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相关试卷

1、《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示的图形，点 $F$ 在以 $A B$ 为直径的半圆上， $O$ 为圆心，点 $C$ 在半径 $O B$ 上（不与 $O$ 点重合），且 $O F ⊥ A B$ ．设 $A C = a, B C = b$ ，则 $O C =$ （用 $a, b$ 表示），由 $F C > O F$ 可以得出的关于 $a, b$ 的不等式为．

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2、已知角α的终边在图中阴影所表示的范围内(不包括边界)，那么 $α \in$ .

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3、函数 $y = a^{x - 1} + 3 (a > 0 且 a \neq 1)$ 恒过定点．

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4、定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 若满足：①对任意 $x_{1}$ 、 $x_{2} (x_{1} \neq x_{2})$ ，都有 $(x_{1} - x_{2}) [f (x_{1}) - f (x_{2})] < 0$ ；②对任意 $x$ ，都有 $f (a + x) + f (a - x) = 2 b$ ，则称函数 $f (x)$ 为“中心捺函数”，其中点 $(a, b)$ 称为函数 $f (x)$ 的中心.已知函数 $y = f (x - 1)$ 是以 $(1, 0)$ 为中心的“中心捺函数”，则使得不等式 $f (m^{2} - 2 m) \leq - f (- m - 4)$ 成立的 $m$ 的取值可能是（）

A、 $- 2$ B、0 C、2 D、4

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5、二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）

A、 $b =−2 a$ B、 $a + b + c <0$ C、 $a + c < b$ D、 $a b c <0$

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6、下列不等式中正确的是（）

A、 $a^{2} + b^{2} \geq 4 a b$ B、若 $a > 0$ ，则 $a + \frac{4}{a} \geq 4$ C、 $a^{2} + 2 + \frac{1}{a^{2} + 2}$ 的最小值是2 D、 $a^{2} + \frac{4}{a^{2}} \geq 4$

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7、若命题“存在 $x_{0} \in R$ ，使 $x^{2} - 2 x - m = 0$ ”是真命题，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $\{m| m \leq - 1\}$ B、 $\{m| m \geq - 1\}$ C、 $\{m ∣ - 1 \leq m \leq 1\}$ D、 ${m| m > - 1}$

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8、已知某扇形的半径为 $4 cm$ ，圆心角为 $2 rad$ ，则此扇形的面积为（）

A、 $16 {cm}^{2}$ B、 $12 m^{2}$ C、 $8 {cm}^{2}$ D、 $4 {cm}^{2}$

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9、已知集合 $A = \{1, 2\}$ ， $B = \{- 1, 0, 1, 2, 3\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{0, 2\}$ B、 $\{2\}$ C、 $\{- 1, 0, 3\}$ D、 $\{1, 2\}$

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10、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} > 0$ ．记 $\{S_{n}\}$ 的前 $n$ 项积为 $T_{n}$ ，且当 $n \geq 2$ 时， $T_{n} = S_{n} \cdot A_{2 n}^{n}$ ．

(1)、求 $S_{n}$ ；

(2)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(3)、探究 $T_{n}$ 与 $C_{3 n}^{n}$ 的大小关系，并给出证明．

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11、空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，点 $C (- 1, 0, 0)$ ，过点 $(1, 0, 0)$ 的直线 $l_{1}$ 与过点 $(0, - 1, 0)$ 的直线 $l_{2}$ 的倾斜角之和为π，且 $l_{1}$ 与平面xOy内的抛物线 $y^{2} = 4 x$ 交于A，B两点， $l_{2}$ 与x轴交于F，D为z轴正半轴一点，且 $D F = \sqrt{5}$ ，（ $l_{1}$ ， $l_{2}$ 均在平面xOy内）

(1)、若 $l_{2}$ 的倾斜角为 $\frac{π}{2}$ ，求二面角 $A - B D - C$ 的余弦值；

(2)、求三棱锥 $D - A B C$ 体积的最大值．

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12、已知函数 $f (x) = (x + a) \ln x$ ．

(1)、若 $a = - 1$ ，证明： $f (x) \geq 0$ ；

(2)、若过坐标原点的直线能与曲线 $y = f (x)$ 相切，求 $a$ 的取值范围．

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13、已知 $△ A B C$ 的内角的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $\sin A : \sin B : \sin C = 2 : 3 : \sqrt{10}$ ．

(1)、求 $\sin B$ ；

(2)、探究 $C$ 与 $A$ 的等量关系．

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14、已知箱子中有除颜色外其他均相同的8个红球，2个黄球，从中随机连续抽取3次，每次取1个球．

(1)、求有放回抽样时，取到黄球的次数X的期望与方差；

(2)、求不放回抽样时，取到黄球的个数Y的分布列．

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15、已知函数 $f (x)$ 的定义域为R，若 $f (x - 2) \geq f (x + 4) - 6$ ， $f (x + 2) - f (x - 1) \geq 3$ ， $f (3) = 2$ ，则 $f (2025)$ = ．

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16、甲乙二人参加一种游戏：在一副扑克牌中取出5张数字分别为3，4，5，6，7的牌，随后两人分别从其中随机取走一张．甲声称：我不知道谁牌上的数字更小，乙思考片刻后，作出了与甲同样的判断．在二人的判断均准确的前提下，甲推断出了乙手中牌上的数字，其为．

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17、已知 $\tan (α + \frac{π}{4}) = 2 + 3 \tan (\frac{π}{4} - α)$ ，则 $\tan α =$ ．

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18、在平面直角坐标系xOy中，设双曲线W： $x^{2} - y^{2} = 1$ 与圆E： ${(x - m)}^{2} + {(y - n)}^{2} = 4$ 交于A，B，C，D四个点，构成四边形 $A B C D$ ，则（）

A、W的两条渐近线相互垂直 B、当 $n = 0$ 时，m的取值范围是 $(- \sqrt{10}, \sqrt{10})$ C、当 $m = 0$ 时，n的取值范围是 $(- \sqrt{6}, \sqrt{6})$ D、四边形 $A B C D$ 的面积不超过8

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19、某高中开展一项课外实践活动，参与活动并提交实践报告可以获得学分，且该校对报告的评定分为两个等级：合格，不合格．评定为合格可以获得0.2学分，评定为不合格不能获得学分．若评定为不合格，则下一次评定为合格的概率为 $\frac{4}{5}$ ，若评定为合格，则下一次评定为合格的概率为 $\frac{3}{5}$ ．已知小李参加了3次课外实践活动，则（）

A、“小李第一次评定合格”与“小李第一次评定不合格”是互斥事件 B、若小李第一次评定为不合格，则小李获得0.4学分的概率为 $\frac{12}{25}$ C、若小李第一次评定为合格，则小李第三次评定为合格的概率为 $\frac{16}{25}$ D、“小李第一次评定合格”与“小李第三次评定合格”相互独立

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20、已知 $x > y > 0$ ， $x y = 1$ ，则（）

A、 $x \sqrt{y} > y \sqrt{x}$ B、 $x - y < \frac{1}{x} - \frac{1}{y}$ C、 $\frac{y}{e^{x}} < \log_{2} (x + y)$ D、 $e^{x} e^{\frac{1}{y}} > 7$

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