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相关试卷

1、已知某圆台的侧面展开图是如图所示的扇环 $A B - A_{1} B_{1}$ ，且 $\overset{⌢}{A_{1} B_{1}}$ ， $\overset{⌢}{A B}$ 的弧长分别为 $2 π$ ， $4 π$ ．若 $A_{1} A = 3$ ，则该圆台的体积是（）

A、 $\frac{7 \sqrt{2}}{3} π$ B、 $\frac{7 \sqrt{3}}{3} π$ C、 $\frac{14 \sqrt{2}}{3} π$ D、 $\frac{14 \sqrt{3}}{3} π$

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2、若直线 $x + y - 1 = 0$ 是圆 ${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = 1$ 的一条对称轴，则 $a^{2} + b^{2}$ 的最小值是（）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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3、若单位向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{3}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ （）

A、 $- 1$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、1 D、 $\frac{1}{2}$

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4、在复平面内，若复数 $z$ 满足 $z i = 2 i + 3$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $- 2 - i$ B、 $- 2 + i$ C、 $2 - 3 i$ D、 $2 + 3 i$

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5、已知集合 $A = \{0, 1, 2, 3\}$ ， $B = \{x | e^{x} < 8\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{0, 1, 2\}$ B、 $\{1, 2\}$ C、 $\{0, 1\}$ D、 $\{1\}$

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6、已知四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD是梯形， $A B ∥ D C$ ， $A B ⊥ A D$ ， $D C = 2 A B = 2$ ， $A D = \sqrt{3}$ ， $P B = P C$ ， M，N分别是PD，BC的中点．求证：

(1)、 $A M //$ 平面PBC；

(2)、 $M N ⊥ B C$ ．

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7、如图所示，在平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝ $\sqrt{7}$ .

（1）求cos∠CAD的值；
（2）若cos∠BAD＝－ $\frac{\sqrt{7}}{14}$ ， sin∠CBA＝ $\frac{\sqrt{21}}{6}$ ，求BC的长．

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8、德国机械学家莱洛设计的莱洛三角形在工业领域应用广泛．如图，分别以等边三角形 $A B C$ 的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形．若该等边三角形 $A B C$ 的边长为 $1$ ， $P$ 为弧 $A B$ 上的一个动点，则 $\vec{P A} \cdot (\vec{P B} + \vec{P C})$ 的最小值为．

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9、如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M、N分别为AB、CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN＝.

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10、已知i为虚数单位，若复数 $z = (1 + i) (a - 2 i) (a \in R)$ 为纯虚数，则 $a$ 的值为．

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11、下列说法中正确的是（）

A、已知 $\vec{a} = (1, - 3)$ ， $\vec{b} = (2, - 6)$ ，则 $\{\vec{a}, \vec{b}\}$ 可以作为平面内所有向量的一个基底 B、已知 $\vec{a} = (1, - 3)$ ， $\vec{b} = (0, 1)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量的坐标是 $(0, - 3)$ C、若两非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$ ，则 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ D、平面直角坐标系中， $A (1, 1)$ ， $B (3, 2)$ ， $C (4, 0)$ ，则 $△ A B C$ 为锐角三角形

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12、已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为6，体积为24，则该球的表面积是（）

A、 $264 π$ B、 $44 π$ C、 $4 \sqrt{11} π$ D、 $\frac{44 \sqrt{11}}{3} π$

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13、如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形是一个边长为1的正方形，则原图形的形状是（）

A、 B、 C、 D、

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14、如图，四边形 $A B C D$ 为平行四边形， $\vec{D E} = 2 \vec{E C}$ ， $F$ 为线段BE的中点，若以 $\vec{A F}$ ， $\vec{B E}$ 为基底表示向量 $\vec{B C}$ ，则 $\vec{B C} =$ （）

A、 $\frac{2}{3} \vec{A F} + \frac{3}{4} \vec{B E}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{A F} + \frac{2}{3} \vec{B E}$ C、 $\frac{1}{3} \vec{A F} + \frac{5}{6} \vec{B E}$ D、 $\frac{1}{4} \vec{A F} + \frac{1}{3} \vec{B E}$

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15、若复数 $z$ 满足 $(2 - i) \cdot z = i^{2025}$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $\frac{1}{5} - \frac{2}{5} i$ B、 $- \frac{1}{5} - \frac{2}{5} i$ C、 $- \frac{1}{5} + \frac{2}{5} i$ D、 $\frac{1}{5} + \frac{2}{5} i$

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16、已知函数 $f (x) = x - 1 - a \ln x$ （其中a为参数）．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若对任意 $x \in (0, + \infty)$ 都有 $f (x) \geq 0$ 成立，求实数a的取值集合；

(3)、证明： ${(1 + \frac{1}{n})}^{n} < e < {(1 + \frac{1}{n})}^{n + 1}$ （其中 $n \in N^{*}$ ， e为自然对数的底数）．

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17、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 1} - a_{n} = 4 n + 1 (n \in N^{*})$ ，且 $a_{1} = 1$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $n b_{n + 1} - (n + 1) b_{n} = n^{2} + n (n \in N^{*})$ ，且 $b_{1} = 1$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、证明 $\{\frac{b_{n}}{n}\}$ 为等差数列；

(3)、若 $c_{n} = {(- 1)}^{n} \frac{4 (n + 1) b_{n}}{a_{n} a_{n + 1}} (n \in N^{*})$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n}$ .

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18、已知曲线 $C :$ $y = \frac{1}{x} (x > 0)$ ，曲线C在点 $P_{0} (1, 1)$ 处的切线交 $x$ 轴于点 $Q_{1}$ ，过 $Q_{1}$ 作与x轴垂直的直线与C交于点 $P_{1}$ ，曲线C在点 $P_{1}$ 处的切线交x轴于点 $Q_{2}$ ， …，依次下去，得到点列： $Q_{1}$ ， $Q_{2}$ ， $Q_{3}$ ， …， $Q_{n}$ ， …，设 $Q_{n}$ 的横坐标为 $x_{n}$ .

(1)、求证： $x_{n + 1} = 2 x_{n}$ ；

(2)、求数列 $\{n x_{n}\}$ 的前n项和.

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19、已知函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + 1$ 在 $x = - 1$ 处取得极值 $6$ .

(1)、求实数 $a, b$ 的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[- 2, 3]$ 上的最大值和最小值.

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20、等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 2025$ ，前n项和为 $S_{n}$ ，若 $\frac{S_{12}}{12} - \frac{S_{10}}{10} = - 2$ ，则 $S_{2025} =$ .

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