $\{\vec{A C}, \vec{A_{1} C}, \vec{B B_{1}}\}$ C、 $\{\vec{A_{1} B}, \vec{B D_{1}}, \vec{D C}\}$ D、 $\{\vec{A_{1} B}, \vec{A_{1} D}, \vec{B_{1} D_{1}}\}$

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4、已知点 $O (0, 0)$ ，点P满足 $| P O | = 1$ ，则点P到直线 $x - m y - 4 = 0$ 的距离的最大值为（）

A、2 B、4 C、3 D、5

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5、已知 $A (0, 4, 0), B (3, 0, 0), C (0, 0, 2)$ ，则平面ABC的一个法向量可以为（）

A、 $(4, 3, 6)$ B、 $(- 4, 3, 6)$ C、 $(4, - 3, 6)$ D、 $(4, 3, - 6)$

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6、抛物线 $y = 4 x^{2}$ 的焦点坐标是（）

A、 $(\frac{1}{16}, 0)$ B、 $(\frac{1}{8}, 0)$ C、 $(0, \frac{1}{16})$ D、 $(0, \frac{1}{8})$

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7、数列 $\{a_{n}\}$ 是等差数列， $a_{5} = 10, a_{9} = 18$ ，记 $S_{9}$ 是 $\{a_{n}\}$ 的前9项和，则（）

A、 $a_{3} = 6, S_{9} = 90$ B、 $a_{3} = 6, S_{9} = 94$ C、 $a_{3} = 8, S_{9} = 90$ D、 $a_{3} = 8, S_{9} = 94$

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8、过点 $(0, 0)$ 和点 $(0, 1)$ 的直线倾斜角为（）

A、 $45 °$ B、 $90 °$ C、 $135 °$ D、 $0 °$

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9、已知函数 $y = a^{x}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）在 $[1, 2]$ 上的最大值与最小值之积等于8，设函数 $f (x) = \frac{a^{x}}{a^{x} + 1}$ ．

(1)、求a的值，判断函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、证明 $g (x) = f (x) - \frac{1}{2}$ 为奇函数；

(3)、若不等式 $f (x) + f (1 - x) - m < 1$ 对 $\forall x \in R$ 恒成立，求实数m的取值范围．

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10、已知函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0, | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、将 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，求 $g (x)$ 在区间 $[0, \frac{π}{3}]$ 上的最大值和最小值．

(3)、若函数 $y = f (x) - k$ 在区间 $[- \frac{π}{6}, \frac{π}{4}]$ 上有且仅有一个零点，求实数k的取值范围．

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11、已知集合 $A = \{x | |x - \frac{1}{2}| \leq \frac{3}{2}\}, B = {x ∣ 3 - 2 m \leq x \leq 2 m + 1}$ ．

(1)、当 $m = 1$ 时，求 $A \cup B$ ；

(2)、若 $A \cup B = A$ ，求实数m的取值范围．

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12、若对任意的 $x \in [2, 8]$ ，总存在 $y \in [1, 2]$ ，使得 $(2^{y} + m) [{(\log_{2} x)}^{2} + 4] = \log_{2} x$ 成立，则实数 $m$ 的取值范围是

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13、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x + 3, x \leq 0 \\ |\ln x + 2|, x > 0 \end{array}$ ，若方程 $f (x) = m$ 有三个不同的零点 $x_{1} 、 x_{2} 、 x_{3}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，则（）

A、实数 $m$ 的取值范围为 ${m ∣ 0 < m < 3}$ B、函数 $f (x)$ 在 $(- \infty, 0), (\frac{1}{e^{2}}, + \infty)$ 单调递增 C、 $x_{1} x_{2} x_{3}$ 的取值范围为 $(- 3 e^{- 4}, 0]$ D、函数 $g (x) = f (f (x))$ 有 $4$ 个零点

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14、若函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 4 \log_{2} (x - 1), x > 1 \\ 2 f (x + 2), x \leq 1 \end{array}$ ，则 $f (- 1) =$ （）

A、2 B、4 C、8 D、16

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15、设集合 $A = \{1, 2, 3\}$ ， $B = \{2, 3, 4\}$ ， $C = \{x \in R | 1 \leq x < 3\}$ ，则 $(A \cap C) \cup B =$ （）

A、 $\{2\}$ B、 $\{2, 3\}$ C、 $\{2, 3, 4\}$ D、 $\{1, 2, 3, 4\}$

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16、如图，曲线 $y = \sqrt{x}$ 下有一系列正三角形，设第 $n$ 个正三角 $△ Q_{n - 1} P_{n} Q_{n}$ （ $Q_{0}$ 为坐标原点）的边长为 $a_{n}$ ，

(1)、求 $a_{1}, a_{2}$ 的值；

(2)、记 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，探究 $a_{n + 1}$ 与 $S_{n}$ 的关系，求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(3)、是否存在正实数 $λ$ ，使得不等式 $\frac{3 a_{1}}{3 a_{1} + 1} \cdot \frac{3 a_{2}}{3 a_{2} + 1} \dots \dots \frac{3 a_{n}}{3 a_{n} + 1} \cdot \sqrt{3 a_{n + 1}} < λ^{2} - \frac{4}{3} λ$ 对一切正整数 $n$ 都成？若存在，求出 $λ$ 的取值范围；若不存在，请说明理由.

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17、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦距为2， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为其左右焦点， $O$ 为原点，且点 $P (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{14}}{4})$ 在椭圆 $C$ 上.

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、经过左焦点 $F_{1}$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点（异于左右顶点），M为线段AB的中点，
①若 $∠ A O B = 90 °$ ，求线段OM的长度；
②求点 $A$ 到直线OM的距离 $d$ 的最小值.

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18、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A B = B C = A C = P C = 4, P A = P B = 2 \sqrt{2}$ ， M是线段 $P C$ 上的点．

(1)、求证：平面 $A B P ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、若直线 $P M$ 与平面 $A B M$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ ，求 $P M$ 的长．

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19、已知在数列 $\{a_{n}\}$ 中 $a_{1} = 1$ ，且 $a_{n + 1} = 2 a_{n} + 1$ ，记 $b_{n} = \log_{2} (a_{n} + 1)$ .

(1)、证明：数列 $\{b_{n}\}$ 是等差数列；

(2)、记 $c_{n} = \frac{2}{b_{n} \cdot b_{n + 1}} ，$ 求数列 $\{c_{n}\}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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20、如图， $M, N$ 分别是二面角 $α - A B - β$ 的两个半平面内两点， $M A = 3, A B = 2, B N = 1$ ， $∠ M A B = ∠ N B A = 120 °$ ，若 $M N = 3 \sqrt{3}$ ，则异面直线 $A M, B N$ 的夹角的正弦值为．

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