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1、下列关系中，表述正确的是（）

A、 $0 \in \emptyset$ B、 $\emptyset$ A C、 $π \in Q$ D、 $\{\sqrt{3}\} \subseteq R$

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2、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B / / C D$ ， $∠ A D C = 90^{\circ}$ ， $P A ⊥ P B$ ， $P A = P B$ ．

(1)、求证：平面 $P A D ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、若 $A B = A D = 2$ ， $C D = 1$ ，点 $E$ 是线段 $B C$ 上一点，且二面角 $E - P A - D$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，求 $\frac{C E}{C B}$ 的值．

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3、如图，在八面体 $P A B C D Q$ 中，四边形 $A B C D$ 是边长为2的正方形，平面 $P A D //$ 平面 $Q B C$ ，二面角 $P - A B - C$ 与二面角 $Q - C D - A$ 的大小都是 $30 °$ ， $A P = C Q = \sqrt{3}$ ， $P D ⊥ A B$ ．

(1)、证明：平面 $P C D //$ 平面 $Q A B$ ；

(2)、设 $G$ 为 $△ Q B C$ 的重心，是否在棱 $P A$ 上存在点 $S$ ，使得 $S G$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{30}}{20}$ ，若存在，求 $S$ 到平面 $A B C D$ 的距离，若不存在，说明理由．

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4、已知函数 $f (x)$ 满足 $f (x) = \frac{1}{3} f (x + 3) + n$ ，且 $f (1) = 2$ ，当 $x \in [3, 6]$ 时， $f (x) = 3 x^{2} - 15 x + 30$ ．函数 $g (x) = {log}_{2} (2 + \frac{7}{4^{x} - 1})$ ．

(1)、求实数 $n$ 的值；

(2)、当 $x \in [0, 3)$ 时，求 $f (x)$ 的解析式；

(3)、设 $h (x) = 2 \sin x + λ \cos 2 x$ ，是否存在实数 $λ$ ，使不等式 $f [h (x)] > g [h (x)]$ 在 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ 时恒成立？若存在，求实数 $λ$ 的取值范围；若不存在，请说明理由．

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5、某市环保部门对市中心每天的环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数 $f (x)$ 与时刻 $x$ （时）的关系为 $f (x) = |\frac{- a x^{2} + x - a}{x^{2} + 1}| + 2 a + \frac{4}{5}$ ， $x \in [0, 24)$ ，其中 $a$ 是与气象有关的参数，且 $a \in [0, \frac{1}{2}]$ ，若用每天的环境综合污染指数 $f (x)$ 的最大值作为当天的综合污染指数，并记作 $G (a)$ ．

(1)、当 $a = 0$ 时，求环境综合污染指数 $f (x)$ 的值域；

(2)、求 $G (a)$ 的解析式；

(3)、规定当 $G (a) > 2$ 时为综合污染指数超标，求当 $a$ 在什么范围内时，该市市中心的综合污染指数超标．

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6、已知 $△ A B C$ 的三个内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，满足 $c \cos B + \sqrt{3} c \sin B = a + b$ ．

(1)、求 $C$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，且 $a + b = 4$ ，求 $△ A B C$ 的周长的取值范围．

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7、人脸识别就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别人脸对象的身份．在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用的测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离．已知二维空间两个点 $A (x_{1}, y_{1})$ 、 $B (x_{2}, y_{2})$ ，则其曼哈顿距离为 $d (A, B) = |x_{1} - x_{2}| + |y_{1} - y_{2}|$ ，余弦相似度为 $\cos (A, B) = \frac{x_{1}}{\sqrt{x_{1}^{2} + y_{1}^{2}}} \times \frac{x_{2}}{\sqrt{x_{2}^{2} + y_{2}^{2}}} + \frac{y_{1}}{\sqrt{x_{1}^{2} + y_{1}^{2}}} \times \frac{y_{2}}{\sqrt{x_{2}^{2} + y_{2}^{2}}}$ ，余弦距离为 $1 - \cos (A, B)$ ．已知 $0 < α < β < \frac{π}{2}$ ， $M (13 \cos α, 13 \sin α)$ 、 $N (8 \cos β, 8 \sin β)$ 、 $P (13 \cos (α + β), 13 \sin (α + β))$ 、 $Q (5 \cos 2 β, 5 \sin 2 β)$ ，若 $\cos (M, P) = \frac{3}{5}$ ， $\cos (M, N) = \frac{12}{13}$ ，则 $d (M, Q) =$ ．

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8、在 $△ A B C$ 中， $D$ 是 $B C$ 的中点， $A D = 2 \sqrt{2}$ ， $\cos ∠ A C B = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ， $∠ A D C =45 °$ ，则 $A B =$ ．

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9、已知向量 $\vec{a} = (- 1, \sqrt{3})$ ， $\vec{b} = (4, 0)$ ，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量的坐标为．

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10、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ， $f (x + 2) + f (x) = f (2024)$ ， $f (\frac{1}{2} x + 1)$ 为奇函数，且 $f (\frac{3}{2}) = - \frac{1}{2}$ ，则（）

A、 $f (x + 4) = f (x)$ B、 $f (2024) = 1$ C、函数 $f (x)$ 是偶函数 D、 $\sum_{n = 1}^{2026} n f (n - \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2}$ （参考公式： $\sum_{i = 1}^{n} g (i) = g (1) + g (2) + g (3) + \dots + g (n)$ ）

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11、已知圆台的上、下底面半径分别为1和3，母线长为 $2 \sqrt{2}$ ，则（）

A、圆台的母线与底面所成的角为 $45 °$ B、圆台的侧面积为 $8 \sqrt{2} π$ C、圆台的体积为 $\frac{14}{3} π$ D、若圆台的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为 $40 π$

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12、下列说法正确的是（）

A、若 $a > b$ ， $c > d$ ，则 $a - d > b - c$ B、若 $a < |b|$ ，则 $a^{2} < b^{2}$ C、若 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $a + b = 1$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为4 D、若 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $a b + a + b = 8$ ，则 $a + b$ 的最小值为4

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13、某工业园区有 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 共3个厂区，其中 $A B = 6 \sqrt{3} km$ ， $B C = 10 km$ ， $∠ A B C = 90 °$ ，现计划在工业园区内选择 $P$ 处建一仓库，若 $∠ A P B = 120 °$ ，则 $C P$ 的最小值为（）

A、 $6 km$ B、 $8 km$ C、 $4 \sqrt{3} km$ D、 $6 \sqrt{2} km$

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14、函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 的图象在区间 $(0, 1)$ 上恰有一条对称轴和一个对称中心，则（）

A、 $ω \in (\frac{2 π}{3}, \frac{7 π}{6}]$ B、当 $ω = π$ 时， $f (x)$ 在区间 $(\frac{1}{2}, 1)$ 上不单调 C、 $f (x)$ 在区间 $(0, 1)$ 上无最大值 D、 $f (x)$ 在区间 $(0, 1)$ 上的最小值为 $- 1$

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15、“ $a < 3$ ”是“函数 $f (x) = \log_{2} [(3 - a) x - 1]$ 在区间 $(1, + \infty)$ 上单调递增”的（）

A、充分不必要条件 B、充要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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16、集合 $A, B$ 满足 $A \cup B = \{1, 3, 5, 7, 9\}$ ， $A \cap B = \{1, 7\}$ ， $A = \{1, 5, 7\}$ ，则集合 $B$ 中的元素个数为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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17、若数列 $\{a_{n}\} (1 \leq n \leq k, n \in N^{*}, k \in N^{*})$ 满足 $a_{n} \in \{0, 1\}$ ，则称数列 $\{a_{n}\}$ 为 $k$ 项 $0 - 1$ 数列，由所有 $k$ 项 $0 - 1$ 数列组成集合 $M_{k}$ .

(1)、若 $\{a_{n}\}$ 是12项0 $- 1$ 数列，当且仅当 $n = 3 p (p \in N^{*}, p \leq 4)$ 时， $a_{n} = 0$ ，求数列 $\{{(- 1)}^{n} a_{n}\}$ 的所有项的和；

(2)、从集合 $M_{k}$ 中任意取出两个数列 $\{a_{n}\}, \{b_{n}\}$ ，记 $X = \sum_{i = 1}^{k} |a_{i} - b_{i}|$ .
①求随机变量 $X$ 的分布列，并证明： $E (X) > \frac{k}{2}$ ；
②若用某软件产生 $k (k \geq 2)$ 项 $0 - 1$ 数列，记事件 $A =$ “第一次产生数字1”， $B =$ “第二次产生数字1”，且 $0 < P (A) < 1, 0 < P (B) < 1$ .若 $P (B ∣ A) < P (B ∣ \bar{A})$ ，比较 $P (A ∣ B)$ 与 $P (A ∣ \bar{B})$ 的大小.

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18、一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个.每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.设第1，2，3次都摸到红球的概率为 $P_{1}$ ；在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率为 $P_{2}$ .求 $P_{1} + P_{2} =$ .

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19、如图，一个底面半径为2dm，母线长为 $2 \sqrt{5} dm$ 的圆锥形封闭透明容器内部装有一种液体，当圆锥底面向下平放在水平桌面上时，液面的高度恰好为圆锥的高的 $\frac{1}{2}$ ，则当圆锥的顶点在桌面上，且底面平行于水平桌面时，液面的高度为（）

A、 $\sqrt[3]{7} dm$ B、2dm C、3dm D、 $2 \sqrt[3]{7} dm$

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20、已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $a + b = 1$ ，则 ${log}_{2} a + {log}_{2} b \leq - 2$ B、若 $a + b = 1$ ，则 $\sqrt{a} + \sqrt{b} < 1$ C、若 $a - b = 1$ ，则 $2^{a} - \frac{1}{2^{b}} > 1$ D、若 $a - b = 1$ ，则 $a^{2} + b^{2} > 1$

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