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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \sqrt{x^{2} - 6 x + 5}$ 在区间 $(a, + \infty)$ 上单调递增，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, 1]$ B、 $(- \infty, 3]$ C、 $[3, + \infty)$ D、 $[5, + \infty)$

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2、在一个箱子中放5个白球，3个红球，摇匀后采用不放回方式随机摸球3次，每次一个，第3次摸到红球的概率是（）

A、 $\frac{3}{8}$ B、 $\frac{3}{16}$ C、 $\frac{5}{28}$ D、 $\frac{7}{24}$

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3、已知 $z_{1} = cos \frac{π}{3} + isin \frac{π}{3}$ ， $z_{2} = cos \frac{π}{6} + isin \frac{π}{6}$ 则， $z_{1} \cdot z_{2} =$ （）

A、0 B、 $i$ C、 $- i$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{4} i$

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4、已知直线 $l_{1} : x + m y - 5 = 0$ ，直线 $l_{2} : m x + y + 3 = 0$ ，若 $l_{1}$ $∥$ $l_{2}$ ，则实数 $m$ 的值为（）

A、1 B、 $- 1$ C、 $- 1$ 或1 D、0

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5、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 3^{x}, x < 1 \\ {log}_{3} (x + 8), x \geq 1 \end{array}$ ，则 $f (- 1) + f (1) =$ （）

A、 $\frac{4}{3}$ B、3 C、 $\frac{7}{3}$ D、 $\frac{10}{3}$

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6、已知集合 $M = {x ∣ - 2 \leq x < 0}, N = {x ∣ - 1 \leq x < 3}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 ${x ∣ - 1 \leq x < 0}$ B、 $\{x ∣ x > 3\}$ C、 ${x ∣ - 2 \leq x < 3}$ D、 ${x ∣ x < - 2}$

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7、某市高新技术开发区，一家光学元件生产厂家生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于76为合格品，小于76为次品，现抽取这种元件100件进行检测，检测结果统计如下表：
测试指标
$[20, 68)$
$[68, 76)$
$[76, 84)$
$[84, 92)$
$[92, 100]$
元件数（件）
2
18
36
40
4

(1)、现从这100件样品中随机抽取2件，在其中一件为合格品的条件下，求另一件为不合格品的概率；

(2)、关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：若随机变量 $X$ 具有数学期望 $E (X) = μ$ ，方差 $D (X) = σ^{2}$ ，则对任意正数 $ε$ ，均有 $P (| X - μ | \geq ε) \leq \frac{σ^{2}}{ε^{2}}$ 成立．
（i）若 $X ~ B (100, \frac{1}{2})$ ，证明： $P (0 \leq X \leq 25) \leq \frac{1}{50}$ ；
（ii）由切比雪夫不等式可知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的．若该工厂声称本厂元件合格率为 $95 %$ ，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信？（注：当随机事件 $A$ 发生的概率小于0.05时，可称事件 $A$ 为小概率事件）

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8、已知某人掷骰子5次，并记录每次骰子出现的点数，统计数据为： $2$ ， $1$ ， $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $a$ ， $b$ ， $c$ 成等差数列，则由下列说法可以判断出一定没有出现点数6的是（）

A、该组数据的中位数为4，众数是4 B、该组数据的平均数为 $3$ ， $80 %$ 分位数是5 C、该组数据的平均数为3，方差小于3 D、该组数据的极差为5，方差大于3

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9、如图，圆 $C$ 的半径为3，其中 $A ､ B$ 为圆 $C$ 上的两点.

(1)、若 $cos ∠ C A B = \frac{1}{3}$ ，当 $k$ 为何值时， $\vec{A C} + 2 \vec{A B}$ 与 $k \vec{A C} - \vec{A B}$ 垂直？

(2)、若 $G$ 为 $△ A B C$ 的重心，直线 $l$ 过点 $G$ 交边 $A B$ 于点 $P$ ，交边 $A C$ 于点 $Q$ ，且 $\vec{A P} = λ \vec{A B}, \vec{A Q} = μ \vec{A C}$ .证明： $\frac{1}{λ} + \frac{1}{μ}$ 为定值；

(3)、若 $|\vec{A C} + t \vec{A B}|$ 的最小值为1，求 $|\vec{A B}|$ 的值.

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10、已知函数 $f (x) = 2 \cos x \sin (x + \frac{π}{3}) - 2 \sqrt{3} \cos^{2} x + \frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $x \in R$ .

(1)、求函数的对称中心与对称轴；

(2)、当 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ 时，求函数 $f (x)$ 的最值；

(3)、当 $x \in [0, π]$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调递增区间.

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11、已知 $α$ ， $β \in (0 ， \frac{π}{2})$ ， $sin (α - \frac{π}{4}) = \frac{3}{5}$ ， $t a n β = \frac{1}{2} ．$
（1）求 $s i n α$ 的值；
（2）求 $tan (α + β)$ 的值．

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12、已知复平面内表示复数 $z = (2 m - 1) + (m + 1) i$ （ $m \in R$ ）的点为 $Z$ .

(1)、若点 $Z$ 在函数 $y = 2 x - 6$ 图像上，求实数 $m$ 的值；

(2)、若 $O$ 为坐标原点，点 $A (2, - 1)$ ，且 $\vec{O Z}$ 与 $\vec{O A}$ 的夹角为钝角，求实数 $m$ 的取值范围.

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13、平面内给定三个向量 $\vec{a} = (3, 2)$ ， $\vec{b} = (- 1, 2)$ ， $\vec{c} = (4, 1)$ ．

(1)、求满足 $\vec{a} = m \vec{b} + n \vec{c}$ 的实数m，n．

(2)、若 $\vec{d}$ 满足 $\vec{d} ∥ (\vec{a} + \vec{b})$ ，且 $|\vec{d}| = 5$ ，求 $\vec{d}$ 的坐标．

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14、在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 60^{\circ}$ ， O是 $△ A B C$ 的外心， $O A = 2$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{C B}$ 的取值范围为．

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15、已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是不共线的向量，且 $\vec{A B} = \vec{a} + 5 \vec{b}$ ， $\vec{B C} = - 2 \vec{a} + 8 \vec{b}$ ， $\vec{C D} = 3 \vec{a} + k \vec{b}$ ，若 $A$ 、 $B$ 、 $D$ 三点共线，则 $k =$ .

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16、已知平面向量 $\vec{a} = (1, \sqrt{3}), \vec{b} = (3, m)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $m =$ ．

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17、已知 $f (x) = \sin ω x + \sqrt{3} \cos ω x (ω > 0)$ 在区间 $[\frac{π}{6}, \frac{π}{4}]$ 上单调递增，则 $ω$ 的取值可能在（）

A、 $(0, \frac{2}{3}]$ B、 $(\frac{2}{3}, 7)$ C、 $[7, \frac{26}{3}]$ D、 $[\frac{50}{3}, 19]$

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18、已知复数 $z = \frac{3 + i}{1 - i}$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $z$ 对应的点位于第二象限 B、 $\bar{z}$ 的虚部为 $- 2$ C、 $|z| = \sqrt{5}$ D、 $z \cdot \bar{z} = 5$

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19、如图，在 $▱ A B C D$ 中， $∠ D A B = 60 °$ ， $A B = 2 A D$ ， $E$ 为边AB的中点，线段AC与DE交于点 $F$ ，则 $\cos ∠ A F E =$ （）

A、 $- \frac{3 \sqrt{21}}{14}$ B、 $- \frac{\sqrt{21}}{7}$ C、 $- \frac{\sqrt{7}}{14}$ D、 $- \frac{1}{7}$

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20、已知 $A, B, C, D$ 是函数 $y = s i n (ω x + φ) (ω > 0,0 < φ < \frac{π}{2})$ 一个周期内的图象上的四个点，如图所示， $A (- \frac{2 π}{3}, 0), B$ 为 $y$ 轴上的点， $C$ 为图象上的最低点， $E$ 为该函数图象的一个对称中心， $B$ 与 $D$ 关于点 $E$ 对称， $\vec{C D}$ 在 $x$ 轴上的投影为 $\frac{π}{3}$ ，则 $ω, φ$ 的值为（）

A、 $ω = 2, φ = \frac{π}{3}$ B、 $ω = 2, φ = \frac{π}{6}$ C、 $ω = \frac{1}{2}, φ = \frac{π}{3}$ D、 $ω = \frac{1}{2}, φ = \frac{π}{6}$

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测试指标	$[20, 68)$	$[68, 76)$	$[76, 84)$	$[84, 92)$	$[92, 100]$
元件数（件）	2	18	36	40	4