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相关试卷

1、已知展开式 ${(x^{2} - \frac{1}{x})}^{n}$ 的二项式系数之和为 $32$ ，则该展开式中 $x$ 的系数为.

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2、双曲线C： $\frac{x^{2}}{5} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的左右顶点分别为A、B，P、Q两点在C上，且关于x轴对称（）

A、以C的焦点和顶点分别为顶点和焦点的椭圆方程为 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ B、双曲线C的离心率为 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ C、直线 $A P$ 与 $B Q$ 的斜率之积为 $- \frac{4}{5}$ D、双曲线C的焦点到渐近线的距离为2

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3、某厂近几年陆续购买了几台 A 型机床，该型机床已投入生产的时间x（单位：年）与当年所需要支出的维修费用y（单位：万元）有如下统计资料：
x
2
3
4
5
6
y
2.2
3.8
5.5
6.5
7
根据表中的数据可得到经验回归方程为. $y = 1.23 x + \hat{a}$ ，则（）

A、y与x的样本相关系数 $r \geq 0$ B、 $\hat{a} = 0.08$ C、表中维修费用的第60百分位数为6 D、该型机床已投入生产的时间为 10年时，当年所需要支出的维修费用一定是12.38万元

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4、已知函数 $f (x) = sin ω x + cos ω x (ω > 0)$ 的图象的一条对称轴是 $x = 2 π$ ，且 $f (x)$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上恰有两零点，则 $ω$ 的最大值是（）

A、 $\frac{45}{8}$ B、 $\frac{41}{8}$ C、 $\frac{37}{8}$ D、 $\frac{29}{8}$

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5、圆锥的顶点为 $S, A B$ 为底面直径，若 $A B = 2, ∠ A S B = \frac{π}{3}$ ，则该圆锥的外接球的表面积为（）

A、 $\frac{4 π}{3}$ B、 $\frac{16 π}{3}$ C、 $\frac{16 \sqrt{3} π}{3}$ D、 $\frac{32 \sqrt{3} π}{27}$

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6、已知直线 $a x - b y - 2 = 0$ 与曲线 $y = x^{3}$ 在点 $P (1, 1)$ 处的切线互相垂直，则 $\frac{a}{b}$ 为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $- \frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $- \frac{1}{3}$

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7、下列函数中，既是奇函数又在区间 $(0, 1)$ 上是严格减函数的是（）

A、 $y = \sqrt{x}$ B、 $y = - x^{3}$ C、 $y = lg x$ D、 $y = sin x$

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8、已知函数 $f (x) = \sin x - x + 1$ ，若关于x的不等式 $f (a x e^{x}) + f (- a e^{x} - x + 2) > 2$ 的解集中有且仅有2个正整数，则实数a的取值范围为.

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9、已知随机变量 $ξ ~ N (2, σ^{2})$ ，且 $P (ξ \leq 1) = P (ξ \geq a)$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{9}{a - x} (0 < x < a)$ 的最小值为（）

A、5 B、 $\frac{11}{2}$ C、 $\frac{20}{3}$ D、 $\frac{16}{3}$

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10、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD为直角梯形， $∠ A D C = ∠ B C D = 90 °$ ， $B C = 1$ ， $C D = \sqrt{3}$ ， $P D = 2$ ， $∠ P D A = 60 °$ ， $∠ P A D = 30 °$ ，且平面 $P A D ⊥$ 平面ABCD，在平面ABCD内过B作 $B O ⊥ A D$ ，交AD于O，连PO.

(1)、求证： $P O ⊥$ 平面ABCD；

(2)、求面APB与面PBC所成角的正弦值；

(3)、在线段PA上存在一点M，使直线BM与平面PAD所成的角的正弦值为 $\frac{2 \sqrt{7}}{7}$ ，求PM的长.

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11、在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $∠ A_{1} A D = ∠ B A D = ∠ A_{1} A B = 60 °$ ， $A B = A D = 1$ ， $A A_{1} = 2$ ， E为 $A_{1} C_{1}$ 与 $B_{1} D_{1}$ 的交点．

(1)、用向量 $\vec{A B}$ ， $\vec{A D}$ ， $\vec{A A_{1}}$ 表示 $\vec{A E}$ ；

(2)、求线段 $A E$ 的长；

(3)、求异面直线 $A E$ 与 $B D$ 所成的角．

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12、甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为 $\frac{3}{4}$ ，乙每轮猜对的概率为 $\frac{2}{3}$ ．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．求

(1)、分别求甲在两轮活动中共猜对1个，2个成语的概率；

(2)、分别求乙在两轮活动中共猜对1个，2个成语的概率；

(3)、求“星队”在两轮活动中共猜对3个成语的概率．

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13、已知球 $O$ 的半径为 $1, A B$ 是球 $O$ 的直径，点 $D$ 在球 $O$ 的球面上.若空间中一点 $C$ 与点 $D$ 间的距离为 $\sqrt{3}$ ，则 $\vec{C A} \cdot \vec{C B}$ 的最小值为.

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14、已知直线 $l$ 的方向向量为 $\vec{n} = (1, 0, 2)$ ，点 $A (0, 1, 1)$ 在直线 $l$ 上，若点 $P (1, a, 2)$ 到直线 $l$ 的距离为 $\frac{\sqrt{30}}{5}$ ，则 $a =$ ．

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15、已知直线 $l$ 过两条直线 $x - y + 2 = 0$ 和 $2 x + y + 1 = 0$ 的交点，且与直线 $x - 3 y - 2 = 0$ 垂直，则直线 $l$ 的方程为(结果用一般式表示) ．

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16、在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，M，N两点在线段 $A_{1} C_{1}$ 上运动，且 $M N = 1$ ，则（）

A、在M，N两点的运动过程中， $B D ⊥$ 平面 $B M N$ ； B、在平面 $C D D_{1} C_{1}$ 上存在一点P，使得 $P C //$ 平面 $B M N$ ； C、三棱锥 $B_{1} - M N B$ 的体积为定值 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ ； D、以点D为球心作半径为 $2 \sqrt{2}$ 的球面，则球面被正方体表面所截得的所有弧长和为 $3 π$ ．

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17、下列说法正确的是（）

A、“ $a = - 1$ ”是“直线 $a^{2} x - y + 1 = 0$ 与直线 $x - a y - 2 = 0$ 互相垂直”的充要条件 B、“ $a = - 2$ ”是“直线 $a x + 2 y + a^{2} = 0$ 与直线 $x + (a + 1) y + 1 = 0$ 互相平行”的充要条件 C、直线 $x \sin α + y + 2 = 0$ 的倾斜角 $θ$ 的取值范围是 $[0, \frac{π}{4}] \cup [\frac{3 π}{4}, π)$ D、若直线在两坐标轴上的截距相等，则该直线的方程为 $x + y - a = 0$

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18、下列说法正确的是（）

A、若 $P (A) + P (B) = 1$ ，则事件A与B是对立事件 B、设A，B是两个随机事件，且 $P (A) = \frac{1}{2}$ ， $P (B) = \frac{1}{3}$ ，若 $P (A B) = \frac{1}{6}$ ，则A，B是相互独立事件 C、A，B同时发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率小 D、若 $P (A) > 0$ ， $P (B) > 0$ ，则“事件A，B相互独立”与“事件A，B互斥”一定不能同时成立

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19、体积为 $9 \sqrt{3} π$ 的圆锥 $M O$ 底面圆周上有三点A，B，C，其中M为圆锥顶点，O为底面圆圆心，且圆锥 $M O$ 的轴截面为正三角形．若空间中一点N满足 $\vec{M N} = x \vec{M A} + y \vec{M B} + z \vec{M C}$ （其中 $x + y + z = 1$ ），则 $|\vec{M N}|$ 的最小值为（）

A、 $3 \sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、3 D、6

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20、设向量 $\vec{a} = (3, 5, 2)$ ， $\vec{b} = (- 2, 1, 3)$ ，当数 $m$ 与 $n$ 满足下列哪种关系时，向量 $m \vec{a} + n \vec{b}$ 与 $x$ 轴垂直（）

A、 $3 m = 2 n$ B、 $3 m = n$ C、 $m = 2 n$ D、 $m = n$

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x	2	3	4	5	6
y	2.2	3.8	5.5	6.5	7