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相关试卷

1、“牟合方盖”是由我国古代数学家刘徽首先发现并采用的一种用于计算球体体积的方法．它是由两个相同的圆柱分别从纵横两个方向相交时两圆柱公共部分形成的几何体（如图1），点 $D$ 被称为“牟合方盖”的上顶点，点 $O$ 为“牟合方盖”的中心．过点 $O$ 作平面 $γ$ 使得 $O D ⊥ γ, | O D | = 2$ ．

(1)、求平面 $γ$ 截“牟合方盖”所得截面的面积；

(2)、B，E为平面 $γ$ 与两圆柱交线的交点， $A$ 为BE的中点，过OD作平面ODSC，S，C为“牟合方盖”表面上的点且位于平面AOD同一侧， $∠ D O C = \frac{π}{2}$ ，过S作 $S R / /$ 平面ABC，交边界BD于点 $R$ ，设 $∠ S O D = α (0 \leq α \leq \frac{π}{2}), ∠ A O C = β$ ．
（i）当 $β = \frac{π}{2}$ 时（如图2），是否存在 $α$ 使得 $C R = \sqrt{5}$ ？若存在，求出 $α$ ；若不存在，请说明理由；
（ii）若 $O S / / A R$ ，点S到平面ABR的距离为 $\frac{\sqrt{14}}{2}$ ，求 $\tan α$ 与 $\tan β$ ．

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2、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = \sqrt{5}, A C = 2 \sqrt{2}, C D = 2 B D = 2$ ．将 $△ A C D$ 沿AD翻折至 $△ A E D$ ．

(1)、求证： $A D ⊥$ 平面 $B D E$ .；

(2)、若二面角 $E - A D - B$ 的平面角为 $60^{°}$ ，求直线AB与平面AED所成角的正弦值．

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3、已知集合 $U = {1, 2}, A, B, C$ 是 $U$ 的子集，且 $A \cup B \cup C = U$ ，则 $A \cap B \cap C = \emptyset$ 的概率为．

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4、如图是一个棱长为1的正方体的展开图，点P，Q分别是线段AB，GH上的动点，如果将它还原为正方体，则下列说法正确的有（）

A、线段AB与GH所在的直线是异面直线 B、三棱锥 $E - Q M F$ 的体积为定值 C、存在点 $P$ ，使得 $∠ E P D < \frac{π}{2}$ D、记点 $Q$ 到平面ABC的距离为 $d$ ，则 $d + A Q$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

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5、已知复数 $z = a + b i (a, b \in R), | z | = 2$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $z \cdot \bar{z} = 4$ B、若 $z^{2} \in R$ ，则 $\bar{z} \in R$ C、若 $b = 2$ ，则 $z$ 为纯虚数 D、 $1 \leq | z - 3 i | \leq 5$

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6、已知在 $△ A B C$ 中，点 $A$ 在BC上的射影 $H$ 落在线段BC上（不含端点），且满足 $A H^{2} = \frac{1}{2} A B \cdot A C$ ，则角 $A$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{π}{3}, \frac{π}{2}]$ B、 $(\frac{π}{3}, \frac{2 π}{3})$ C、 $(\frac{π}{4}, \frac{π}{2}]$ D、 $(\frac{π}{4}, \frac{3 π}{4})$

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7、已知正四棱台的上下底面边长分别为2和4，侧棱长为4，则它的体积是（）

A、 $\frac{28 \sqrt{14}}{3}$ B、 $\frac{112}{3}$ C、 $28 \sqrt{14}$ D、112

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8、如图，在三棱锥 $A - B C D$ 中， $∠ A C D = ∠ B D C = \frac{π}{2}$ ， $A C = B D = 1$ ， $C D = x$ ，记二面角 $A - C D - B$ 的大小为 $θ$ ， M，N分别为 $A D$ ， $B C$ 的中点．

(1)、求证： $C D ⊥ M N$ ；

(2)、若 $x = \frac{1}{2}$ ， $θ = \frac{π}{6}$ ，求三棱锥 $A - B C D$ 的体积；

(3)、设在三棱锥 $A - B C D$ 内有一个半径为r的球， $0 < x \leq 2$ ，且 $θ = x$ ，求证： $r < \frac{1}{4}$ ．

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9、已知 $△ A B C$ 的三个内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c,$ 设 $p = \frac{1}{2} (a + b + c)$ ， $△ A B C$ 的面积为S．

(1)、求证： $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ ；

(2)、已知 $p = 15$ ， $S = 15 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的内切圆半径r；

(3)、已知 $p = 8$ ，且 $c^{2} = 6 (a \cos B + b \cos A)$ ，求S的最大值．

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10、某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为 $p (c)$ ；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为 $q (c)$ ．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．

(1)、当 $c = 98$ 时，求 $p (c)$ 与 $q (c)$ ；

(2)、设函数 $f (c) = p (c) + q (c)$ ，当 $c \in [95, 105]$ 时，求 $f (c)$ 的解析式，并求 $f (c)$ 在区间 $[95, 105]$ 上的最小值．

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11、如图，在正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $B E ⊥ A_{1} C$ ，垂足为E．

(1)、求证：平面 $A_{1} B D //$ 平面 $B_{1} C D_{1}$ ；

(2)、求证：平面 $A_{1} C D ⊥$ 平面 $B D E$ ．

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12、一个盒子中装有标号为1，2，3，5的4张标签，依次随机选取两张标签，用数组 $(m, n)$ 表示可能的结果，其中m表示第一次取出的标签上的数字，n表示第二次取出的标签上的数字．

(1)、若标签的选取是不放回的，写出样本空间 $Ω_{1}$ ，并求 $m + n > 5$ 的概率；

(2)、若标签的选取是有放回的，写出样本空间 $Ω_{2}$ ，并求 $m < n$ 的概率．

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13、已知圆锥的侧面积为 $24 π$ ，它的侧面展开图是一个圆心角为 $120 °$ 的扇形，则这个圆锥的底面半径为，该圆锥的外接球的表面积为．

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14、如图，在四边形 $A B C D$ 中， $\vec{A D} = 3 \vec{A E}$ ， $\vec{B C} = 3 \vec{B F}$ ．若 $\vec{C D} = 2 \vec{A B} + m \vec{E F}$ ，则实数 $m =$ ．

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15、复数 $\frac{5 i}{2 + i}$ 的共轭复数是．

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16、如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，E，F分别是棱 $B C$ ， $A_{1} C_{1}$ 上的点．记直线 $E F$ 与 $A A_{1}$ 所成角的大小为 $α$ ， $E F$ 与平面 $A B C$ 所成角的大小为 $β$ ，二面角 $F - B C - A$ 的大小为 $γ$ ，则（）．

A、 $α + β = 90 °$ B、 $β \leq γ$ C、当 $A A_{1} > A B$ 时， $β < 45 °$ D、当 $A A_{1} > A B$ 时， $α < γ$

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17、某校为了解高一年级学生的身高情况，采用样本量按比例分配的分层随机抽样，抽取了男生20人，其平均数和方差分别为172和12．抽取了女生30人，其平均数和方差分别为162和24．由这些数据，可计算出总样本平均数 $\bar{x}$ 与总样本方差 $s^{2}$ 分别是（）．

A、 $\bar{x} = 166$ B、 $\bar{x} = 167$ C、 $s^{2} = 19.2$ D、 $s^{2} = 43.2$

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18、一个正八面体的八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触面上的数字，得到样本空间为 $Ω = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ ．记事件 $A =$ “接触面上的数字是偶数”，事件 $B =$ “接触面上的数字是素数”，事件 $C =$ “接触面上的数字小于5”，则下列结论正确的是（）．

A、事件A与B互斥 B、事件A与C相互独立 C、 $P (B \cup C) = \frac{3}{4}$ D、 $P (A B C) = P (A) P (B) P (C)$

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19、空间的1个，2个，3个，4个平面最多可将空间分别分成2个，4个，8个，15个区域，则空间的5个平面最多可将空间分成的区域个数是（）．

A、25 B、26 C、28 D、30

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20、如图，测量河对岸的塔高 $A B$ 时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得 $∠ B C D = 75 °$ ， $∠ B D C = 60 °$ ， $C D = 50 m$ ，在点C测得塔顶A的仰角为 $30 °$ ，则塔高 $A B$ 为（）．

A、 $25 m$ B、 $25 \sqrt{3} m$ C、 $25 \sqrt{2} m$ D、 $25 \sqrt{6} m$

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