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相关试卷

1、我国南宋著名数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形的三边长，求三角形的面积的问题，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即 $S = \sqrt{\frac{1}{4} [c^{2} a^{2} - {(\frac{c^{2} + a^{2} - b^{2}}{2})}^{2}]}$ ．现有 $△ A B C$ 满足 $\sin A : \sin B : \sin C = 2 : \sqrt{7} : 3$ ，且 $S_{△ A B C} = 6 \sqrt{3}$ ，则（）

A、 $△ A B C$ 三个内角 $A 、 B 、 C$ 满足关系 $A + C = 2 B$ B、 $△ A B C$ 的周长为 $10 + 2 \sqrt{7}$ C、若 $∠ B$ 的角平分线与 $A C$ 交于D，则 $B D$ 的长为 $\frac{6 \sqrt{3}}{5}$ D、若O为 $△ A B C$ 的外心，则 $\vec{B O} \cdot (\vec{B A} + \vec{B C}) = 26$

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2、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率 $e = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

(1)、若椭圆 $E$ 过点 $(2, \sqrt{2})$ ，求椭圆 $E$ 的标准方程.

(2)、若直线 $l_{1}, l_{2}$ 均过点 $P (p_{n}, 0) (0 < p_{n} < a, n \in N^{*})$ 且互相垂直，直线 $l_{1}$ 交椭圆 $E$ 于 $A, B$ 两点，直线 $l_{2}$ 交椭圆 $E$ 于 $C, D$ 两点， $M, N$ 分别为弦 $A B$ 和 $C D$ 的中点，直线 $M N$ 与 $x$ 轴交于点 $Q (t_{n}, 0)$ ，设 $p_{n} = \frac{1}{3^{n}}$ .
①求 $t_{n}$ ；
②记 $a_{n} = |P Q|$ ，求数列 $\{\frac{1}{a_{n}}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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3、已知函数 $f (x) = 4^{x} - m \cdot 2^{x + 1} - 8$ .

(1)、若 $m = 1$ ，求不等式 $f (x) < 0$ 的解集；

(2)、若 $\forall x \in [0, 2], f (x) \geq - 12$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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4、已知 $i$ 为虚数单位， $z_{1} 、 z_{2}$ 是实系数一元二次方程的两个虚根.

(1)、设 $z_{1} 、 z_{2}$ 满足方程 $4 z_{1} + (1 - i) z_{2} = 9 - 5 i$ ，求 $z_{1} 、 z_{2}$ ；

(2)、设 $z_{1} = 1 + 2 i$ ，复数 $z_{1} 、 z_{2}$ 所对的向量分别是 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ ，若向量 $t \vec{a} - \vec{b}$ 与 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ 的夹角为钝角，求实数 $t$ 的取值范围.

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5、某重点中学100位学生在市统考中的理科综合分数，以 $[160, 180)$ ， $[180, 200)$ ， $[200, 220)$ ， $[220, 240)$ ， $[240, 260)$ ， $[260, 280)$ ， $[280, 300]$ 分组的频率分布直方图如图．

(1)、求直方图中
$x$ 的值；

(2)、求理科综合分数的中位数；

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6、设定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 的值域为A，若集合A为有限集，且对任意 $x_{1}, x_{2} \in R$ ，存在 $x_{3} \in R$ ，使得 $f (x_{1}) f (x_{2}) = f (x_{3})$ ，则满足条件的集合A的个数为．

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7、数据 $x_{1}, x_{2}, \cdot \cdot \cdot, x_{n}$ 的方差为1，则数据 $2 x_{1} + 1, 2 x_{2} + 1, \cdot \cdot \cdot, 2 x_{n} + 1$ 的方差为．

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8、已知函数 $f (x) = A \cos (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, - \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）

A、 $ω = 3$ B、 $φ = \frac{π}{4}$ C、直线 $x = \frac{π}{12}$ 为 $f (x)$ 图象的一条对称轴 D、将 $f (x)$ 图象上的所有点向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度得到 $y = - 2 \sin 3 x$ 的图象

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9、在棱长为 1 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M ， N$ 分别为棱 $C_{1} D_{1}, C_{1} C$ 的中点，则（）

A、直线 $B N$ 与 $M B_{1}$ 是异面直线 B、直线 $M N$ 与 $A C$ 所成的角是 $\frac{π}{3}$ C、直线 $M N ⊥$ 平面 $A D N$ D、平面 $B M N$ 截正方体所得的截面面积为 $\frac{9}{8}$ .

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10、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上周期为4的奇函数，且 $f (x) = \{\begin{array}{l} x, 0 \leq x < 1 \\ - x + 2, 1 \leq x \leq 2 \end{array}$ ，则不等式 $x f (x - 1) < 0$ 在 $(- 2, 2)$ 上的解集为（）

A、 $(- 2, - 1)$ B、 $(- 2, - 1) \cup (0, 1)$ C、 $(- 1, 0) \cup (0, 1)$ D、 $(- 1, 0) \cup (1, 2)$

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11、我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童.如图池盆几何体是一个刍童，其中上，下底面均为正方形，且边长分别为8和4，侧面是全等的等腰梯形，且梯形的高为 $2 \sqrt{5}$ ，则该盆中最多能装的水的体积为（）

A、 $\frac{224 \sqrt{5}}{3}$ B、 $\frac{448}{3}$ C、 $224 \sqrt{5}$ D、448

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12、已知 $a$ ， $b$ 为实数，则“ $\sqrt{a} > \sqrt{b}$ ”是“ $\frac{b + 1}{a + 1} > \frac{b}{a}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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13、已知一组数据4，8，9，3，3，5，7，9，则（）

A、这组数据的上四分位数为8 B、这组数据没有众数 C、这组数据的极差为5 D、这组数据的平均数为6

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14、已知 $P$ 是圆 $C : {(x + 2)}^{2} + y^{2} = 12$ 上一动点，定点 $M (2, 0)$ ，线段 $P M$ 的垂直平分线 $n$ 与直线 $P C$ 交于点 $T$ ，记点 $T$ 的轨迹为 $C^{'}$ ．

(1)、求 $C^{'}$ 的方程；

(2)、若直线 $l$ 与曲线 $C^{'}$ 恰有一个共点，且 $l$ 与直线 $l_{1} : y = \frac{\sqrt{3}}{3} x$ ， $l_{2} : y = - \frac{\sqrt{3}}{3} x$ 分别交于 $A$ 、 $B$ 两点， $△ O A B$ 的面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．

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15、如图，在正三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = 6$ ， $A_{1} B_{1} = 4.$

(1)、若 $C C_{1} = \sqrt{2}$ ，证明： $C C_{1} ⊥$ 平面 $A A_{1} B_{1} B$ ；

(2)、若三棱台的高为 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ ，求平面 $A A_{1} B_{1} B$ 与平面 $B B_{1} C_{1} C$ 夹角的余弦值.

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16、袋中有三个相同的小球，用不同数字对三个小球进行标记.从袋中随机摸出一个小球，接着从袋中取出比该小球上数字大的所有小球 $($ 不再放回 $)$ ，并将该小球放回袋中.然后，对袋中剩下的小球再作一次同样的操作，此时袋中剩下2个小球的概率为.

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17、如图，长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A A_{1} = \frac{1}{2} A D = 2$ ，点 $P$ 是半圆弧 $\overset{⌢}{A_{1} D_{1}}$ 上的动点（不包括端点），点 $Q$ 是半圆弧 $\overset{⌢}{B C}$ 上的动点（不包括端点），则下列说法正确的是（）

A、 $\vec{A D} \cdot \vec{A_{1} P}$ 的取值范围是 $[0, 16]$ B、若 $C_{1} Q$ 与平面 $A B C D$ 所成的角为 $θ$ ，则 $tan θ > \frac{1}{2}$ C、 $C P$ 的最小值为 $2 \sqrt{4 - 2 \sqrt{2}}$ D、若三棱锥 $P - B C Q$ 的外接球表面积为 $S$ ，则 $S \in [16 π, 32 π)$

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18、已知P为圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 1$ 上的动点 $($ 不在坐标轴上 $)$ ，过P作 $P Q ⊥ x$ 轴，垂足为Q，将 $△ O P Q$ 绕y轴旋转一周，所得几何体的体积最大时，线段OQ的长度为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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19、图1是世界上单口半径最大、灵敏度最高的射电望远镜“中国天眼”—— $500 m$ 口径抛物面射电望远镜，反射面的主体是一个抛物面（抛物线绕其对称轴旋转所形成的曲面称为抛物面），其边缘距离底部的落差约为156.25米，它的一个轴截面开口向上的抛物线C的一部分，放入如图2所示的平面直角坐标系 $x O y$ 内，已知该抛物线上点P到底部水平线（x轴）距离为 $125 m$ ，则点到该抛物线焦点F的距离为（）

A、 $225 m$ B、 $275 m$ C、 $330 m$ D、 $380 m$

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20、函数 $f (x) = \frac{2 cos (π x)}{e^{x} - e^{- x}}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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