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相关试卷

1、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为正方形，且 $P D = A D = 2, M$ ， $N, G$ 分别为 $P A, P C, P B$ 的中点，则（）

A、 $D N ⊥ B N$ B、 $C G$ 与 $M N$ 所成角的余弦值是 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ C、点 $G$ 到平面 $P A C$ 的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、过点 $M, N, B$ 的平面截四棱锥 $P - A B C D$ 的截面面积为 $\frac{\sqrt{13}}{3}$

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2、若圆C的圆心为 $(3, 1)$ ，且被y轴截得的弦长为8，则圆C的一般方程为（）

A、 $x^{2} + y^{2} - 6 x + 2 y - 15 = 0$ B、 $x^{2} + y^{2} - 6 x + 2 y - 7 = 0$ C、 $x^{2} + y^{2} - 6 x - 2 y - 15 = 0$ D、 $x^{2} + y^{2} - 6 x - 2 y - 7 = 0$

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3、设集合 $A = \{1, 2\}$ ， $B = \{1, 4\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $\{1, 2, 4\}$ B、 $\{1, 2, 3, 4\}$ C、 $\{3, 4\}$ D、 $\{2, 3, 4\}$

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4、两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之间的距离为.

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5、英国生物统计学家高尔顿设计了高尔顿钉板来研究随机现象.如图是一个高尔顿钉板的设计图，每一黑点表示钉在板上的一颗钉子，它们彼此的距离均相等，上一层的每一颗钉子恰好位于下一层两颗打子的正中间，小球每次下落，将随机的向两边等概率的下落.数学课堂上，老师向学生们介绍了高尔顿钉板放学后，爱动脑的小明设计了一个不一样的“高尔顿钉板”，它使小球在从钉板上一层的两颗钉子之间落下后砸到下一层的钉子上时，向左下落的概率为向右下落的概率的2倍.当有大量的小球依次滚下时，最终都落入钉板下面的5个不同位置.若一个小球从正上方落下，经过5层钉板最终落到4号位置的概率是（）

A、 $\frac{8}{81}$ B、 $\frac{16}{81}$ C、 $\frac{24}{81}$ D、 $\frac{32}{81}$

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6、已知正实数构成的集合 $A = \{a_{1}, a_{2}, \cdot \cdot \cdot, a_{n}\} (n \geq 2, n \in N^{*})$

(1)、若定义 $A + A = \{a_{i} + a_{j} |a_{i}, a_{j} \in A\}$ ，当集合 $A + A$ 中的元素恰有 $\frac{n (n + 1)}{2}$ 个数时，称集合 $A$ 具有性质 $P$ .
①当 $A = \{1, 2, 3\}$ ， $B = \{1, 2, 4\}$ 时，判断集合 $A$ ， $B$ 是否具有性质 $P$ ，并说明理由；
②设集合 $A = \{a_{1}, a_{2}, \cdot \cdot \cdot, a_{n}\}$ ，其中数列 $\{a_{n}\}$ 为等比数列， $a_{1} > 0$ 且公比为2，判断集合 $A$ 是否具有性质 $P$ 并说明理由.

(2)、若定义 $A + A = \{a_{i} + a_{j} |a_{i}, a_{j} \in A, 且 i \neq j\}$ ，当集合 $A + A$ 中的元素恰有 $\frac{n (n - 1)}{2}$ 个数时，称集合 $A$ 具有性质 $Ω$ .设集合 $A$ 具有性质 $Ω$ 且 $A + A$ 中的所有元素能构成等差数列.问：集合 $A$ 中的元素个数是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由.

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7、已知 $x = 2$ 为函数 $f (x) = x {(x - c)}^{2} - \frac{1}{e}$ 的极小值点.

(1)、求 $c$ 的值；

(2)、设函数 $g (x) = \frac{k x}{e^{x}}$ ，若对 $\forall x_{1} \in (0, + \infty)$ ， $\exists x_{2} \in R$ ，使得 $f (x_{1}) - g (x_{2}) \geq 0$ ，求 $k$ 的取值范围.

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8、已知角 $α$ 的始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，终边与单位圆 $O$ 交于点 $A (x_{1}, y_{1})$ ，将射线 $O A$ 按逆时针方向旋转 $\frac{π}{2}$ 后于单位圆 $O$ 交于点 $B (x_{2}, y_{2})$ ， $f (α) = x_{1} - x_{2}$ ， $g (α) = x_{1} \cdot x_{2}$ .

(1)、若 $α \in [0, \frac{π}{2}]$ ，求 $f (α)$ 的取值范围；

(2)、在（1）的条件下，当函数 $F (α) = g (α) + m f (α) - \frac{m^{2}}{2}$ 的最大值是 $- \frac{15}{2}$ 时，求 $m$ 的值.

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9、记 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，分别以 $a$ ， $b$ ， $c$ 为边长的三个正三角形的面积依次为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ ，已知 $S_{1} - S_{2} + S_{3} = \sqrt{3}$ ， $sin B = \frac{1}{3}$ .

(1)、求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、若 $sin A sin C = \frac{\sqrt{2}}{3}$ ，求 $b$

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10、记 $S_{n}$ 是等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和， $a_{1} = 2$ ，且 $a_{2} - 2$ ， $a_{3} - 4$ ， $a_{4} - 6$ 成等比数列.

(1)、求 $a_{n}$ 和 $S_{n}$ ；

(2)、若 $b_{n} S_{n} = 2$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前20项和 $T_{20}$ .

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11、设数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $\{a_{n}\}$ 是以 $a$ 为首项，公差为1的等差数列，并且存在实数 $t$ ，使得数列 ${\sqrt{S_{n} + t}}$ 也成等差数列，则实数 $a$ 的取值范围是.

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12、已知两个单位向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a} - \vec{b}| = 1$ ，则向量 $2 \vec{a} - \vec{b}$ 和 $\vec{a}$ 的夹角为.

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13、已知函数 $f (x) = sin (ω x - \frac{π}{6}) sin (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 的最小正周期是 $\frac{π}{2}$ ，则 $ω$ 的值为.

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14、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x, x \leq 0 \\ a x^{3} + x, x > 0 \end{array}$ ，若不等式 $f (x - 1) \geq f (x)$ 对任意 $x \in R$ 都成立，则实数 $a$ 的值可以为（）

A、 $- \frac{32}{27}$ B、 $- \frac{16}{27}$ C、 $- 2$ D、 $- 1$

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15、已知两个正数 $a$ ， $b$ 满足 $a + b = 2$ ，则下述结论正确的是（）

A、 $|a - 1| = |b - 1|$ B、 $2^{a} + 2^{b} \geq 4$ C、 $lg a \geq lg \frac{1}{b}$ D、 $b - \frac{4}{a^{2}} < - 1$

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16、设四个复数 $z_{1} = 3 + i$ ， $z_{2} = i (1 + 3 i)$ ， $z_{3} = - 2 + \sqrt{6} i$ ， $z_{4} = a - 3 i (a > 0)$ 在复平面 $x O y$ 内的对应点 $Z_{1}$ 、 $Z_{2}$ 、 $Z_{3}$ 、 $Z_{4}$ 在同一个圆上，则下述结论正确的是（）

A、 $z_{1}$ 与 $z_{2}$ 互为共轭复数 B、点 $Z_{3}$ 在第二象限 C、复数 $\frac{z_{1}}{z_{2}}$ 的虚部是 $- \frac{3}{5}$ D、 $\vec{O Z_{1}} ⊥ \vec{O Z_{4}}$

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17、已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 在区间 $[0, 2]$ 上单调递减，且满足 $f (4 + x) + f (x) = 2 f (- 2)$ ，函数 $y = f (x - 2)$ 的对称中心为 $(4, 0)$ ，则下述结论正确的是（）（注： $ln 3 \approx 1.099$ ）

A、 $f (2024) = 0$ B、 $f (1) + f (\frac{7}{2}) > 0$ C、 $f (3) > f (2 {log}_{2} 48)$ D、 $f (4 sin 1) > f (ln \frac{1}{9})$

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18、已知函数 $f (x) = sin (π x - \frac{π}{6})$ ，当 $x \in [0, 20]$ 时，把 $f (x)$ 的图象与直线 $y = \frac{1}{2}$ 的所有交点的横坐标限依次记为 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \cdot \cdot \cdot, a_{n}$ ，记它们的和为 $S_{n}$ ，则 $S_{n} =$ （）

A、 $\frac{1160}{3}$ B、 $\frac{580}{3}$ C、 $\frac{560}{3}$ D、 $\frac{280}{3}$

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19、在 $△ A B C$ 中，点 $D$ ， $E$ 分别为 $A B$ ， $A C$ 边上的中点，点 $F$ 满足 $\vec{D F} = 2 \vec{F E}$ ，则 $\vec{B F} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{B A} + \frac{1}{6} \vec{B C}$ B、 $\vec{B A} + \frac{1}{3} \vec{B C}$ C、 $\frac{2}{3} \vec{B A} + \frac{1}{3} \vec{B C}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{B A} + \frac{1}{3} \vec{B C}$

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20、已知函数 $f (x) = {(\frac{1}{4})}^{x} - x^{\frac{1}{5}}$ ，那么在下列区间中含有函数 $f (x)$ 零点的是（）

A、 $(0, \frac{1}{5})$ B、 $(\frac{1}{5}, \frac{1}{4})$ C、 $(\frac{1}{4}, 1)$ D、 $(1, 4)$

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