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相关试卷

1、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ B C, E, F$ 分别为棱 $A_{1} C_{1}, B C$ 的中点.

(1)、求证： $C_{1} F / /$ 平面 $A B E$

(2)、求证：平面 $A B E ⊥$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$

(3)、若 $A B = B C = A A_{1} = 2$ ，求二面角 $E - A B - C$ 的余弦值.

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2、数学家波利亚说：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立相等关系”这就是算两次原理，又称为富比尼原理.例如：如图甲，在 $△ A B C$ 中，D 为BC的中点，则在 $△ A B D$ 中，有 $\vec{A D} = \vec{A B} + \vec{B D}$ ，在 $△ A C D$ 中，有 $\vec{A D} = \vec{A C} + \vec{C D}$ ，两式相加得， $2 \vec{A D} = \vec{A B} + \vec{B D} + \vec{A C} + \vec{C D} .$ 因为 D 为 BC的中点，所以 $\vec{B D} + \vec{C D} = \vec{0}$ ，于是 $2 \vec{A D} = \vec{A B} + \vec{A C} .$ 如图乙，在四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点.

(1)、如图乙，请用“算两次”的方法证明： $2 \vec{E F} = \vec{A B} + \vec{D C}$ ；

(2)、如图乙，若 $A B = 1, D C = 2, \vec{A B}$ 与 $\vec{D C}$ 的夹角为 $60 °$ ，求 $\vec{E F}$ 与 $\vec{A B}$ 的夹角的余弦值.

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3、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点M为棱 $C C_{1}$ 的中点，记过点 $B_{1}$ 与AM垂直的平面为 $α$ ，平面 $α$ 将正方体分成两部分，体积较大的记为V大，另一部分的体积为 $V_{A}$ ，则 $\frac{V}{V_{A}} =$ .

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4、若 $- \frac{π}{4} < α < \frac{π}{4}$ 且 $c o s (\frac{π}{4} + α) = \frac{\sqrt{5}}{5} ，$ 则 $\tan (\frac{π}{4} + α) =$ ， $s i n (\frac{π}{4} - α) =$

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5、已知点 O是平面直角坐标系的原点，点A的坐标为 $(1, 2)$ ，点B的坐标为 $(4, 5)$ ，作 $A D ⊥ O B$ ，垂足为D，则下列结论正确的是（）

A、 $|\vec{A B}| = 3$ B、设 $\vec{O P} = m \vec{O A} + \vec{A B} ，$ 四边形OABP有可能是平行四边形 C、将 $\vec{O B}$ 绕 O逆时针旋转 $90 °$ 得到向量 $\vec{O B_{1}} ，$ 则 $B_{1}$ 的坐标为 $(- 5, 4)$ D、 $| \vec{A D} | = \frac{3 \sqrt{41}}{41}$

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6、下列结论正确的是（）

A、当 $m = - 1$ 时，复数 $z = m + 1 + (m - 1) i$ 是纯虚数 B、复数 $z = (1 + i) (1 - i)$ 对应的点在第一象限 C、复数z及其共轭复数 $\bar{z}$ 满足 $2 z + \bar{z} = 3 - i$ ，则 $z = 1 - i$ D、复数 $6 + 5 i$ 与 $- 3 + 4i$ 分分别对应向量 $\vec{O A}$ 与 $\vec{O B} ，$ 则向量 $\vec{B A}$ 表示的复数为 $9 + i$

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7、如图，某工程队将从A 到D 修建一条隧道，工程队从A 出发向正东行 $10 \sqrt{3} k m$ 到达B，然后从B向南偏西 $45 °$ 方向行了一段距离到达C，再从C 向北偏西 $75 °$ 方向行了 $4 \sqrt{2} k m$ 到达D. 已知C在A 南偏东 $15 °$ 方向上，则A 到D 修建隧道的距离为（）km.

A、 $2 \sqrt{78}$ B、 $2 \sqrt{53}$ C、 $2 \sqrt{38}$ D、 $8 \sqrt{2}$

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8、已知 $m, n$ 为两条不同直线， $α$ ， $β$ 为两个不同平面，则下列说法正确的是（）

A、若直线 $m, n$ 与平面 $α$ 所成角相等，则 $m / / n$ B、若平面 $α$ 上有三个不同点到平面 $β$ 的距离相等，则 $α / / β$ C、若 $m$ 上有两个不同点到平面 $α$ 的距离相等，则 $m / / α$ D、若 $m \subset α, n \subset β, m / / β, n / / α$ ，且直线 $m, n$ 异面，则 $α / / β$

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9、以斜边长为2的等腰直角三角形的斜边所在直线为旋转轴，将该三角形旋转一周所得几何体的表面积为（）

A、 $2 π$ B、 $2 \sqrt{2} π$ C、 $4 π$ D、 $4 \sqrt{2} π$

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10、 $\cos \frac{5 π}{6} =$

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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11、设全集 $U = R$ ，集合 $A = \{x | - 1 \leq x \leq 1\}$ ， $B = {- 2, - 1, 0, 1, 2}$ ，则 $(∁_{U} A) \cap B =$ （）

A、{2} B、 ${- 2, 2}$ C、 ${- 1, 0, 1}$ D、 ${0, 1, 2}$

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12、如图，在 $△ A B C$ 中，已知 $A B = 2$ ， $A C = 6 \sqrt{2}$ ， $∠ B A C = 45 °$ ， $B C$ 边上的中点为 $M$ ，点 $N$ 是边 $A C$ 上的动点（不含端点）， $A M$ ， $B N$ 相交于点 $P$ ．

(1)、求 $∠ B A M$ 的正弦值；

(2)、当点 $N$ 为 $A C$ 中点时，求 $∠ M P N$ 的余弦值．

(3)、当 $\vec{N A} \cdot \vec{N B}$ 取得最小值时，设 $\vec{B P} = λ \vec{B N}$ ，求 $λ$ 的值．

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13、已知平面四边形 $A B C D$ ， $A B = A D = 2$ ， $∠ B A D = 60 °$ ， $∠ B C D = 30 °$ ， $B D ⊥ C D$ ，现将 $△ A B D$ 沿 $B D$ 边折起，使得平面 $A B D ⊥$ 平面 $B C D$ ，点 $P$ 为线段 $A D$ 的中点．

(1)、求证： $B P ⊥$ 平面 $A C D$ ；

(2)、若 $M$ 为 $C D$ 的中点，求 $M P$ 与平面 $B P C$ 所成角的余弦值．

(3)、在（2）的条件下，求平面 $P B M$ 与平面 $B M D$ 所成二面角的余弦值．

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14、已知在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $c - a \cos B = \frac{\sqrt{3}}{3} a \sin B$

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $a = 2 \sqrt{3}$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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15、已知向量 $\vec{a} = (1, x), \vec{b} = (2, 3)$ ．

(1)、若 $\vec{b} ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ ，求 $|\vec{a} - \vec{b}|$ ；

(2)、若 $\vec{c} = (- 3, - 4)$ ， $\vec{b} / / (\vec{a} + \vec{c})$ ，求 $3 \vec{b} + \vec{c}$ 与 $\vec{a}$ 的夹角的余弦值．

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16、已知 $|\vec{b}| = 3, \vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $\frac{1}{2} \vec{b}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 的值为.

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17、已知 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， $a = 1, b = 2, \cos C = \frac{1}{4}$ ，则 $\sin A =$ ．

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18、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $P$ 为线段 $B_{1} C$ 上一动点，则下列说法正确的是（）

A、直线 $B D_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} C_{1} D$ B、异面直线 $A P$ 与 $A_{1} D$ 所成角的取值范围是 $(0, \frac{π}{3}]$ C、 $A P / /$ 平面 $A_{1} C_{1} D$ D、平面 $A_{1} C_{1} D$ 与底面 $A B C D$ 的交线平行于直线 $A C$

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19、设 $△ A B C$ 满足 $\sin A : \sin B : \sin C = 2 : 3 : \sqrt{7}$ ，其面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ，则（）

A、 $△ A B C$ 周长为 $6 + \sqrt{7}$ B、 $A + B = 2 C$ C、 $△ A B C$ 外接圆的面积为 $\frac{7}{3} π$ D、 $△ A B C$ 中线 $C D$ 长为 $\frac{\sqrt{19}}{2}$

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20、已知 $z_{1}$ 与 $z_{2}$ 是共轭复数，以下4个命题一定正确的是（）

A、 $z_{1} z_{2} = |z_{1} z_{2}|$ B、 $z_{1}^{2} < {|z_{2}|}^{2}$ C、 $z_{1} + z_{2} \in R$ D、 $\frac{z_{1}}{z_{2}} \in R$

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