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相关试卷

1、在 $△ A B C$ 中，若动点 $P$ 满足 ${\vec{A C}}^{2} + 2 \vec{C B} \cdot \vec{A P} = {\vec{A B}}^{2}$ ，则 $P$ 点的轨迹一定经过 $△ A B C$ 的（）

A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心

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2、一海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东 $35 °$ 的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东 $65 °$ ，在B处观察灯塔，其方向是北偏东 $70 °$ ，那么B，C两点间的距离是（）

A、 $10 \sqrt{5}$ 海里 B、 $20 \sqrt{3}$ 海里 C、 $10 \sqrt{2}$ 海里 D、 $20 \sqrt{2}$ 海里

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3、已知 $△ A B C$ 内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{3 (a^{2} + b^{2} - c^{2})}{4 \sqrt{3}}$ ，则 $\cos C$ 为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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4、已知 $a, b, c$ 是不同的直线， $α, β$ 是不同的平面，则下列说法正确的是（）

A、若 $a / / b, b \subset α$ ，则 $a / / α$ B、若 $a ⊥ b, a ⊥ c, b \subset α, c \subset α$ ，则 $a ⊥ α$ C、若 $α ⊥ β, α \cap β = a, b ⊥ a$ ，则 $b ⊥ α$ D、若 $a ⊥ α, a ⊥ β$ ，则 $α / / β$

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5、如图，已知 $\overset{⃑}{A P} = \frac{4}{3} \overset{⃑}{A B}$ ，用 $\overset{⃑}{O A}, \overset{⃑}{O B}$ 表示 $\overset{⃑}{O P}$ ，则 $\overset{⃑}{O P}$ 等于 $($ 　　 $)$

A、 $\frac{1}{3} \overset{⃑}{O A} - \frac{4}{3} \overset{⃑}{O B}$ B、 $\frac{1}{3} \overset{⃑}{O A} + \frac{4}{3} \overset{⃑}{O B}$ C、 $- \frac{1}{3} \overset{⃑}{O A} + \frac{4}{3} \overset{⃑}{O B}$ D、 $- \frac{1}{3} \overset{⃑}{O A} - \frac{4}{3} \overset{⃑}{O B}$

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6、若复数 $z$ 满足 $z (1 + i) = 1 - i$ ，则 $z$ 的虚部为（）

A、 $- i$ B、 $- 1$ C、 $i$ D、1

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7、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ A C, A B = 1, A C = A A_{1} = 2$ ．

(1)、证明： $A_{1} C ⊥$ 平面 $A B C_{1}$ ；

(2)、求直线 $A C_{1}$ 与平面 $A_{1} B C_{1}$ 所成角的正弦值．

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8、随着居民家庭收入的不断提高，人们对居住条件的改善的需求也在逐渐升温．某城市统计了最近5个月的房屋交易量，如下表所示：
时间 $x$
1
2
3
4
5
交易量 $y$ （万套）
$0.5$
0.8
1.0
1.2
1.5
若 $y$ 与 $x$ 满足一元线性回归模型，且经验回归方程为 $\hat{y} = 0.24 x + \hat{a}$ ，则下列说法错误的是（）

A、根据表中数据可知，变量 $y$ 与 $x$ 正相关 B、经验回归方程 $\hat{y} = 0.24 x + \hat{a}$ 中 $\hat{a} = 0.28$ C、可以预测 $x = 6$ 时房屋交易量约为 $1.72$ （万套） D、 $x = 5$ 时，残差为 $- 0.02$

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9、对于 $z_{0}, z_{1}, z_{2} \in C$ ，记 $k = |\frac{z_{1} - z_{0}}{z_{2} - z_{0}}|$ 为 $z_{1}, z_{2}$ 关于 $z_{0}$ 的“差比模”.若取遍 $|z_{0}| = r (r > 0)$ ，记 $z_{1}, z_{2}$ 关于 $|z_{0}| = r$ 的“差比模”的最大值为 $k_{max}$ ，最小值为 $k_{min}$ ，若 $k_{max} + k_{min} = 2$ ，则称 $z_{1}, z_{2}$ 关于 $r$ 的“差比模”是协调的.

(1)、若 $z_{0} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i, z_{1} = 1, z_{2} = - 1$ ，求 $z_{1}, z_{2}$ 关于 $z_{0}$ 的“差比模”；

(2)、若 $z_{1} = 1 + \sqrt{3} i, z_{2} = 1 - \sqrt{3} i$ ，是否存在 $r < 2$ ，使得 $z_{1}, z_{2}$ 关于 $r$ 的“差比模”是协调的？若存在，求出 $r$ 的值；若不存在，说明理由；

(3)、若 $z_{1} = a, z_{2} = b i, a, b \in R$ 且 $a, b > r$ ，若 $z_{1}, z_{2}$ 关于 $r$ 的“差比模”是协调的，求 $\frac{b^{2} - a^{2}}{r^{2}}$ 的值.

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10、设椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率等于 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，抛物线 $x^{2} = 4 y$ 的焦点 $F$ 是椭圆 $E$ 的一个顶点， $A, B$ 分别是椭圆的左右顶点.

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、动点 $P$ 、 $Q$ 为椭圆上异于 $A, B$ 的两点，设直线 $A P$ ， $B Q$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，且 $k_{2} = 3 k_{1}$ ，求证：直线 $P Q$ 经过定点.

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11、某大学有甲､乙两个运动场.假设同学们可以任意选择其中一个运动场锻炼，也可选择不锻炼，一天最多锻炼一次，一次只能选择一个运动场.若同学们每次锻炼选择去甲或乙运动场的概率均为 $\frac{1}{2}$ ，每次选择相互独立.设王同学在某个假期的三天内去运动场锻炼的次数为 $X$ ，已知 $X$ 的分布列如下：（其中 $a > 0, 0 < p < 1$ ）
$X$
0
1
2
3
$P$
$a {(1 - p)}^{2}$
$\frac{a}{p}$
$a$
$a (1 - p)$

(1)、记事件 $A_{i}$ 表示王同学假期三天内去运动场锻炼 $i$ 次 $(i = 0, 1, 2, 3)$ ，事件 $B$ 表示王同学在这三天内去甲运动场锻炼的次数大于去乙运动场锻炼的次数.当 $p = \frac{1}{2}$ 时，试根据全概率公式求 $P (B)$ 的值；

(2)、是否存在实数 $p$ ，使得 $E (X) = \frac{5}{3}$ ？若存在，求 $p$ 的值：若不存在，请说明理由；

(3)、记 $M$ 表示事件“甲运动场举办锻炼有奖的抽奖活动”， $N$ 表示事件“王同学去甲运动场锻炼”， $0 < P (M) < 1$ .已知王同学在甲运动场举办锻炼有奖的抽奖活动的情况下去甲运动场锻炼的概率，比不举办抽奖活动的情况下去甲运动场锻炼的概率大，证明： $P (M ∣ N) > P (M ∣ \bar{N})$ .

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12、已知抛物线 $E : y^{2} = 4 x$ ，点 $A, B, C$ 在抛物线 $E$ 上，且 $A$ 在 $x$ 轴上方， $B$ 和 $C$ 在 $x$ 轴下方（ $B$ 在 $C$ 左侧）， $A, C$ 关于 $x$ 轴对称，直线 $A B$ 交 $x$ 轴于点 $M$ ，延长线段 $C B$ 交 $x$ 轴于点 $Q$ ，连接 $Q A$ .

(1)、证明： $\frac{|O M|}{|O Q|}$ 为定值（ $O$ 为坐标原点）；

(2)、若点 $Q$ 的横坐标为 $- 1$ ，且 $\vec{M B} \cdot \vec{M C} = \frac{8}{9}$ ，求 $△ A Q B$ 的内切圆的方程.

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13、已知函数 $f (x) = {(x - 1)}^{2} e^{x} - a x$ ，且曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (x))$ 处的切线方程为 $y = - 2 x + b$ ．

(1)、求实数 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、证明：函数 $f (x)$ 有两个零点．

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14、在三棱锥 $S - A B C$ 中，平面 $S A C ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A B ⊥ B C$ ， $A C = A S = S C = 2 B C$ ， $D, E$ 分别为 $A B, A C$ 的中点.

(1)、证明： $A B ⊥$ 平面 $S D E$ ；

(2)、求二面角 $A - S B - C$ 的正弦值.

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15、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ ，且 $4 a cos B - b cos C = c cos B$ .

(1)、求 $cos B$ 的值；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{15}}{2}, b = 3 \sqrt{2}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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16、已知四棱锥 $P - A B C D$ 的底面为矩形， $A B = 2 \sqrt{3}$ ， $B C = 4$ ，侧面 $P A B$ 为正三角形且垂直于底面 $A B C D$ ， $M$ 为四棱锥 $P - A B C D$ 内切球表面上一点，则点 $M$ 到直线 $C D$ 距离的最小值为.

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17、现安排甲、乙、丁、丙、戊五位老师从周一到周五的常规值班，每人一天，每天一人，则甲、乙两人相邻，丙不排在周三的概率为.

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18、已知定义在 $[0, 1]$ 上的函数 $f (x)$ 满足： $\forall x \in [0, 1]$ ，都有 $f (1 - x) + f (x) = 1$ ，且 $f (\frac{x}{3}) = \frac{1}{2} f (x)$ ， $f (0) = 0$ ，当 $0 \leq x_{1} < x_{2} \leq 1$ 时，有 $f (x_{1}) \leq f (x_{2})$ ，则（）

A、 $f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$ B、 $f (1) = \frac{1}{2}$ C、 $f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{2}$ D、 $f (\frac{\ln 3}{3}) = \frac{1}{2}$

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19、下列说法中，正确的是（）

A、若随机变量 $X ~ N (2, σ^{2})$ ，且 $P (X > 6) = 0.4$ ，则 $P (- 2 < X < 2) = 0.2$ B、一组数据6，7，7，9，13，14，16，17，21的第70百分位数为16 C、盒子中装有除颜色外完全相同的5个黄球和3个蓝球，从袋中有放回地依次抽取2个球，第一次抽到蓝球的情况下第二次也抽到蓝球的概率为 $\frac{3}{8}$ D、设随机事件 $A$ ， $B$ ，已知 $A$ 事件发生的概率为0.3，在 $A$ 发生的条件下 $B$ 发生的概率为0.4，在 $A$ 不发生的条件下 $B$ 发生的概率为0.2，则 $B$ 发生的概率为0.26

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20、已知双曲线： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，过点 $F_{2}$ 作直线交双曲线右支于 $M, N$ 两点（ $M$ 点在 $x$ 轴上方），使得 $\vec{M F_{2}} = 3 \vec{F_{2} N}$ .若 $(\vec{M F_{1}} + \vec{M N}) \cdot \vec{F_{1} N} = 0$ ，则双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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时间 $x$	1	2	3	4	5
交易量 $y$ （万套）	$0.5$	0.8	1.0	1.2	1.5

$X$	0	1	2	3
$P$	$a {(1 - p)}^{2}$	$\frac{a}{p}$	$a$	$a (1 - p)$