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相关试卷

1、数字 $1, 2, 3, ..., n (n \geq 2)$ 的任意一个排列记作 $(a_{1}, a_{2}, ..., a_{n})$ ，设 $S_{n}$ 为所有这样的排列构成的集合.集合 $A_{n} = \{(a_{1}, a_{2}, ..., a_{n}) \in S_{n}|$ 任意整数 $i, j .1 \leq i < j \leq n,$ 都有 $a_{i} - i \leq a_{j} - j\}$ ，集合 $B_{n} = \{(a_{1}, a_{2}, ..., a_{n}) \in S_{n}|$ 任意整数 $i, j, 1 \leq i < j \leq n,$ 都有 $a_{i} + i \leq a_{j} + j\}$
（1）用列举法表示集合 $A_{3}, B_{3}$ ；
（2）求集合 $A_{n} \cap B_{n}$ 的元素个数；
（3）记集合 $B_{n}$ 的元素个数为 $b_{n}$ ，证明：数列 $\{b_{n}\}$ 是等比数列.

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2、已知函数 $f (x) = \ln x - 2 a x$ （其中 $a \in R$ ）.

(1)、当 $a = 2$ 时，求函数 $f (x)$ 的图象在 $x = 1$ 处的切线方程；

(2)、证明：当 $x \in (0, 1)$ 时， $f (x) + 2 a x > \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{x}$ 成立；

(3)、设 $g (x) = f (x) + \frac{1}{2} x^{2}$ ，且函数 $g (x)$ 有极大值点 $x_{0}$ ，求证： $x_{0} f (x_{0}) + 1 + a x_{0}^{2} > 0$ .

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3、已知 $P (x_{0}, 6)$ 是抛物线C： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上一点，F是C的焦点，且 $|P F| = \frac{5}{4} x_{0}$ .

(1)、求C的方程；

(2)、记O为坐标原点，斜率为1的直线 $l$ 与C交于A，B两点（异于点O），若 $O A ⊥ O B$ ，求 $△ A B F$ 的面积.

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4、如图，在四棱锥 $A - B C D E$ 中，底面 $B C D E$ 为直角梯形，其中 $C D // E B$ ， $E B = 2 C D = 2 \sqrt{2}$ ， $C B$ $⊥ B E$ ， $A E = A B = B C = 2$ ， $A D = \sqrt{6}$ .

(1)、证明：平面 $A B E ⊥$ 平面 $B C D E$ ；

(2)、已知 $B E$ 上有一点 $M$ ，满足 $\vec{E M} = \frac{2}{5} \vec{E B}$ ，求此时平面 $A D M$ 与平面 $A B C$ 所成角的余弦值.

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5、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $\frac{\sin A - \sqrt{3} \sin C}{\sin B + \sin C} = \frac{b - c}{a}$ .

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $\cos A + \sin C = 1$ ，求 $\cos (A - \frac{π}{6})$ 的值.

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6、已知正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的侧面积与以 $△ A B C$ 的外接圆为底面的圆柱的侧面积相等，则正三棱柱与圆柱的体积的比值为.

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7、设双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的两条渐近线的倾斜角分别为 $α$ ， $β$ ，若 $α - β = \frac{π}{2}$ ，则 $C$ 的离心率为.

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8、某同学玩一种跳棋游戏，抛掷一枚质地均匀且标有数字 $1 \sim 6$ 的骰子，规定：若掷得数字小于或等于4，则前进1步；若掷得数字大于4，则前进2步.每次投掷互不影响，记某同学一共前进 $n$ 步的概率为 $p_{n}$ ，则（）

A、 $p_{2} = \frac{4}{9}$ B、 $p_{3} = \frac{20}{27}$ C、 $p_{n} = 3 p_{n + 2} - 2 p_{n + 1} (n \in N^{*})$ D、 $p_{2 n} > p_{2 m + 1} > p_{2 m - 1} (n, m \in N^{*})$

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9、已知曲线 $C : \frac{x^{2}}{m + 2} - \frac{y^{2}}{2 m - 1} = 1 (m \in R)$ ，下列说法正确的有（）

A、若曲线 $C$ 表示焦点在 $x$ 轴上的椭圆，则 $- \frac{1}{3} < m < \frac{1}{2}$ B、若曲线 $C$ 表示焦点在 $y$ 轴上的椭圆，则 $- 2 < m < \frac{1}{2}$ C、若曲线 $C$ 表示焦点在 $x$ 轴上的双曲线，则 $m > \frac{1}{2}$ D、若曲线 $C$ 表示焦点在 $y$ 轴上的双曲线，则 $m < - 2$

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10、下列各式计算结果为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 的是（）

A、 $2 \sin 30 ° \cos 30 °$ B、 $2 \cos^{2} 30 ° - 1$ C、 $\sin^{2} 75 ° - \cos^{2} 75 °$ D、 $\frac{\tan 20 ° + \tan 40 °}{2 (1 - \tan 20 ° \tan 40 °)}$

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11、设函数 $f (x) = x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} + a x$ .若函数 $y = f (x)$ 在 $x = x_{0}$ 和 $x = x_{0} + 1$ 的切线互相平行，则两平行线之间距离的最大值为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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12、已知函数 $f (x) = sin 2 ω x, g (x) = cos (ω x - \frac{π}{4})$ ，且 $f (x + \frac{π}{8}), g (x + \frac{π}{8})$ 均为偶函数，则 $|ω|$ 的最小值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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13、已知集合 $A = \{x | 2 x^{2} + 3 x - 2 < 0\}$ ， $B = \{x |\log_{\frac{1}{2}} (- x) + \frac{1}{2} x > - 2\}$ ，则“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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14、已知平面向量 $\vec{m}$ ， $\vec{n}$ ，满足 $| \vec{n} | = 2$ 且 $\vec{m}$ 在 $\vec{n}$ 上的投影向量为 $\frac{1}{2} \vec{n}$ ，若向量 $\vec{n}$ 与向量 $\vec{n} + \vec{m}$ 的夹角为 $60 °$ ，则向量 $| \vec{m} | =$ （）

A、2 B、 $2 \sqrt{7}$ C、 $\sqrt{7}$ D、1

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15、已知某4个数据的平均数为6，方差为3，现又加入一个数据6，此时这5个数据的方差为（）

A、 $\frac{24}{5}$ B、 $\frac{16}{5}$ C、 $\frac{14}{5}$ D、 $\frac{12}{5}$

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16、已知复数 $z$ 满足 $(1 + 3 i) z = | - 3 i |$ ，则 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点所在的象限为（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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17、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面 $A B C D$ 是边长为2菱形， $∠ A D C = 60 °$ ， $E$ ， $F$ 分别是 $A B$ ， $P D$ 的中点.

(1)、求证； $E F / /$ 平面 $P B C$ ；

(2)、若 $P C ⊥ A B$ ， $P C = \sqrt{6}$ ， $P B = 2$ ，求平面 $P A D$ 与平面 $P B C$ 所成角的余弦值.

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18、已知函数 $f (x) = e^{x - 1} - x \ln x$ .

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、证明： $f (x) > 0$ .

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19、某市举办一年一度的风筝节，吸引大批游客前来观赏.为了解交通状况，有关部门随机抽取了200位游客，对其出行方式进行了问卷调查（每位游客只填写一种出行方式），具体情况如下：
出行方式
地铁
公交车
出租车
自驾
骑行
步行
频数
54
27
38
42
18
21
用上表样本的频率估计概率，低碳出行方式包括地铁、公交车、骑行和步行：

(1)、若从参加活动的所有游客中随机抽取3人，这3人中低碳出行的人数记为 $X$ ，求 $P (X = 2)$ 和 $E (X)$ ；

(2)、据另一项调查显示，80%的低碳出行的游客表示明年将继续参加活动，60%的非低碳出行的游客表示明年将继续参加活动，求今年参加活动的游客明年继续参加活动的概率.

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20、已知点 $F$ 为椭圆 $E : \frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的右焦点，直线 $l$ 与椭圆相交于 $A$ ， $B$ 两点，且与圆 $O : x^{2} + y^{2} = b^{2}$ 在 $y$ 轴右侧相切.若 $l$ 经过点 $F$ 且垂直于 $x$ 轴，则 $| A B | =$ ；若 $l$ 没有经过点 $F$ ，则 $△ A B F$ 的周长为.

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出行方式	地铁	公交车	出租车	自驾	骑行	步行
频数	54	27	38	42	18	21