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相关试卷

1、已知 $△ A B C$ 的顶点 $A (2, 1)$ ，在AB边上的中线CM所在的直线方程为 $2 x + y - 1 = 0 ， ∠ A B C$ 的角平分线BH所在直线方程为 $x - y = 0$ .

(1)、求经过点 $A (2, 1)$ ，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程；

(2)、求直线BC的方程；

(3)、在线段AB上是否存在点D，满足 $C D ⊥ A B$ ，若存在，求D点坐标，若不存在，说明理由.

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2、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P D = 2$ ， $A D = 1$ ， $P D ⊥ D A$ ， $P D ⊥ D C$ ，底面 $A B C D$ 为正方形， $M$ ， $N$ 分别为 $A D$ ， $P D$ 的中点.

(1)、求点 $B$ 到平面 $M N C$ 的距离；

(2)、求直线 $M B$ 与平面 $B N C$ 所成角的余弦值.

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3、设 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的左、右焦点，点 $A$ 是 $C$ 右支上一点，若 $△ A F_{1} F_{2}$ 的内切圆的圆心为 $M$ ，半径为 $a$ ，且 $\exists λ \in R$ ，使得 $\vec{A M} + 2 \vec{O M} = λ \vec{O F_{2}}$ ，则 $C$ 的离心率为．

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4、如图，圆弧形拱桥的跨度 $|A B| = 12 m$ ，拱高 $|C D| = 4 m$ ，则拱桥的直径为 m.

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5、法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”，他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > b > 0)$ 的蒙日圆为 $C : x^{2} + y^{2} = \frac{4}{3} a^{2}$ ，过圆 $C$ 上的动点 $M$ 作椭圆 $E$ 的两条切线，交圆 $C$ 于 $P, Q$ 两点，直线 $P Q$ 交椭圆 $E$ 于 $A, B$ 两点，则下列结论正确的是（）

A、椭圆 $E$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、若点 $D$ 在椭圆 $E$ 上，将直线 $D A, D B$ 的斜率分别记为 $k_{1}, k_{2}$ ，则 $k_{1} k_{2} = - \frac{1}{3}$ C、点 $M$ 到椭圆 $E$ 的左焦点的距离的最小值为 $\frac{(2 \sqrt{3} - \sqrt{6}) a}{3}$ D、 $△ M P Q$ 面积的最大值为 $\frac{4}{3} a^{2}$

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6、下列说法命题正确的是（）

A、在空间直角坐标系中，已知点 $A (2, 3, - 5), B (0, - 2, - 2), C (- 2, - 5, 1)$ ，则 $A, B, C$ 三点共线 B、若直线 $l$ 的方向向量为 $\vec{e} = (3, 0, - 1)$ ，平面 $α$ 的法向量为 $\vec{n} = (- 9, 0, 3)$ ，则 $l$ $∥$ $α$ C、已知 $\vec{a} = (0, 1, 4), \vec{b} = (\sqrt{3}, 0, - 1)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $- \vec{b}$ D、已知三棱锥 $O - A B C$ ，点 $P$ 为平面 $A B C$ 上的一点，且 $\vec{O P} = \frac{1}{2} \vec{O A} + m \vec{O B} + n \vec{O C} (n, m \in R)$ ，则 $m + n = \frac{1}{2}$

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7、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点 $P$ ， $A$ ， $B$ 都在椭圆 $E$ 上，若 $\vec{P F_{1}} = λ \vec{F_{1} A}$ ， $\vec{P F_{2}} = μ \vec{F_{2} B}$ ，且 $λ + μ \geq 4$ ，则椭圆 $E$ 的离心率的取值范围为（）

A、 $[\frac{1}{3}, 1)$ B、 $[\frac{\sqrt{3}}{3}, 1)$ C、 $(0, \frac{\sqrt{3}}{3}]$ D、 $(0, \frac{1}{3}]$

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8、已知 $⊙ M : x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y - 2 = 0$ ，直线 $l : 2 x + y + 2 = 0$ ， $P$ 为 $l$ 上的动点.过点 $P$ 作 $⊙ M$ 的切线 $P A, P B$ ，切点为 $A, B$ ，当四边形 $P A M B$ 面积最小时，直线 $A B$ 的方程为（）.

A、 $2 x - y - 1 = 0$ B、 $2 x + y - 1 = 0$ C、 $2 x + y + 1 = 0$ D、 $2 x - y + 1 = 0$

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9、已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的一条渐近线经过点 $M (4, 3)$ ，则此双曲线的离心率是（）

A、 $\frac{5}{3}$ B、 $\frac{5}{4}$ C、 $\frac{3 \sqrt{7}}{7}$ D、 $\frac{4 \sqrt{7}}{7}$

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10、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面是正方形，且 $A B = 2$ ， $P A ⊥ P B$ .四棱锥 $P - A B C D$ 的体积为 $\frac{4}{3}$ .

(1)、证明：平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求平面 $P A B$ 与平面 $P C D$ 夹角的余弦值.

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11、设 $O$ 为坐标原点，直线 $y = - \sqrt{3} (x - 1)$ 过抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点，且与 $C$ 交于 $M$ ， $N$ 两点，若直线 $l$ 为 $C$ 的准线，则（）

A、 $p = 4$ B、 $|M N| = \frac{16}{3}$ C、以 $M N$ 为直径的圆与 $l$ 相切 D、 $△ O M N$ 为等腰三角形

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12、已知函数 $f (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}, g (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ （其中 $e$ 为自然对数的底数），则下列说法正确的有（）

A、 $y = f (x) \cdot g (x)$ 是奇函数 B、 ${[f (x)]}^{2} + {[g (x)]}^{2} = f (2 x)$ C、若方程 $|f (x) + g (x) - 1| + 1 = a$ 有且仅有一个解，则a的取值范围是 $[2, + \infty) \cup \{1\}$ D、函数 $F (x) = \frac{f (x)}{g (x)}$ ，若存在 $x \in (1, 8)$ ，使 $F (m) < F [{log}_{2} \frac{x}{4} \cdot {log}_{2} (2 x)]$ 成立，则 $m < 4$

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13、已知集合 $A$ 中含有三个元素 $x, y, z$ ，同时满足① $x < y < z$ ；② $x + y > z$ ；③ $x + y + z$ 为偶数，那么称集合 $A$ 具有性质 $P$ .已知集合 $S_{n} = \{1, 2, 3, \dots, 2 n\}$ $(n \in N^{*}, n \geq 4)$ ，对于集合 $S_{n}$ 的非空子集 $B$ ，若 $S_{n}$ 中存在三个互不相同的元素 $a, b, c$ ，使得 $a + b, b + c, c + a$ 均属于 $B$ ，则称集合 $B$ 是集合 $S_{n}$ 的“期待子集”.

(1)、试判断集合 $A = \{1, 2, 3, 5, 7, 9\}$ 是否具有性质 $P$ ，并说明理由；

(2)、若集合 $B = \{3, 4, a\}$ 具有性质 $P$ ，证明：集合 $B$ 是集合 $S_{4}$ 的“期待子集”；

(3)、证明：对于 $S_{n}$ 的非空子集 $M$ ，集合 $M$ 具有性质 $P$ 的充要条件是集合 $M$ 是集合 $S_{n}$ 的“期待子集”.

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14、两社区 $A$ 和 $B$ 相距2km，现计划在两社区外以 $A B$ 为直径的半圆弧 $\overset{⌢}{A B}$ （不含 $A$ ， $B$ 两点）上选择一点 $C$ 建造口袋公园（如图所示），其对社区的噪音影响度与所选地点到社区的距离有关.口袋公园对社区 $A$ 的噪音影响度是所选地点到社区 $A$ 的距离的平方的反比例函数，比例系数为0.01；对社区 $B$ 的噪音影响度是所选地点到社区 $B$ 的距离的平方的反比例函数，比例系数为 $K$ ，对社区 $A$ 和社区 $B$ 的总噪音影响度为对社区 $A$ 和社区 $B$ 的噪音影响度之和.记 $C$ 点到社区 $A$ 的距离为 $x km$ ，建在 $C$ 处的口袋公园对社区 $A$ 和社区 $B$ 的总噪音影响度为 $y$ .统计调查表明：当口袋公园建在半圆弧 $\overset{⌢}{A B}$ 的中点时，对社区 $A$ 和社区 $B$ 的总噪音影响度为0.05.

(1)、将 $y$ 表示成 $x$ 的函数；

(2)、判断半圆弧 $\overset{⌢}{A B}$ 上是否存在一点，使得建在此处的口袋公园对社区 $A$ 和社区 $B$ 的总噪音影响度最小？若存在，求出该点到社区 $A$ 的距离；若不存在，说明理由.

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15、在 $△ A B C$ 中， $C A = 2$ ， $A B = 3$ ， $∠ B A C = \frac{2 π}{3}$ ， $D$ 为 $B C$ 的三等分点（靠近 $C$ 点）．

(1)、求 $\vec{A D} \cdot \vec{B C}$ 的值；

(2)、若点 $P$ 满足 $\vec{C P} = λ \vec{C A}$ ，求 $\vec{P B} \cdot \vec{P C}$ 的最小值，并求此时的 $λ$ ．

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16、设函数 $f (x) = \lg [(2 x - 3) (x - \frac{1}{2})]$ 的定义域为集合A，函数 $g (x) = \sqrt{- x^{2} + 4 a x - 3 a^{2}}$ 的定义域为集合B (其中 $a \in R$ ，且 $a > 0$ ) .
(1)当 $a = 1$ 时，求集合 $A \cap B$ ；
(2)若 $A \cap B = B$ ，求实数a的取值范围.

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17、已知平面向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 满足 $| \vec{a} - \vec{b} | = 3$ ， $2 \vec{a} \cdot \vec{b} - | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | = 0$ ， $\vec{a} - \vec{c}$ 与 $\vec{b} - \vec{c}$ 的夹角为 $\frac{2 π}{3}$ ， $| \vec{c} - \vec{a} | = 2 \sqrt{2}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{c}$ 的最大值是.

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18、已知函数 $f (x) = 2^{x} - \frac{1}{2^{x}}, g (x) = a x + 1 (a > 0)$ ，若对 $\forall x_{1} \in [1, 2]$ ，总 $\exists x_{2} \in [1, 6]$ 使 $f (x_{1}) = g (x_{2})$ 成立，则实数 $a$ 的取值范围为 .

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19、已知函数 $f (x) = - x + 6$ ， $g (x) = - 2 x^{2} + 4 x + 6$ ，若 $h (x) = \min {f (x), g (x)}$ ，则 $h (x)$ 的最大值为.

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20、若 $△ A B C$ 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足 $b - 2 a + 4 a \sin^{2} \frac{A + B}{2} = 0$ ，则下列结论正确的是（）

A、角C可以为锐角 B、 $a^{2} + 2 b^{2} - c^{2} = 0$ C、 $\tan B$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $3 \tan A + \tan C = 0$

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