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相关试卷

1、若 $e^{x + 2 t} \geq \ln x - 2 t$ 对一切正实数 $x$ 恒成立，则实数 $t$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, \frac{1}{e}]$ B、 $(- \infty, \frac{1}{2}]$ C、 $[- \frac{1}{2} ， + \infty)$ D、 $(- \infty, e]$

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2、设函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 是定义在同一区间 $[a, b]$ 上的两个函数，若对任意的 $x \in [a, b]$ ，都有 $|f (x) - g (x)| \leq 1$ ，则称 $f (x)$ 与 $g (x)$ 在 $[a, b]$ 上是“密切函数”，区间 $[a, b]$ 称为“密切区间”，设函数 $f (x) = ln x$ 与 $g (x) = \frac{m x - 1}{x}$ 在 $[\frac{1}{e}, e]$ 上是“密切函数”，则实数m的取值范围是（）

A、 $[e - 2, 2]$ B、 $[\frac{1}{e}, 2]$ C、 $[\frac{1}{e} - e, 1 + e]$ D、 $[1 - e, 1 + e]$

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3、已知某地市场上供应的灯泡中，甲厂产品占 $60 %$ ，乙厂产品占 $40 %$ ，甲厂产品的合格率是 $90 %$ ，乙厂产品的合格率是 $80 %$ ，则从该地市场上买到一个合格灯泡的概率是（）

A、 $0.54$ B、 $0.32$ C、 $0.84$ D、 $0.86$

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4、函数 $y = (x + 1) e^{x + 1}, x \in [- 3, 4]$ 的最小值为（）

A、 $2 e^{- 2}$ B、 $5 e^{5}$ C、 $4 e^{5}$ D、 $- e^{- 1}$

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5、2023年杭州亚运会吉祥物组合为“江南忆”，出自白居易的“江南忆，最忆是杭州”，名为“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”的三个吉祥物，是一组承载深厚文化底蕴的机器人为了宣传杭州亚运会，某校决定派4名志愿者将这三个吉祥物安装在学校科技广场，每名志愿者只安装一个吉祥物，且每个吉祥物至少有一名志愿者安装，若志愿者甲只能安装吉祥物“宸宸”，志愿者乙不能安装吉祥物“宸宸”则不同的安装方案种数为（）

A、6 B、12 C、10 D、14

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6、已知函数f(x)的图象如图所示，下列数值的排序正确的是（）

A、 $f^{'} (2) < f^{'} (3) < f (3) - f (2)$ B、 $f^{'} (3) < f (3) - f (2) < f^{'} (2)$ C、 $f^{'} (3) < f^{'} (2) < f (3) - f (2)$ D、 $f (3) - f (2) < f^{'} (2) < f^{'} (3)$

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7、设 $\vec{a} = (2, - 1)$ ， $\vec{b} = (- 3, 1)$ ， $\vec{c} = (1, - 2)$ ，则 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) \cdot \vec{c} =$ （）

A、 $- 2$ B、1 C、 $- 6$ D、 $- 7$

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8、对于一个 $n$ 元正整数集 $S = \{1, 2, \dots, n\}$ ，如果它能划分成 $\frac{n}{2}$ 个不相交的二元子集 $\{a_{i}, b_{i}\} (i = 1, 2, \dots, \frac{n}{2})$ 的并集，即 $S = \{a_{1}, b_{1}\} \cup \{a_{2}, b_{2}\} \cup \dots \cup \{a_{n}, b_{n}\}$ ，且存在 $k \in N^{*}$ ，使得 $a_{i} + b_{i} = 3^{k}$ ，则称这个偶数 $n$ 为可分数.例如，由于二元子集 $\{1, 2\}$ 满足 $1 + 2 = 3$ ，则称2为可分数.

(1)、判断4和6是否为可分数，并说明理由；

(2)、求小于81的最大可分数；

(3)、记小于 $3^{n} (n \in N^{*})$ 的可分数的个数为 $a_{n}$ ，令 $b_{n} = \frac{a_{n}}{3^{n}}$ ，记 $S_{n}$ 为数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，证明： $S_{n} < \frac{3}{2}$ .

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9、已知函数 $f (x) = a x + x ln (1 + \frac{x}{2}) - (1 + x) ln (1 + x)$ .

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线与 $x$ 轴平行，求 $a$ 的值；

(2)、设函数 $g (x) = x f (\frac{1}{x})$ ，给出 $g (x)$ 的定义域，并证明：曲线 $y = g (x)$ 是轴对称图形；

(3)、证明： ${(1 + \frac{1}{n})}^{n} < e (1 - \frac{1}{2 n + 2}) (n \in N^{*})$ .

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10、已知 $M$ ， $N$ 是圆 $O : x^{2} + y^{2} = 8$ 上两点，且 $| M N | = 4$ ，若直线 $x - a y + 6 = 0$ 上存在点 $P$ 使得 $\vec{O M} + \vec{O N} = \vec{O P}$ ，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, - \frac{\sqrt{5}}{2}] \cup [\frac{\sqrt{5}}{2}, + \infty)$ B、 $(- \infty, - \frac{\sqrt{5}}{2}) \cup (\frac{\sqrt{5}}{2}, + \infty)$ C、 $[- \frac{\sqrt{5}}{2}, \frac{\sqrt{5}}{2}]$ D、 $(- \frac{\sqrt{5}}{2}, \frac{\sqrt{5}}{2})$

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11、定义：若椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上的两个点 $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2})$ 满足 $\frac{x_{1} x_{2}}{a^{2}} + \frac{y_{1} y_{2}}{b^{2}} = 0$ ，则称 $A, B$ 为该椭圆的一个“共轭点对”．
如图， $A, B$ 为椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的“共轭点对”，已知 $A (3, 1)$ ，且点 $B$ 在直线 $l$ 上，直线 $l$ 过原点．

(1)、求直线 $l$ 的方程；

(2)、已知 $P, Q$ 是椭圆 $C$ 上的两点， $O$ 为坐标原点，且 $P Q ∥ O A$ ．
（i）求证：线段 $P Q$ 被直线 $l$ 平分；
（ii）若点 $B$ 在第二象限，直线 $l$ 与 $P Q$ 相交于点 $M$ ，点 $N$ 为 $P B$ 的中点，求 $△ B M N$ 面积的最大值．

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12、已知函数 $f (x) = {(x - 1)}^{3}$ ．

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(2, f (2))$ 处的切线方程；

(2)、在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 2, a_{n + 1}$ 是曲线 $y = f (x)$ 在点 $(a_{n}, f (a_{n})) (a_{n} \neq 1)$ 处的切线与 $x$ 轴交点的横坐标．证明：数列 $\{a_{n} - 1\}$ 是等比数列，并求数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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13、已知长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = B C = 1, A A_{1} = 2$ ．

(1)、在长方体中，过点 $C_{1}$ 作与平面 $A B_{1} D_{1}$ 平行的平面 $α$ ，并说明理由；

(2)、求直线 $B_{1} D$ 与平面 $α$ 所成角的正弦值．

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14、某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿脾胃虚弱．采用有放回的简单随机抽样方法对治疗情况进行检查，得到如下数据：抽到接受甲种疗法的患儿55名，其中未治愈10名；抽到接受乙种疗法的患儿45名，其中治愈30名．

(1)、请补全如下列联表，并根据小概率值 $α = 0 ． 05$ 的独立性检验，分析乙种疗法的效果是否比甲种疗法好；
疗法
疗效
合计
未治愈
治愈
甲
乙
合计

(2)、从接受乙种疗法的患儿中，按照疗效采用比例分配的分层随机抽样法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，求这3人中未治愈人数 $X$ 的分布列及期望；
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$
$P (X^{2} \geq k)$
0.050
0.010
0.001
$k$
3.841
6.635
10.828

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15、记 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，已知 $b = 2, c = 3$ ，且 $sin B - sin 2 C = 0$ ．

(1)、求 $cos C$ 的值；

(2)、若点 $M$ 满足 $\vec{B M} = 2 \vec{M C}$ ，求 $A M$ 的长度．

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16、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且 $f (x + 1) = f (1 - x), f (x + 4) + f (- x) = 2$ ．若 $f (1) = 0$ ，则 $\sum_{i = 1}^{2025} f (i) =$ ．

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17、现有3名男同学和2名女同学，从中抽取3名同学去两个不同的地方参加志愿者服务活动，且每个地方至少要有1名男同学，则不同的分配方式共有种．

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18、已知向量 $\vec{a} = (1, 2), \vec{b} = (m, 1)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $m =$ ．

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19、圆锥曲线具有丰富的光学性质．双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点 $F_{2}$ 处发出的光线，经过双曲线在点 $P$ 处反射后，反射光线所在直线经过另一个焦点 $F_{1}$ ，且双曲线在点 $P$ 处的切线平分 $∠ F_{1} P F_{2}$ ．如图，对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线 $C$ 过点 $(3, - 1)$ ，其左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ．若从 $F_{2}$ 发出的光线经双曲线右支上一点 $P$ 反射的光线为 $P Q$ ，点 $P$ 处的切线交 $x$ 轴于点 $T$ ，则下列说法正确的是（）

A、双曲线 $C$ 的方程为 $x^{2} - y^{2} = 8$ B、过点 $P$ 且垂直于 $P T$ 的直线平分 $∠ F_{2} P Q$ C、若 $P F_{2} ⊥ P Q$ ，则 $|P F_{1}| \cdot |P F_{2}| = 18$ D、若 $∠ F_{1} P F_{2} = 60 °$ ，则 $|P T| = \frac{4 \sqrt{30}}{5}$

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20、已知函数 $f (x) = e^{x}, g (x) = ln x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 与 $g (x)$ 互为反函数 B、若 $x_{0}$ 是函数 $h (x) = f (x) - g (x)$ 的极值点，则 $x_{0} = ln x_{0}$ C、若 $e^{x_{1}} = 2 - x_{1}, ln x_{2} = 2 - x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} = 2$ D、点 $P$ 在曲线 $y = f (x)$ 上，点 $Q$ 在曲线 $y = g (x)$ 上，则 $|P Q| \geq \sqrt{2}$

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疗法	疗效		合计
	未治愈	治愈
甲
乙
合计

$P (X^{2} \geq k)$	0.050	0.010	0.001
$k$	3.841	6.635	10.828