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相关试卷

1、已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{2} = 1 (a > 0)$ 的左，右焦点分别是 $F_{1}, F_{2}$ ，下列说法正确的有（）

A、若双曲线的离心率为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，则双曲线的渐近线方程为 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$ B、若双曲线的通径长为2，则 $a = 2$ C、若 $P$ 是双曲线与以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆的交点，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为2 D、若点 $Q (3, 2)$ 在双曲线上，则 $|Q F_{1}| - |Q F_{2}| = \sqrt{3}$

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2、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，记 $△ A B C$ 的面积为 $S$ ，若 $a^{2} + 4 \sqrt{3} S = {(b + c)}^{2}$ ，则 $A =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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3、在圆台 $O_{1} O_{2}$ 中，下底面半径为上底面半径的4倍，高为4，体积为 $28 π$ ，则圆台的母线与下底面所成角的正切值为（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{3}{5}$

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4、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} \begin{array}{l} - 2 a x, x \leq - 1, \\ a^{x}, x > - 1, \end{array} \end{array}$ 若对任意 $x_{1} \neq x_{2}, \frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}} < 0$ 恒成立，则实数a的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{\sqrt{2}}{2}]$ B、 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, 1)$ C、 $(1, \sqrt{2})$ D、 $[\sqrt{2}, + \infty)$

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5、已知圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} - 2 x = 3$ ，半径为3的圆 $C_{2}$ 与圆 $C_{1}$ 外切，则点 $C_{2}$ 的轨迹方程是（）

A、 $x^{2} + y^{2} + 2 x = 4$ B、 $x^{2} + y^{2} + 2 x = 24$ C、 $x^{2} + y^{2} - 2 x = 24$ D、 $x^{2} + y^{2} - 2 x = 0$

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6、已知平面向量 $\vec{a} = (1, 2), \vec{b} = (2, m)$ ，若 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$ ，则 $m =$ （）

A、 $4$ B、 $- 4$ C、 $1$ D、 $- 1$

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7、已知命题 $p : \forall x \in (0, 9), {log}_{3} x < 2$ ；命题 $q : \exists x \in (0, 4), x^{2} < \sqrt{x}$ ．则（）

A、 $p$ 和 $q$ 都是真命题 B、 $p$ 和 $\neg q$ 都是真命题 C、 $\neg p$ 和 $q$ 都是真命题 D、 $\neg p$ 和 $\neg q$ 都是真命题

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8、已知集合 $A = \{x ∣ - 27 < x^{3} \leq 8\}, B = \{x ∣ x \leq 0\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $[0, 2]$ B、 $(- \infty, 2]$ C、 $(- 3, 2]$ D、 $(- 3, 0]$

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9、已知复数 $z = - 2 + 4 i$ （i为虚数单位），则复数 $\bar{z}$ 在复平面上对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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10、已知函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, 0 < φ < \frac{π}{2})$ 仅满足下列四个条件中的三个：①最小正周期为 $π$ ；②最大值为2；③ $f (0) = - 1$ ；④ $f (- \frac{π}{6}) = 0$ .

(1)、请找出函数 $f (x)$ 满足的三个条件，并说明理由和求出函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) + n cos (2 x + \frac{π}{3})$ 在 $x = \frac{π}{4}$ 处取得最大值，求实数 $n$ 的值及 $g (x)$ 的值域；

(3)、若函数 $f (x)$ 在 $[0, t]$ 上的最大值比最小值大1，求实数 $t$ 的值.

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11、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $Q$ 为棱 $P C$ 的中点，底面 $A B C D$ 为平行四边形， $A B = 2 A D = 2, ∠ A B D = 30 °, P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，直线 $B P$ 与底面 $A B C D$ 所成的角为 $45 °$ .

(1)、证明： $B C ⊥$ 平面 $P B D$ ；

(2)、求三棱锥 $A - B C Q$ 的体积；

(3)、求直线 $D Q$ 与平面 $P B D$ 所成角的正弦值.

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12、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ .已知 $2 c = 3 b cos C + 3 c cos B$ ， $cos B = \frac{9}{16}, △ A B C$ 的面积为 $\frac{15 \sqrt{7}}{4}$ .

(1)、求 $b$ 的值；

(2)、求 $cos (2 A + \frac{π}{6})$ 的值.

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13、如图，在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形， $E$ 是棱 $D_{1} D$ 的中点， $F$ 是棱 $B B_{1}$ 上的动点.

(1)、求证： $D_{1} B / /$ 平面 $A C E$ ；

(2)、求证： $A C ⊥ D F$ .

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14、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，向量 $\vec{m} = (a, \sqrt{3} b)$ ， $\vec{n} = (\cos A, \sin B), \vec{m} ∥ \vec{n}, \vec{B D} = 2 \vec{D C}$ .

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 2$ ，求 $△ A D C$ 的面积 $S_{△ A D C}$ .

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15、在空间内，若 $∠ A O B = ∠ B O C = ∠ A O C = 60^{\circ}$ ，则直线 $O A$ 与平面 $O B C$ 所成角的余弦值为.

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16、坐落于四川省资阳市安岳县的秦九韶纪念馆是四川省第五批省级爱国主义教育基地之一.南宋著名数学家秦九韶在湖州为母亲守孝三年时，把长期积累的数学知识和研究所得加以编辑，写成了闻名的巨著《数书九章》，它是中国朴素理学思想运用于生活实际的伟大数学成果.书中提出了三斜求积术，即已知三角形三边长求三角形面积的公式，可以看出我国古代已经具有很高的数学水平.设 $a, b, c$ 分别为 $△ A B C$ 内角 $A, B, C$ 的对边， $S$ 表示 $△ A B C$ 的面积，其公式为 $S = \sqrt{\frac{1}{4} (a^{2} c^{2} - {(\frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2})}^{2})}$ .若已知 $sin A : sin B : sin C = 2 : 3 : \sqrt{7}$ ，且 $S = \frac{27 \sqrt{3}}{2}$ ，则 $△ A B C$ 的周长为.

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17、已知 $\vec{m}, \vec{n}$ 是夹角为 $60 °$ 的两个单位向量，则向量 $\vec{m} - \vec{n}$ 在向量 $\vec{n}$ 上的投影向量为.

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18、2020年11月28日8时30分许，随着一阵汽笛声响，创造了10909米中国载人深潜新纪录的“奋斗者”号完成第二阶段海试，顺利返航.相比于现在先进的载人潜水器制造技术，在人类探秘深海初期，初一代的潜水器只是由钢缆和电话线连接的简易钢铁球壳.小李同学对潜水器很感兴趣，他利用假期制作了一个简易的“初一代”潜水器模型.他的模型外壳使用了面积为 $12 π$ 的金属材料，并在内部用12根等长的钢筋搭建了一个正方体支架.为了研究外壳各个点位与支架之间的受力情况，如图，作出支架的直观图正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，设 $P$ 为外壳上的一个动点，则（）

A、存在无数个点 $P$ ，使得 $P A / /$ 平面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ B、当平面 $P A A_{1} ⊥$ 平面 $C B_{1} D_{1}$ 时，点 $P$ 的轨迹长度为 $2 π$ C、当 $P A / /$ 平面 $A_{1} B_{1} C D$ 时，点 $P$ 的轨迹长度为 $2 π$ D、存在无数个点 $P$ ，使得平面 $P A D ⊥$ 平面 $P B C$

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19、将函数 $y = sin x$ 图象上所有点的横坐标变为原来的 $\frac{1}{ω} (ω > 0)$ ，纵坐标不变，得到 $y = f (x)$ 的图象，再将 $y = f (x)$ 的图象向右移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度得到 $y = g (x)$ 的图象.已知 $y = g (x)$ 的图象过点 $(\frac{2 π}{3}, 0)$ ，则 $ω$ 的值可以为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、2 D、4

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20、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，下列说法正确的有（）

A、若 $b^{2} + c^{2} = a^{2} - \sqrt{3} b c$ ，则 $A = \frac{5π}{6}$ B、若 $sin 2 A = sin 2 B$ ，则 $A = B$ C、 $a cos B + b cos A = c$ D、若 $sin A = \frac{5}{13}, cos B = \frac{3}{5}$ ，则 $cos C = - \frac{16}{65}$ 或 $- \frac{33}{65}$

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