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相关试卷

1、已知函数 $f (x)$ 的定义域为R，且 $f (x) > f^{'} (x) + 1$ ， $f (0) = 3$ ，则不等式 $f (x) > 2 e^{x} + 1$ 的解集为（）

A、 $(- \infty, 0)$ B、 $(0, + \infty)$ C、 $(- \infty, 1)$ D、 $(1, + \infty)$

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2、函数 $f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 的图象如图所示，则下面说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 在区间 $(1, 3)$ 上单调递减 B、函数 $f (x)$ 在区间 $(- 2, 1)$ 上单调递增 C、 $x = - 3$ 为函数 $f (x)$ 的极小值点 D、 $x = 2$ 为函数 $f (x)$ 的极大值点

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3、 ${(x - \frac{1}{x})}^{10}$ 的展开式中 $x^{4}$ 的系数是（）

A、 $- 210$ B、 $- 120$ C、120 D、210

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4、3名同学选报4门校本选修课，每个同学可自由选择一门，则不同的选择种数是（）

A、81 B、64 C、24 D、12

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5、下列求导运算正确的是（）

A、 $(ln x)^{'} = \frac{1}{x}$ B、 ${(e^{- x})}^{'} = e^{- x}$ C、 ${({log}_{2} x)}^{'} = \frac{1}{x} ln 2$ D、 ${(sin \frac{π}{3})}^{'} = cos \frac{π}{3}$

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6、设函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $D$ ，对于区间 $I = [a, b] (a < b, I \subseteq D)$ ，若满足 $\forall x \in I$ ，恒有 $y \in [a + n, b + n] n \in N^{*}$ ，则称函数 $f (x)$ 在区间 $I$ 上的增长系数为 $n$ ．例如，若函数 $y = f (x)$ 满足 $\forall x \in [a, b]$ ，恒有 $y \in [a + 1, b + 1]$ ，则称函数 $f (x)$ 在区间 $I$ 上的增长系数为1．

(1)、求函数 $y = \frac{1}{2} x + 2$ ， $y = 7 - \frac{6}{x}$ 在 $[2, 4]$ 上的增长系数；

(2)、若3和4都是函数 $f (x) = \frac{2^{x + 2} + λ}{2^{x} + 1}$ 在 $[- 1, 1]$ 上的增长系数，求 $λ$ 的取值范围；

(3)、若函数 $g (x) = \log_{2} (4^{x} + 2^{n} + m)$ ， $n \in N^{*}$ 在 $[2, 4]$ 上的增长系数仅为 $n$ ，求 $n$ 的最小值及此时 $m$ 的取值范围．

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7、已知函数 $f (x) = sin 2 x cos φ - cos 2 x cos (\frac{π}{2} + φ) (0 < |φ| < \frac{π}{2})$ ，对 $\forall x \in R$ ，有 $f (x) \leq |f (\frac{π}{3})|$ .

(1)、求 $φ$ 的值及 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、在 $△ A B C$ 中，已知 $a = 4$ ， $f (B) = 1$ ，其面积为 $5 \sqrt{3}$ ，求内角B的角平分线BD的长度；

(3)、将函数 $y = f (x)$ 图象上的所有点，向右平移 $\frac{π}{24}$ 个单位后，再将所得图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，若 $\exists x \in [0, π]$ ， $\sqrt{2} g (x) + \sin 2 x \leq 2 m^{2} - 3 m$ ，求实数m的取值范围．

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8、在平行四边形ABCD中， $A B = 4$ ， $A D = 6$ ， $∠ B A D = \frac{π}{3}$ ， F是线段AD的中点， $\vec{D E} = λ \vec{D C}$ ， $λ \in [- 1, 1]$ ．

(1)、若 $λ = \frac{1}{2}$ ， AE与BF交于点N， $\vec{A N} = x \vec{A B} + y \vec{A D}$ ，求 $x - y$ 的值；

(2)、求 $\vec{B E} \cdot \vec{F E}$ 的最小值．

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9、如图，A，B是某海域位于南北方向相距 $30 (1 + \sqrt{3})$ 海里的两个观测点，现位于A点北偏东 $45 °$ ， B点南偏东 $30 °$ 的C处有一艘渔船遇险后抛锚发出求救信号，位于B点正西方向且与B点相距100海里的D处的救援船立即前往营救，其航行速度为80海里/时.

(1)、求B，C两点间的距离；

(2)、该救援船前往营救渔船时应该沿南偏东多少度的方向航行？救援船到达C处需要多长时间？（参考数据： $\cos 21.79 ° = 0.93$ ，角度精确到0.01）

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10、如图，在高为2的正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = 2$ ， $D$ 是棱 $A B$ 上的点．

(1)、求该正三棱柱的表面积以及三棱锥 $A_{1} - B_{1} C_{1} D$ 的体积；

(2)、设E为棱 $B_{1} C_{1}$ 的中点，F为棱 $B B_{1}$ 上一点，求 $A F + E F$ 的最小值，此时 $B F$ 的长度是多少？

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11、“三角形内角嵌入不等式”是英国数学家约瑟夫·沃尔斯滕霍姆所提出的平面几何中的一个不等式，在不至于引起歧义的情况下简称“嵌入不等式”．该不等式指出，若A，B，C是 $△ A B C$ 的三个内角，则对任意实数 $x$ 、 $y$ 、 $z$ ，有： $x^{2} + y^{2} + z^{2} \geq 2 x y \cos C + 2 x z \cos B + 2 y z \cos A$ ，不等式的取等条件为：存在实数k，使得 $x = k \sin A$ ， $y = k \sin B$ ， $z = k \sin C$ ．根据以上材料，在 $△ A B C$ 中， $2 \cos A + \cos C + \cos B$ 的最大值为．此时， $\cos A =$ ．

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12、若 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ，已知 $f (x) = \{\begin{array}{l} x - 2, x \leq 2, \\ \log_{a} (x^{2} - a x), x > 2 \end{array}$ 是 $R$ 上的单调函数，则实数a的取值范围为．

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13、已知某圆台的体积为 $19 π$ ，其上、下底面圆的面积之比为4∶9，周长之和为 $10 π$ ，则该圆台的高为

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14、如图，直线 $l_{1} / / l_{2}$ ，点A是 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 之间的一个定点，点A到 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 的距离分别为1和2．点B是直线 $l_{2}$ 上一个动点，过点A作 $A C ⊥ A B$ ，交直线 $l_{1}$ 于点C，点G满足 $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ ，则（）

A、 $\vec{A G} = \frac{1}{3} (\vec{A B} + \vec{A C})$ B、 $△ G A B$ 面积的最小值是 $\frac{2}{3}$ C、 $|\vec{A G}| \geq 1$ D、 $\vec{G A} \cdot \vec{G B}$ 存在最小值

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15、下列说法正确的是（）

A、空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内 B、正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，直线 $B D_{1}$ 与 $B_{1} C$ 是异面直线 C、用斜二测画法画水平放置的边长为1的正三角形，它的直观图的面积是 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ D、 $△ A B C$ 在平面 $α$ 外，其三边所在直线分别和 $α$ 交于 $P$ ， $Q$ ， $R$ ，则 $P$ ， $Q$ ， $R$ 一定共线

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16、设复数 $z$ 在复平面内对应的点为Z，原点为O， $i$ 为虚数单位，则下列说法正确的是（）

A、若 $| z | = 1$ ，则 $z = \pm 1$ 或 $z = \pm i$ B、若点Z的坐标为 $(- 3, 2)$ ，且 $z$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + p x + q = 0 (p, q \in R)$ 的一个根，则 $p + q = 19$ C、 $z - \bar{z}$ 为纯虚数 D、若 $1 \leq |z - 2 i| \leq \sqrt{2}$ ，则点Z的集合所构成的图形的面积为 $π$

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17、已知函数 $f (x) = a \sin ω x + b \cos ω x$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ， $ω > 0$ ）在区间 $[\frac{π}{6}, \frac{π}{2}]$ 上单调，且 $f (\frac{π}{6}) = - f (\frac{π}{2}) = - f (\frac{2 π}{3})$ ，则不等式 $f (x) + a > 0$ 的解集是（）

A、 $(- \frac{π}{4} + k π, \frac{5 π}{12} + k π) (k \in Z)$ B、 $(- \frac{π}{12} + k π, \frac{π}{4} + k π) (k \in Z)$ C、 $(- \frac{π}{3} + k π, \frac{π}{2} + k π) (k \in Z)$ D、 $(k π, \frac{π}{6} + k π) (k \in Z)$

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18、已知实数 $x_{1}, x_{2}$ 为函数 $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x} - |\log_{2} (x - 1)|$ 的两个零点，则下列结论正确的是( )

A、 $(x_{1} - 2) (x_{2} - 2) \in (0, + \infty)$ B、 $(x_{1} - 1) (x_{2} - 1) \in (0, 1)$ C、 $(x_{1} - 1) (x_{2} - 1) = 1$ D、 $(x_{1} - 1) (x_{2} - 1) \in (1, + \infty)$

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19、已知棱长为 $\sqrt{3}$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的中心为 $O$ ，若球 $O$ 的球面与该正方体的棱有公共点，则球 $O$ 的表面积的取值范围是（）

A、 $[3 π, 6 π]$ B、 $[3 π, 9 π]$ C、 $[6 π, 9 π]$ D、 $[6 π, 12 π]$

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20、设 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的偶函数，且在 $(0, + \infty)$ 上单调递增，则（）

A、 $f (- \log_{2} 3) < f [{(\frac{3}{5})}^{\frac{2}{5}}] < f [{(\frac{2}{5})}^{\frac{3}{5}}]$ B、 $f (- \log_{2} 3) < f [{(\frac{2}{5})}^{\frac{3}{5}}] < f [{(\frac{3}{5})}^{\frac{2}{5}}]$ C、 $f [{(\frac{3}{5})}^{\frac{2}{5}}] < f (- \log_{2} 3) < f [{(\frac{2}{5})}^{\frac{3}{5}}]$ D、 $f [{(\frac{2}{5})}^{\frac{3}{5}}] < f [{(\frac{3}{5})}^{\frac{2}{5}}] < f (- \log_{2} 3)$

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