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相关试卷

1、已知 $a = \log_{2} 3, 4 = 3^{b}$ ，则 $a b =$ .

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2、 $\{a_{n}\}$ 为公差不为零的等差数列， $S_{n}$ 是其前 $n$ 项和， $\{b_{n}\}$ 是等比数列， $T_{n}$ 是其前 $n$ 项和，则下列说法正确的是（）

A、对任意 $k \in N$ ， $k \geq 2$ ，如果 $S_{1} \cdot S_{2} \dots S_{2 k - 1} = 0$ ，那么 $a_{1} \cdot a_{2} \dots a_{k} = 0$ B、存在 $k \in N$ ， $k \geq 2$ ，满足 $a_{1} \cdot a_{2} \dots a_{k} = 0$ ，且 $S_{1} \cdot S_{2} \dots S_{2 k - 1} \neq 0$ C、对任意 $k \in N$ ， $k \geq 2$ ，如果 $T_{1} \cdot T_{2} \dots T_{k} = 0$ ，那么 $b_{k} + b_{k + 1} = 0$ D、存在 $k \in N$ ， $k \geq 2$ ，满足 $b_{k} + b_{k + 1} = 0$ ，且 $T_{1} \cdot T_{2} \dots T_{k} \neq 0$

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3、“ $△ A B C$ 为锐角三角形”是“ $\sin A > \cos B$ ， $\sin B > \cos C$ ， $\sin C > \cos A$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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4、已知点 $P$ 是圆 $C : {(x + 2)}^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ 与曲线 $W : y^{2} = 8 x$ 的一个公共点，点 $Q (2, 0)$ .若 $△ P C Q$ 是等腰三角形，则满足条件的 $r$ 的个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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5、已知函数 $f (x) = {log}_{2} x - x + 1$ ，则不等式 $f (x) < 0$ 的解集是（）

A、 $(1, 2)$ B、 $(- \infty, 1) \cup (2, + \infty)$ C、 $(0, 2)$ D、 $(0, 1) \cup (2, + \infty)$

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6、已知 $a > b > 0$ ，下列不等式中正确的是（）

A、 $\frac{c}{a} > \frac{c}{b}$ B、 $a b < b^{2}$ C、 $a - b + \frac{1}{a - b} \geq 2$ D、 $\frac{1}{a - 1} < \frac{1}{b - 1}$

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7、将函数 $y = \sin (2 x - φ) (0 < φ < π)$ 的图象沿 $x$ 轴向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位后得到的图象关于原点对称，则 $φ$ 的值为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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8、下列函数中，是偶函数且在区间 $(0, + \infty)$ 上单调递增的是（）

A、 $y = e^{x}$ B、 $y = x - \frac{1}{x}$ C、 $y = |x^{3}|$ D、 $y = \cos x$

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9、在复平面内，复数 $z$ 的共轭复数对应的点的坐标是 $(- 1, 1)$ ，则 $z$ 的虚部是（）

A、 $- 1$ B、1 C、 $- i$ D、 $i$

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10、若全集 $U = R$ ， $A = {x ∣ x < 1}$ ， $B = {x ∣ x > - 1}$ ，则（）

A、 $A \subseteq B$ B、 $B \subseteq A$ C、 $B \subseteq ∁_{U} A$ D、 $∁_{U} A \subseteq B$

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11、已知函数 $f (x) = x + \ln (a x) + \frac{1}{a} x e^{x}$ .

(1)、当 $a = - 1$ 时，讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若集合 $\{x |f (x) \geq - 1\}$ 有且只有一个元素，求a的值.

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12、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F (\sqrt{2}, 0)$ ，顺次连接椭圆E的四个顶点恰好构成一个边长为 $\sqrt{6}$ 的菱形.
（1）求椭圆 $E$ 的标准方程；
（2）设 $M (\frac{2}{3}, \frac{4}{3})$ ， $O$ 为坐标原点， $A$ 、 $B$ 是椭圆 $E$ 上两点，且 $A B$ 的中点在线段 $O M$ （不含端点 $O$ 、 $M$ ）上，求 $△ A O B$ 面积 $S$ 的取值范围.

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13、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是直角梯形， $A B / / C D$ ， $∠ A B C = 90 °$ ，且 $P A = P D = A D$ ， $P C = P B$ .

(1)、若O为 $A D$ 的中点，证明： $C O ⊥ P O$ ；

(2)、若 $∠ C D A = 60 °$ ， $A B = \frac{1}{2} C D = 1$ ，点M满足 $\vec{D M} = 2 \vec{M P}$ ，求平面 $P C B$ 与平面 $A C M$ 所成角的余弦值.

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14、红袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为 $\frac{1}{7}$ ，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取…，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，此时取到白球的人胜利，每个球在每一次被取出的机会是等可能的

(1)、求袋中原有白球的个数；

(2)、求甲取得胜利的概率

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15、已知公差为整数的等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{4} = 12$ ，且 $a_{1} - 1, a_{3}, a_{8}$ 成等比数列.

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{4}{a_{n} (a_{n} - 2)}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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16、已知在正三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = 6$ ， $A_{1} B_{1} = 2$ ，侧棱长为4，点 $P$ 在侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 上运动，且 $A P$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成角的正切值为 $2 \sqrt{2}$ ，则 $C P$ 长度的最小值为.

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17、已知 $a \neq 0$ ，若函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} a x - 1, x < - 1, \\ (x - 2) e^{x} + 2, x \geq - 1 \end{array}$ 有最小值，则实数 $a$ 的最大值为.

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18、中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则该人第一天走的路程为里.

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19、双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点P为C的左支上任意一点，直线l： $y = \frac{b}{a} x$ ， $P Q ⊥ l$ ，垂足为Q.当 $|P F_{2}| + |P Q|$ 的最小值为3时， $F_{1} Q$ 的中点在双曲线C上，则（）

A、C的方程 $\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ B、C的离心率为 $\sqrt{2}$ C、C的渐近线方程为 $y = \pm x$ D、C的方程为 $x^{2} - y^{2} = 1$

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20、中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设a，b，m（ $m > 0$ ）为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为 $a \equiv b (\mod m)$ .若 $a = C_{20}^{1} \cdot 2 + C_{20}^{2} \cdot 2^{2} + \dots + C_{20}^{20} \cdot 2^{20}$ ， $a \equiv b (\mod 10)$ ，则b的值不可能的是（）

A、2018 B、2020 C、2022 D、2024

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