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相关试卷

1、已知全集 $U = R$ ，实数 $a, b$ 满足 $a > b > 0$ ，集合 $M = \{x |b < x < \frac{a + b}{2}\}$ ， $N = {x| \sqrt{a b} < x < a}$ ，则 $M \cap ∁_{U} N =$ .

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2、命题“ $\exists x \in R$ ， $x^{3} + |x| - 2 > 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x \notin R$ ， $x^{3} + |x| - 2 \leq 0$ B、 $\exists x \in R$ ， $x^{3} + |x| - 2 \leq 0$ C、 $\forall x \in R$ ， $x^{3} + |x| - 2 \leq 0$ D、 $\forall x \notin R$ ， $x^{3} + |x| - 2 \leq 0$

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3、已知 $△ A B C$ 的顶点分别为 $A (2, 4)$ ， $B (7, - 1)$ ， $C (- 6, 1)$ .

(1)、求 $B C$ 边的中线 $A D$ 所在直线的方程；

(2)、求 $B C$ 边的垂直平分线 $D E$ 的方程.

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4、如图，四边形 $A B C D$ 为菱形， $P B ⊥$ 平面 $A B C D$ ．

(1)、证明：平面 $P A C ⊥$ 平面 $P B D$ ；

(2)、若 $P A ⊥ P C$ ，二面角 $A - B P - C$ 的大小为120°，求PC与BD所成角的余弦值．

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5、“其身正，不令而行；其身不正，虽令不从”出自《论语·子路》．意思是：当政者本身言行端正，不用发号施令，大家自然起身效法，政令将会畅行无阻；如果当政者本身言行不正，虽下命令，大家也不会服从遵守．根据上述材料，“身正”是“令行”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6、已知函数 $f (x) = x + \frac{1}{x}$ .

(1)、当 $x \in [2, 6]$ ，求函数 $f (x)$ 的值域.

(2)、若任意 $x \in [\frac{1}{4}, \frac{1}{2}]$ ，使得 $x^{2} - a x + 1 \geq 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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7、已知函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 1) = x^{2} - 4$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、当 $x \in [- 1, 2]$ 时，求 $f (x)$ 的最大值和最小值.

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8、解下列一元二次不等式.（本题答案必须用集合表示）

(1)、 $x^{2} + 2 x - 15 > 0$ ；

(2)、 $- 3 x^{2} + x + 2 \geq 0$ .

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9、已知不等式 $\sqrt{1 - 2 x} < 2 \sqrt{2}$ 的解集为集合A，则（）

A、 $- 2 \in A$ B、 $1 \in A$ C、 $\{\frac{1}{4}\} \subseteq A$ D、 $\{3\} \subseteq A$

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10、下列函数中，既是偶函数又在区间 $(0, + \infty)$ 单调递增的是（）

A、 $y = x^{2} + 2$ B、 $y = x - 2$ C、 $y = x + \frac{1}{x}$ D、 $y = |x| + 1$

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11、函数 $f (x) = \frac{{(2 x - 1)}^{0}}{\sqrt{2 - x}}$ 的定义域为（）

A、 $(- \infty, 2]$ B、 $(- \infty, 2)$ C、 $(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, 2]$ D、 $(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, 2)$

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12、命题“ $\exists x \in R$ ， $x + 1 \geq 0$ ”的否定为（）

A、 $\forall x \in R$ ， $x + 1 \geq 0$ B、 $\exists x \notin R$ ， $x + 1 < 0$ C、 $\forall x \in R$ ， $x + 1 < 0$ D、 $\forall x \notin R$ ， $x + 1 < 0$

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13、已知集合 $A = \{x |x^{2} - 2 x - 8 < 0\}, B = \{x |x \leq 4\}$ ，则“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”（）

A、充要条件 B、必要不充分条件 C、充分不必要条件 D、既不充分也不必要条件

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14、已知集合 $M = {x | 6 x - 3 < 3}$ ， $N = {- 2, 0, 1, 3}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 ${0, 1, 3}$ B、 ${- 2}$ C、 ${- 2, 0}$ D、 ${- 2, 0, 1, 3}$

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15、下列关系正确的是（）

A、 $π^{2} \in Q$ B、 $0 \notin N$ C、 $- 4 \notin Z$ D、 $- 2024 \in R$

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16、已知函数 $f (x)$ 是偶函数， $g (x)$ 是奇函数，且 $f (x) + g (x) = e^{x}$ .

(1)、求 $f (x)$ 和 $g (x)$ 的解析式；

(2)、若关于 $x$ 的不等式 $f (x) < m g (x)$ 在区间 $[\frac{1}{2}, 2]$ 上恒成立，求实数 $m$ 的取值范围；

(3)、设函数 $h (x) = [f (x) - g (x)] \cdot x + a {(x - 1)}^{2}$ ，若 $h (x)$ 存在大于1的极小值点，求实数 $a$ 的取值范围.

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17、已知向量 $\vec{a} = (\sin 2 x, \cos 2 x)$ ， $\vec{b} = (\cos θ, \sin θ) (|θ| < \frac{π}{2})$ ，若 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ ，且函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{6}$ 对称．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式，并求使 $f (x) > \frac{1}{2}$ 成立的 $x$ 的取值范围；

(2)、若将 $f (x)$ 的图象先向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位，再将所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数 $g (x)$ 的图象，设函数 $h (x) = g (x) \cdot \cos x$ ，求 $h (x)$ 在 $[- \frac{π}{4}, 0]$ 上的值域．

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18、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是公差不为零的等差数列， $a_{1} = 1$ ，且 $a_{1} 、 a_{3} 、 a_{9}$ 成等比数列.

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设数列 $\{2^{a_{n}} + a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求 $S_{10}$ .

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19、清代数学家明安图所著《割圆密率捷法》中比西方更早提到了“卡特兰数”（以比利时数学家欧仁･查理･卡特兰的名字命名）.有如下问题：在 $n \times n$ 的格子中，从左下角出发走到右上角，每一步只能往上或往右走一格，且走的过程中只能在左下角与右上角的连线的右下方（不能穿过，但可以到达该连线），则共有多少种不同的走法？此问题的结果即卡特兰数 $C_{2 n}^{n} - C_{2 n}^{n - 1}$ .如图，现有 $3 \times 4$ 的格子，每一步只能往上或往右走一格，则从左下角 $A$ 走到右上角 $B$ 共有种不同的走法；若要求从左下角 $A$ 走到右上角 $B$ 的过程中只能在直线 $A C$ 的右下方，但可以到达直线 $A C$ ，则有种不同的走法.

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20、已知 ${log}_{a} b + 4 {log}_{b} a = 4$ ，则 $\frac{a^{2}}{2 b}$ 的值为．

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