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相关试卷

1、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ ，记 $\vec{a} \otimes \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin ⟨\vec{a}, \vec{b}⟩$ .如图，在底面为菱形的直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $∠ A B C = 60 °$ ，且 $A B = \frac{1}{2} A A_{1} = 1$ ，则下列结论错误的是（）

A、 $\vec{A_{1} C_{1}} \otimes \vec{B D} = \sqrt{3}$ B、 $\vec{B A} \otimes \vec{C_{1} D} = 2$ C、 $\vec{D A} \otimes \vec{D_{1} B} = \sqrt{19}$ D、 $\vec{A_{1} D} \otimes \vec{A C} = \frac{\sqrt{19}}{2}$

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2、某正方体的平面展开图如图所示，如果将它还原为正方体，那么在该正方体中，下列结论正确的是（）

A、线段 $A B$ 与 $G H$ 所在的直线异面 B、线段 $C D$ 与 $E F$ 所在的直线平行 C、线段 $C D$ 与 $G H$ 所在的直线所成的角为 $60 °$ D、线段 $A B$ 与 $E F$ 所在的直线相交

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3、在边长为1的正 $△ A B C$ 中， $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A C} = \vec{b}$ ，且 $\vec{m} = 2 \vec{a} + \vec{b}, \vec{n} = - 3 \vec{a} + 2 \vec{b}$ ，则 $\vec{m}$ 与 $\vec{n}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{2 π}{3}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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4、我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为“刍童”.如图，在刍童 $A B C D - E F G H$ 中， $A B = 4, A D = 2, E F = 8, E H = 4$ ，平面 $A B C D$ 与平面 $E F G H$ 之间的距离为3，则此“刍童”的体积为（）

A、36 B、46 C、56 D、66

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5、定义： $[\begin{array}{l} a & c \\ b & d \end{array}] = a d - b c$ ，在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，则满足 $[\begin{matrix} a & b \\ cos A & cos B \end{matrix}] = 0$ 的 $△ A B C$ 一定是（）

A、等腰三角形 B、等边三角形 C、直角三角形 D、等腰直角三角形

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6、在 $△ A B C$ 中，已知 $B C = 1$ ，记 $\vec{A B} = \vec{c}, \vec{A C} = \vec{b}$ ，则 $|\vec{b} - \vec{c}| =$ （）

A、3 B、2 C、1 D、4

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7、下列说法正确的是（）

A、垂直于同一条直线的两直线平行 B、平行于同一平面的两个平面平行 C、过平面外一点只有一条直线与这个平面平行 D、直角三角形绕边旋转一周一定形成一个圆锥

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8、已知 $\vec{a} = (2, 4), \vec{b} = (- 6, λ)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $λ$ 的值为（）

A、 $- 12$ B、3 C、12 D、 $- 3$

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9、阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积，当我们垂直地缩小一个圆时，得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的面积为 $6 π$ ，两个焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，直线 $y = k x$ 与椭圆C交于A，B两点，若四边形 $A F_{1} B F_{2}$ 的周长为12，则椭圆C的短半轴长为（）

A、2 B、3 C、4 D、6

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10、如图，设 $O x$ ， $O y$ 是平面内相交成 $60 °$ 角的两条数轴， $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 分别是 $x$ 轴与 $y$ 轴正方向同向的单位向量，若向量 $\vec{O P} = x \vec{e_{1}} + y \vec{e_{2}}$ ，则把有序数对 $(x, y)$ 叫做向量在斜坐标系 $x O y$ 中的坐标，记为 $\vec{O P} = (x, y)$

(1)、在斜坐标系 $x O y$ 中的坐标，已知 $\vec{a} = (x, y)$ ，求 $|\vec{a}|$

(2)、在斜坐标系 $x O y$ 中的坐标，已知 $\vec{a} = (\sin θ, 2)$ ， $\vec{b} = (\cos θ, 1)$ ， $(\frac{π}{4} \leq θ \leq \frac{π}{2})$ 求 $|\vec{a} - \vec{b}|$ 的最大值.

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11、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面 $A B C$ 是正三角形， $A B = A A_{1} = 2 \sqrt{2}$ ， $B C$ 边上的中点为D．

(1)、求四棱锥 $C_{1} - A_{1} B_{1} B A$ 的体积；

(2)、求三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 截去三棱锥 $C_{1} - A C D$ 后所得几何体的表面积．

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12、设 $O$ 为坐标原点，向量 $\vec{O Z_{1}}$ 、 $\vec{O Z_{2}}$ 、 $\vec{O Z_{3}}$ 分别对应复数 $z_{1}$ 、 $z_{2}$ 、 $z_{3}$ ，且 $z_{1} = a^{2} + (2 - a) i$ ， $z_{2} = - 1 + (3 - 2 a) i$ ， $z_{3} = 2 - m i$ $(a, m \in R)$ . 已知 $\bar{z_{1}} + z_{2}$ 是纯虚数.

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、若 $Z_{1}, Z_{2}, Z_{3}$ 三点共线，求实数 $m$ 的值.

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13、将边长为 $20$ 的正三角形 $A B C$ ，按“斜二测”画法在水平放置的平面上画出为 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，则 $A^{'} C^{'} =$ ．

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14、“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知O是 $△ A B C$ 内一点， $△ B O C$ ， $△ A O C$ ， $△ A O B$ 的面积分别为 $S_{A}$ ， $S_{B}$ ， $S_{C}$ ，且 $S_{A} \cdot \vec{O A} + S_{B} \cdot \vec{O B} + S_{C} \cdot \vec{O C} = \vec{0}$ ．设 $O$ 是锐角 $△ A B C$ 内的一点， $∠ B A C$ 、 $∠ A B C$ 、 $∠ A C B$ 分别是的 $△ A B C$ 三个内角，以下命题正确的有（）

A、若 $\vec{O A} + 2 \vec{O B} + 3 \vec{O C} = \vec{0}$ ，则 $S_{A} : S_{B} : S_{C} = 1 : 2 : 3$ B、若 $|\vec{O A}| = |\vec{O B}| = 2$ ， $∠ A O B = \frac{5π}{6}$ ， $2 \vec{O A} + 3 \vec{O B} + 4 \vec{O C} = \vec{0}$ ，则 $S_{△ A B C} = \frac{9}{2}$ C、若O为 $△ A B C$ 的内心， $3 \vec{O A} + 4 \vec{O B} + 5 \vec{O C} = \vec{0}$ ，则 $∠ C = \frac{π}{2}$ D、若O为 $△ A B C$ 的垂心， $\vec{O A} + 2 \vec{O B} + 3 \vec{O C} = \vec{0}$ ，则 $\cos ∠ A O B = - \frac{\sqrt{10}}{10}$

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15、在 $△ A B C$ 中，已知 $a = \sqrt{3}$ ， $b = \sqrt{2}$ ， $B = 45^{\circ}$ ，则角 $A$ 的值可能为（）

A、 $30^{\circ}$ B、 $120^{\circ}$ C、 $60^{\circ}$ D、 $150^{\circ}$

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16、已知 $A (1, - 1)$ ， $B (4, 0)$ ， $C (2, 2)$ ，平面区域 $D$ 为由所有满足 $\vec{A P} = λ \vec{A B} + μ \vec{A C}$ 的点 $P (x, y)$ 组成的区域（其中 $1 < λ \leq a$ ， $1 < μ \leq b$ ），若区域 $D$ 的面积为 $8$ ，则 $a + b$ 的最小值为（）

A、 $4$ B、 $6$ C、 $8$ D、 $10$

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17、阿基米德（ $A r c h i m e d e s$ ，公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的数学家、物理学家和天文学家.他推导出的结论“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”是其毕生最满意的数学发现，后人按照他生前的要求，在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球（如图所示），该球与圆柱的两个底面及侧面均相切，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，若球的体积为 $36 π$ ，则圆柱的体积为（）

A、 $36 π$ B、 $45 π$ C、 $54 π$ D、 $63 π$

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18、如图所示，在空间四边形 $A B C D$ 中，点 $E$ ， $H$ 分别是边 $A B, A D$ 的中点，点 $F$ ， $G$ 分别是边 $B C$ ， $C D$ 上的点，且 $\frac{C F}{C B} = \frac{C G}{C D} = \frac{2}{3}$ ，有以下结论正确的是（）

A、 $E F$ 与 $G H$ 平行； B、 $E F$ 与 $G H$ 共面； C、 $E F$ 与 $G H$ 的交点 $M$ 可能在直线 $A C$ 上，也可能不在直线 $A C$ 上； D、 $E F$ 与 $G H$ 的交点 $M$ 一定在直线 $A C$ 上．

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19、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ 且 $| \vec{a} | = 2$ |， $\vec{b} = (1, 1)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上投影向量的坐标为（）

A、 $(\sqrt{2}, \sqrt{2})$ B、 $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ C、 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ D、 $(1, 1)$

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20、若 $|\vec{a}| = 3$ ， $|\vec{b}| = 4$ ， $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $135 °$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 等于（）

A、 $- 3 \sqrt{2}$ B、 $- 6 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $2$

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