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相关试卷

1、已知 $△ A B C$ 的外接圆圆心为 $O$ ，且 $2 \vec{A O} = \vec{A B} + \vec{A C}$ ， $| \vec{O A} | = | \vec{A B} |$ ，则向量 $\vec{O A}$ 在向量 $\vec{B C}$ 上的投影向量为（）

A、 $\frac{1}{4} \vec{B C}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{4} \vec{B C}$ C、 $- \frac{1}{4} \vec{B C}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{4} \vec{B C}$

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2、曲线 $y = x^{2} (x - 1)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程为（）

A、 $x = 1$ B、 $y = 1$ C、 $y = x$ D、 $y = x - 1$

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3、设 $a$ ， $b \in R$ ，则使 $a > b$ 成立的一个充分不必要条件是（）

A、 $a^{3} > b^{3}$ B、 $\ln (a - b) > 0$ C、 $a^{2} > b^{2}$ D、 $| a | > b$

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4、已知 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数，当 $x \in (0, + \infty)$ 时， $f (x) = \log_{\frac{1}{3}} x$ ，则 $f (- 9) =$ （）

A、2 B、3 C、 $- 2$ D、 $- 3$

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5、已知集合 $A = \{x | y = \sqrt{x^{2} - 1}\}$ ， $B = \{x \in Z | |x| \leq 2\}$ 则 $A \cap B =$ ( ).

A、 $[- 1, 1]$ B、 $[- 2, - 1] \cup [1, 2]$ C、 $\{- 2, - 1, 1, 2\}$ D、 $\{- 2, - 1, 0 ， 1, 2\}$

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6、已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过点 $F_{2}$ 作x轴的垂线与椭圆交于M，N两点， $|M N| = 3$ ， $\tan ∠ M F_{1} N = \frac{24}{7}$ ．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、若椭圆C的上顶点为P，直线l与该椭圆交于A，B两点（异于上、下顶点），记直线PA的斜率为 $k_{1}$ ，直线PB的斜率为 $k_{2}$ ，且 $k_{1} + k_{2} = 2$ ，证明：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

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7、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E, F$ 分别为 $B C_{1}, A B$ 的中点，点 $G$ 在 $D C$ 的延长线上，且 $C G = \frac{1}{2} C D$ .

(1)、证明： $E G ⊥$ 平面 $B C_{1} D$ .

(2)、求平面 $B C_{1} D$ 与平面 $D E F$ 的夹角余弦值.

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8、已知 $O$ 为坐标原点，椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率 $e = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，短轴长为 $2 \sqrt{3}$ ．若直线 $l$ 与 $C$ 在第一象限交于 $A, B$ 两点， $l$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别相交于 $M, N$ 两点， $|M A| = |N B|$ ，且 $S_{△ M N O} = 2 \sqrt{2}$ ，则 $|A B| =$ ．

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9、设数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 3$ ， $a_{n + 1} = 3 a_{n} - 4 n$ ，若 $b_{n} = \frac{4 n^{2} + 8 n + 5}{a_{n} a_{n + 1}}$ 且数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $(6 n + 9) S_{n} =$ ．

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10、已知函数 $f (x) = k x + 2 (k < 0)$ ， $g (x) = \ln x$ ，若存在实数 $x_{1} \neq x_{2}$ 使得 $f (x_{1}) = g (x_{2})$ 且 $f (x_{2}) = g (x_{1})$ ，则实数 $k$ 的取值范围为.

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11、已知圆 $O_{1} : x^{2} + y^{2} - 2 x - 3 = 0$ 和圆 $O_{2} : x^{2} + y^{2} - 2 y - 1 = 0$ 的交点为 $A, B$ ，则下列说法正确的是（）

A、两圆的圆心距 $O_{1} O_{2} = \sqrt{2}$ B、直线 $A B$ 的方程为 $x - y - 1 = 0$ C、圆 $O_{2}$ 上存在两点 $P$ 和 $Q$ ，使得 $P Q > A B$ D、圆 $O_{1}$ 上的点到直线 $A B$ 的最大距离为 $2 + \sqrt{2}$

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12、已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，直线 $(a - 1) x + y - 1 = 0$ 和 $x + 2 b y + 1 = 0$ 垂直，则 $\frac{2}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为（）

A、 $16$ B、 $8$ C、 $4$ D、 $2$

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13、已知动圆M和圆 $C_{1}$ ： ${(x + 1)}^{2} + y^{2} = 36$ 内切，并和圆 $C_{2}$ ： ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 4$ 外切，则动圆圆心M的轨迹是（）

A、直线 B、圆 C、焦点在 $x$ 轴上的椭圆 D、焦点在 $y$ 轴上的椭圆

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14、已知随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (2, σ^{2})$ ， $P (X > 1) = 0.7$ ，则 $P (2 < X < 3) =$ （）

A、0.7 B、0.6 C、0.4 D、0.2

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15、若 ${(2 x - 1)}^{4} = a_{4} x^{4} + a_{3} x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0},$ 则 $a_{0} + a_{2} + a_{4} =$ （）

A、 $- 40$ B、 $40$ C、 $41$ D、 $82$

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16、设数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项之积为 $T_{n}$ ，满足 $a_{n} + 2 T_{n} = 1$ （ $n \in N^{*}$ ），则 $a_{2024} =$ （）

A、 $\frac{1011}{1012}$ B、 $\frac{1011}{1013}$ C、 $\frac{4047}{4049}$ D、 $\frac{4048}{4049}$

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17、已知函数 $f (x)$ 的图象与直线 $4 x - y - 4 = 0$ 相切于点 $(2, f (2))$ ，则 $f (2) + f^{'} (2)$ （）

A、4 B、8 C、0 D、-8

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18、已知复数 $z$ 满足 $z {(1 + i)}^{2} = 2 + 2 \sqrt{3} i$ ，则 $|z - 2 i| =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、4 D、12

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19、在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $P$ 为直线 $y = 2$ 上一动点，椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右顶点分别为 $M (- \sqrt{2}, 0)$ ， $N (\sqrt{2}, 0)$ ，上、下顶点分别为 $T (0, 1)$ ， $S (0, - 1)$ ．若直线 $P T$ 交 $E$ 于另一点 $A$ ，直线 $P S$ 交 $E$ 于另一点 $B$ ．

(1)、求证：直线 $A B$ 过定点，并求出定点坐标；

(2)、求四边形 $A S B T$ 面积的最大值．

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20、已知 ${(1 + 2 x)}^{n}$ 的展开式中第3项与第5项的二项式系数相等，则 ${(1 + 2 x)}^{n}$ 的展开式的各项系数之和为（）

A、 $2^{6}$ B、 $2^{8}$ C、 $3^{6}$ D、 $3^{8}$

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