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1、如图，正 $△ A B C$ 边长为 $2 ， D 、 E$ 分别是边 $A B, A C$ 的中点，现沿着 $D E$ 将 $△ A D E$ 折起，得到四棱锥 $A^{'} - B C E D$ ，点 $M$ 为 $A^{'} C$ 中点．

(1)、求证： $M E / /$ 平面 $A^{'} B D$

(2)、若 $A^{'} B = \sqrt{2}$ ，求四棱锥 $A^{'} - B C E D$ 的表面积．

(3)、过 $M E$ 的平面分别与棱 $A^{'} D, A^{'} B$ 相交于点 $S, T$ ，记 $△ A^{'} S T$ 与 $△ A^{'} B D$ 的面积分别为 $S_{△ A^{'} S T}$ 、 $S_{△ A^{'} B D}$ ，若 $\frac{S_{△ A^{'} S T}}{S_{△ A^{'} B D}} = \frac{1}{4}$ ，求 $\frac{A^{'} S}{A^{'} D}$ 的值．

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2、已知 $\vec{a} = (1, m)$ ， $\vec{b} = (3, 4)$ ，且满足 $|2 \vec{a} + \vec{b}| = |\vec{b}|$

(1)、求实数 $m$ 的值；

(2)、设 $\vec{c} ⊥ \vec{b}$ ，求非零向量 $\vec{c}$ 与 $\vec{a} + \vec{b}$ 的夹角的余弦值．

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3、定义一种向量运算“ $\otimes$ ”： $\vec{a} \otimes \vec{b} = \{\begin{cases} |\vec{a}| |\vec{b}| \sin θ, θ \in (0, π) \\ |\vec{a} - \vec{b}|, θ \notin (0, π) \end{cases}$ ，其中 $\vec{a}, \vec{b}$ 是任意的两个非零向量， $θ$ 是 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角．对于同一平面内的非零向量 $\vec{c}$ ，给出下列结论，其中不正确的是（）

A、若 $\vec{a} \otimes \vec{b} = 0$ ，则 $|\vec{a}| = |\vec{b}|$ B、若 $λ \in R$ ， $λ \neq 0$ ，则 $λ (\vec{a} \otimes \vec{b}) = (λ \vec{a}) \otimes \vec{b}$ C、 $(\vec{a} + \vec{b}) \otimes \vec{c} = \vec{a} \otimes \vec{c} + \vec{b} \otimes \vec{c}$ D、若 $|\vec{c}| = 2$ ，则 $\vec{a} \otimes \vec{c} \leq |\vec{a}| + 2$

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4、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面是平行四边形， $E, F$ 分别是棱 $P D, P A$ 的中点，下列说法正确的有（）

A、多面体 $A B F - D C E$ 是三棱柱 B、直线 $B F$ 与 $P C$ 互为异面直线 C、平面 $A D P$ 与平面 $B C P$ 的交线平行于 $E F$ D、四棱锥 $P - A B C D$ 和四棱锥 $P - B C E F$ 的体积之比为 $8 : 3$

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5、在 $△ A B C$ 中， $D$ 是 $A B$ 边上的一点，且 $C D$ 平分 $∠ A C B$ ，若 $\vec{C A} = \vec{a}$ ， $\vec{C B} = \vec{b}$ ， $|\vec{b}| = 2$ ， $|\vec{a}| = 1$ ，则 $\vec{A D} =$ （）

A、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{3}{4} \vec{b}$ B、 $\frac{1}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b}$ C、 $- \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}$

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6、已知 $f (x) = sin (x + \frac{π}{3}) cos x + \frac{1}{2} sin (2 x + \frac{π}{3}) - \frac{\sqrt{3}}{4}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若 $a f (\frac{1}{2} x - \frac{π}{6}) - f (\frac{1}{2} x + \frac{π}{12}) \geq 2$ 对任意的 $x \in [\frac{π}{4}, \frac{π}{3}]$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

(3)、已知函数 $g (x) = sin (\frac{π}{4} x - \frac{π}{3})$ ，记方程 $g (x) = \frac{1}{3}$ 在 $x \in [0, 21]$ 上的根从小到大依次为 $x_{1}, x_{2}, \dots x_{n}$ ，求 $x_{3} + 2 x_{4} + \dots \dots + 2 x_{n - 1} + x_{n}$ 的值.

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7、如图，已知三棱柱 $A B C - A^{'} B^{'} C^{'}$ 的侧棱垂直于底面， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 90 °$ ，点 $M$ ， $N$ 分别为 $A^{'} B$ 和 $B^{'} C^{'}$ 的中点．

(1)、证明： $M N //$ 平面 $A A^{'} C^{'} C$ ；

(2)、设 $A B = λ A A^{'}$ ，当 $λ$ 为何值时， $C N ⊥$ 平面 $A^{'} M N$ ？试证明你的结论．

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8、已知 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ .
（1）若 $\frac{a}{\cos A} = \frac{b}{\cos B}$ 且 $\sin^{2} A (2 - \cos C) = \cos^{2} B + \frac{1}{2}$ ，求角 $C$ 的大小；
（2）若 $△ A B C$ 为锐角三角形，且 $A = \frac{π}{4}$ ， $a = 2$ ，求 $△ A B C$ 面积的取值范围.

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9、如图，如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为平行四边形， $A B = 2 A D = 2$ ， $P D = B D = \sqrt{3} A D$ ，且 $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ．

(1)、证明： $B C ⊥$ 平面 $P B D$ ；

(2)、求 $A$ 到平面 $P B C$ 的距离．

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10、已知 $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 1$ ，且 $(2 \vec{a} - \vec{b}) \cdot (3 \vec{a} - 2 \vec{b}) = 8$ ，

(1)、求 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 的值：

(2)、求 $\vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a}$ 的夹角.

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11、已知三棱锥 $P - A B C$ 三条侧棱 $P A$ ， $P B$ ， $P C$ 两两互相垂直，且 $P A = P B = P C = 6$ ， $M$ ， $N$ 分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，则线段 $M N$ 的长度的最小值为．

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12、如图，已知在一个二面角的棱上有两个点A、B，线段 $A C$ 、 $B D$ 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱 $A B$ ， $A B =4cm$ ， $A C =6cm$ ， $B D =8cm$ ， $C D =2 \sqrt{17} cm$ ，则这个二面角的度数为.

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13、如图是用斜二测画法画出的水平放置的正三角形 $A B C$ 的直观图，其中 $O^{'} A^{'} = \sqrt{3}$ ，则三角形 $A^{'} B^{'} C^{'}$ 的面积为.

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14、已知 $a > b > c > 0$ ，定义域和值域均为 $[- a, a]$ 的函数 $y = f (x)$ 和 $y = g (x)$ 的图像如图所示，给出下列四个结论，正确结论的是（）

A、方程 $f [g (x)] = 0$ 有且仅有三个解 B、方程 $g [f (x)] = 0$ 有且仅有二个解 C、方程 $f [f (x)] = 0$ 有且仅有五个解 D、方程 $g [g (x)] = 0$ 有且仅有一个解

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15、点O为 $△ A B C$ 所在平面内一点，则（）

A、若 $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{0}$ ，则点O为 $△ A B C$ 的重心 B、若 $\vec{O A} \cdot (\frac{\vec{A C}}{|\vec{A C}|} - \frac{\vec{A B}}{|\vec{A B}|}) = \vec{O B} \cdot (\frac{\vec{B C}}{|\vec{B C}|} - \frac{\vec{B A}}{|\vec{B A}|}) = 0$ ，则点O为 $△ A B C$ 的内心 C、若 $(\vec{O A} + \vec{O B}) \cdot \vec{A B} = (\vec{O B} + \vec{O C}) \cdot \vec{B C} = 0$ ，则点O为 $△ A B C$ 的垂心 D、在 $△ A B C$ 中，设 ${\vec{A C}}^{2} - {\vec{A B}}^{2} = 2 \vec{A O} \cdot \vec{B C}$ ，那么动点O的轨迹必通过 $△ A B C$ 的外心

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16、如图所示， $A B$ 是半圆 $O$ 的直径， $V A$ 垂直于半圆 $O$ 所在的平面，点 $C$ 是圆周上不同于 $A, B$ 的任意一点， $M, N$ 分别为 $V A$ ， $V C$ 的中点，则下列结论正确的是（）

A、 $M N$ $∥$ 平面 $A B C$ B、平面 $V A C ⊥$ 平面 $V B C$ C、 $M N$ 与 $B C$ 所成的角为 $45^{\circ}$ D、 $O C ⊥$ 平面 $V A C$

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17、如图，在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $P$ 为线段 $B_{1} D_{1}$ 上一动点（包括端点），则（）

A、三棱锥 $P - A_{1} B D$ 的体积为定值 $\frac{1}{3}$ B、当点 $P$ 与 $B_{1}$ 重合时，三棱锥 $P - A_{1} B D$ 的外接球的体积为 $\frac{\sqrt{3}}{2} π$ C、过点 $P$ 平行于平面 $A_{1} B D$ 的平面被正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 截得的多边形的面积为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ D、直线 $P A_{1}$ 与平面 $A_{1} B D$ 所成角的正弦值的范围为 $[\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{6}}{3}]$

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18、已知向量 $\overset{⃑}{A B} = (1, 4), \overset{⃑}{B C} = (m, - 1)$ ，若 $\overset{⃑}{A B} / / \overset{⃑}{A C}$ ，则实数m的值为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、﹣4 C、4 D、 $- \frac{1}{4}$

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19、已知函数 $f (x) = a^{x} + a^{- x} (a > 0)$ ，且 $f (1) = 3$ ，则 $f (0) + f (1) + f (2)$ 的值是

A、14 B、13 C、12 D、11

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20、攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁式建筑、园林建筑.下面以圆形攒尖为例.如图所示的建筑屋顶可近似看作一个圆锥，其轴截面（过圆锥旋转轴的截面）是底边边长为 $2 \sqrt{3} m$ ，顶角为 $\frac{π}{3}$ 的等腰三角形，则该屋顶的体积约为（）

A、 $2 π$ $m^{3}$ B、 $3 π$ $m^{3}$ C、 $4 π$ $m^{3}$ D、 $6 π$ $m^{3}$

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