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相关试卷

1、函数 $y = f (x)$ 是定义在区间 $(- \infty, 0) \cup (0, + \infty)$ 上的奇函数，且当 $x > 0$ 时， $y = 2 x - x^{2}$ .

(1)、求当 $x < 0$ 时， $f (x)$ 的解析式；

(2)、令函数 $g (x) = \frac{f (x) - 1}{x}$ ，求 $g (x)$ 的值域.

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2、如图，在梯形 $A B C D$ 中， $A B ∥ C D, A B = 2 C D$ ， $E, F$ 分别为 $A B, C E$ 的中点， $G$ 是线段 $B C$ 上的动点．

(1)、若 $\vec{C G} = \frac{1}{3} \vec{C B}$ ，求证： $A, F, G$ 三点共线；

(2)、若 $A D = C D = 1, ∠ D A B = \frac{π}{3}$ ，求 $\vec{A G} \cdot \vec{E G}$ 的最小值．

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3、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A D = 1, B C = 3, C D = 2, A C = \sqrt{5}, B C ⊥ P C,$ $P C = P D$ ，侧面 $P C D ⊥$ 平面 $A B C D$ ．

(1)、证明： $B C ⊥$ 平面 $P C D$ ；

(2)、证明： $B C / /$ 平面 $P A D$ ；

(3)、若直线 $B P$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正切值为 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ ，求三棱锥 $P - A B C$ 的体积．

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4、已知 $α$ 是第四象限角，且 $\tan α = - 2$ ，计算：
（1） $\frac{3 \sin (\frac{π}{2} - α)}{5 \sin (\frac{π}{2} + α) - \cos (\frac{π}{2} + α)}$ ；
（2） $\sin (π - α) \cdot \cos (π + α) + 3 \cos^{2} α$ .

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5、在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = \frac{π}{2}$ ， $A B = 2$ ， $A C = 1$ ，点 $D$ 为边 $B C$ 边上一动点，将 $△ A B D$ 沿着 $A D$ 翻折，使得点 $B$ 到达 $B^{'}$ ，且平面 $A B^{'} D ⊥$ 平面 $A C D$ ，则当 $B^{'} C$ 最小时， $C D$ 的长度为.

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6、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，异面直线 $B A_{1}$ 与 $D D_{1}$ 所成角的大小为.

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7、如图，在棱长为1的正方体 $A C_{1}$ 中， $P$ 是线段 $B_{1} D_{1}$ 上的动点（含端点），则（）

A、 $C P //$ 面 $A_{1} B D$ B、 $A_{1} P$ 与 $BC$ 是异面直线 C、 $A_{1} P + P D$ 的最小值为 $\sqrt{2 + \sqrt{2}}$ D、三棱锥 $P - A_{1} B D$ 的体积为定值

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8、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = 2$ ，则（）

A、 $|\vec{a} - \vec{b}|$ 的最大值是3 B、 $|\vec{a} + \vec{b}|$ 的最小值是0 C、 $|\vec{a} - \vec{b}| + |\vec{a} + \vec{b}|$ 的最大值是 $2 \sqrt{5}$ D、 $|\vec{a} - \vec{b}| + |\vec{a} + \vec{b}|$ 的最小值是4

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9、已知函数 $f (x) = {cos}^{2} x + 2 \sqrt{3} sin x cos x - {sin}^{2} x$ ，下列结论正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、函数 $f (x)$ 的图象对于点 $(\frac{5 π}{12}, 0)$ 对称 C、函数 $f (x)$ 在 $[0, \frac{π}{3}]$ 单调递增 D、函数在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的值域是 $[- 1, 2]$

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10、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c若 $a = \sqrt{10}$ ， $a^{2} + b^{2} - c^{2} = a b \sin C$ ， $a \cos B + b \sin A = c$ ，则下列结论不正确的是（）

A、 $\tan C = 2$ B、 $A = \frac{π}{4}$ C、 $△ A B C$ 的面积为6 D、 $b = \sqrt{2}$

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11、二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a > 0)$ 的图象与x轴相交于A，B两点，点C在二次函数图象上，且到 $x$ 轴距离为4， $∠ A C B = 90 °$ ，则a的值为（）

A、4 B、2 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{4}$

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12、在 $Δ A B C$ 中， $\cos A = \frac{1}{3}$ ， $A C = 3 A B$ ，则 $\sin C =$

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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13、一个圆台的上、下底面的半径分别为 $1$ 和 $4$ ，体积为 $28 π$ ，则它的表面积为（）

A、 $41 π$ B、 $42 π$ C、 $29 \sqrt{3} π$ D、 $(18 + 7 \sqrt{3}) π$

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14、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ ．已知 $4 b sin B = a sin A, tan \frac{A}{2} = \frac{\sqrt{15}}{3}$ ，则 $\frac{c}{b} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{3}{2}$

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15、已知 $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = 3$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $135 °$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为（）

A、 $\frac{4 \sqrt{5}}{5} \vec{b}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{3} \vec{b}$ C、 $- \frac{\sqrt{2}}{6} \vec{b}$ D、 $- \frac{4 \sqrt{5}}{5} \vec{b}$

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16、已知函数 $f (x) = a \ln x - x + \frac{2}{x}$ .

(1)、当 $a = 3$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $f (x) \leq \frac{2}{x} - 1$ 恒成立，求a的值；

(3)、求证：对任意正整数 $n (n \geq 2)$ ，都有 $(1 + \frac{1}{2^{2}}) \cdot (1 + \frac{1}{3^{2}}) \cdot (1 + \frac{1}{4^{2}}) \dots (1 + \frac{1}{n^{2}}) < e$ （其中e为自然对数的底数）.

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17、在我校歌咏比赛中，甲班、乙班、丙班、丁班均可从A，B，C三首不同曲目中任选一首.

(1)、求甲、乙两班选择不同曲目的概率；

(2)、设这四个班级总共选取了X首曲目，求X的分布列.

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18、在下面三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并对其求解．
条件①：第3项与第7项的二项式系数相等；
条件②：只有第5项的二项式系数最大；
条件③：所有项的二项式系数的和为256．
问题：在 ${(a x - \frac{1}{\sqrt[3]{x}})}^{n} (a > 0)$ 的展开式中，_____．
（1）求 $n$ 的值；
（2）若其展开式中的常数项为112，求其展开式中所有项的系数的和．

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19、关于函数 $f (x) = \frac{2}{x} + \ln x$ ，下列判断正确的是（）

A、 $x = 2$ 是 $f (x)$ 的切线方程且平行于x轴 B、函数 $y = f (x) - x$ 有且只有1个零点 C、存在正实数k，使得 $f (x) > k x$ 成立 D、对两个不相等的正实数 $x_{1}, x_{2}$ ，若 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，则 $f (x_{1} + x_{2}) > \frac{1}{2} + \ln 4$

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20、下列说法正确的是（）

A、4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有24种报名方法 B、4名同学都参加了跑步、跳高、跳远三个项目，则这三个项目的冠军共有64种不同结果 C、4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，每项至少一人，共有24种报名方法 D、4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每项报一人，每人至多报一项，共有24种报名方法

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