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相关试卷

1、一条光线从点 $P (0, 4)$ 射出，经直线 $x + y - 3 = 0$ 反射后，与圆 $C : {(x - 5)}^{2} + y^{2} = 1$ 相切于点M，则光线从P到M经过的路程为（）

A、4 B、5 C、 $2 \sqrt{11}$ D、 $2 \sqrt{6}$

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2、已知 $A (\sqrt{3}, - 1)$ ， $B (- 1, - 1)$ ， $C (3, 0)$ ， $D (- 1, 2)$ ， $E (1, \sqrt{2})$ ，若从A，B，C，D，E这五个点中任意选择两个点，则这两个点都落在圆 $x^{2} + y^{2} = 3$ 外的概率为（）

A、 $\frac{1}{10}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{3}{10}$ D、 $\frac{2}{5}$

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3、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ， $O$ 为坐标原点，直线 $x = \frac{a}{2}$ 与椭圆 $C$ 交于 $A, B$ 两点.若 $△ O A B$ 为直角三角形，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$

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4、若圆 $x^{2} + y^{2} - 4 a x + 2 y - 1 = 0$ 的圆心到两坐标轴的距离相等，则 $a =$ （）

A、 $\pm 1$ B、1 C、 $\pm \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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5、已知向量 $\vec{a} = (- 1, 1, 0)$ ， $\vec{b} = (2, m, n)$ ，若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $m - n =$ （）

A、 $- 2$ B、2 C、 $- 1$ D、1

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6、已知 $A, B, C$ 为随机事件，A与B互斥，B与C互为对立，且 $P (A) = 0.1$ ， $P (C) = 0.4$ ，则 $P (A \cup B) =$ （）

A、0.06 B、0.5 C、0.6 D、0.7

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7、下列直线中，倾斜角最大的是（）

A、 $3 x - y - 2 = 0$ B、 $x = 2$ C、 $3 x + y + 4 = 0$ D、 $y = 2$

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8、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P D ⊥$ 平面 $A B C D, A B ∥ C D, ∠ A D C = 90^{°}$ ，且 $A D = C D = P D = 2 A B = 2$ .

(1)、求证： $A B ⊥$ 平面 $P A D$ ；

(2)、求平面 $P A D$ 与平面 $P B C$ 夹角的余弦值；

(3)、在棱 $P B$ 上是否存在点 $G$ （ $G$ 与 $P, B$ 不重合），使得 $D G$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值为 $\frac{2}{3}$ ？若存在，求 $\frac{P G}{P B}$ 的值，若不存在，说明理由.

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9、2024年奥运会在巴黎举行，中国代表团获得了40枚金牌，27枚银牌，24枚铜牌，共91枚奖牌，取得了境外举办奥运会的最好成绩，运动员的拼搏精神给人们留下了深刻印象.为了增加学生对奥运知识的了解，弘扬奥运精神，某校组织高二年级学生进行了奥运知识能力测试.根据测试成绩，将所得数据按照 $[40, 50)$ ， $[50, 60)$ ， $[60, 70)$ ， $[70, 80)$ ， $[80, 90)$ ， $[90, 100]$ 分成6组，其频率分布直方图如图所示.

(1)、求a值和该样本的第75百分位数；

(2)、试估计本次奥运知识能力测试成绩的平均分；

(3)、该校准备对本次奥运知识能力测试成绩不及格（60分以下）的学生，采用按比例分配的分层随机抽样方法抽出5名同学，再从抽取的这5名同学中随机抽取2名同学进行情况了解，求这2名同学分数在 $[40, 50)$ ， $[50, 60)$ 各一人的概率.

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10、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对边分别为 $a, b, c$ ，且 $a \sin A + c \sin C - b \sin B = a \sin C$ .

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $3 a = 2 b$ .
（i）求 $\cos A$ 的值；
（ii）求 $\sin (2 A + B)$ 的值.

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11、已知空间三点 $A (2, - 5, 1)$ ， $B (2, - 2, 4)$ ， $C (1, - 4, 1)$ ．

(1)、求向量 $\vec{A B}$ 与 $\vec{A C}$ 的夹角；

(2)、若 $(\vec{A B} - k \vec{A C}) ⊥ (\vec{A B} + k \vec{A C})$ ，求实数 $k$ 的值．

(3)、求 $△ A B C$ 的面积.

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12、在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E为 $A A_{1}$ 的中点，以D为原点， $D A, D C, D D_{1}$ 所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则点 $B_{1}$ 到直线 $C E$ 的距离为；点D到平面 $C D_{1} E$ 的距离为．

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13、与椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 有相同的焦点，且过点 $(- 3, 2)$ 的椭圆方程为．

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14、函数 $f (x) = \sqrt{2 x - x^{2}} + \frac{1}{x - 1}$ 的定义域为.

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15、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $|φ| < \frac{π}{2}$ ）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的图象关于 $(- \frac{π}{3}, 0)$ 对称 B、函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = - \frac{5 π}{12}$ 对称 C、该图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度可得 $y = 2 \sin 2 x$ 的图象 D、函数 $f (x)$ 在 $[- \frac{2 π}{3}, - \frac{π}{6}]$ 上单调递增

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16、已知圆 $C : {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 25$ ，直线 $l : m x + y - 3 m - 1 = 0$ .则以下几个结论正确的有（）

A、直线 $l$ 恒过定点 $(3,1)$ B、圆 $C$ 被 $y$ 轴截得的弦长为 $4 \sqrt{6}$ C、点 $C$ 到直线 $l$ 的距离的最大值是 $2 \sqrt{5}$ D、直线 $l$ 被圆 $C$ 截得的弦长最短时，直线 $l$ 的方程为 $2 x - y - 5 = 0$

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17、已知圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} + 6 x - 4 y + 9 = 0$ ，圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} + 2 x - 15 = 0$ ，则下列选项错误的是（）

A、两圆的圆心距离是 $2 \sqrt{2}$ B、两圆有 $2$ 条公切线 C、两圆相交 D、公共弦长 $\frac{\sqrt{14}}{2}$

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18、若正实数 $x, y$ 满足 $2 x + y = 1$ ，则下列说法错误的是（）

A、 $x y$ 有最大值为 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{x} + \frac{4}{y}$ 有最小值为 $6 + 4 \sqrt{2}$ C、 $4 x^{2} + y^{2}$ 有最小值为 $\frac{1}{2}$ D、 $x (y + 1)$ 有最大值为 $\frac{1}{2}$

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19、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的右焦点为 $F$ ，上顶点为 $A$ ，点 $P (- 2, - 2), Q$ 是 $C$ 上一点，则 $|P Q| - |Q F|$ 的最小值为（）

A、 $2 - \sqrt{2}$ B、 $4 - 2 \sqrt{2}$ C、 $2 - 4 \sqrt{2}$ D、 $2 - 2 \sqrt{2}$

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20、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} {log}_{2} x, x > 0 \\ 3^{x}, x \leq 0 \end{matrix}$ ，则 $f [f (\frac{1}{4})]$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $- 2$ D、2

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