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相关试卷

1、如图，四面体 $A - B_{1} C D_{1}$ 的四个顶点均为长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的顶点．

(1)、若四面体 $A - B_{1} C D_{1}$ 各棱长均为 $\sqrt{2}$ ，求该四面体的表面积和体积；

(2)、若 $A D_{1} = \sqrt{3}$ ， $A C = 2$ ， $A B_{1} = \sqrt{5}$ ，求四面体 $A - B_{1} C D_{1}$ 外接球的表面积．

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2、对于平面向量 $\vec{a_{k}} = (x_{k}, y_{k}) (k = 1, 2, \cdot \cdot \cdot)$ ，定义“ $F_{θ}$ 变换”： $\vec{a_{k + 1}} = F_{θ} (\vec{a_{k}}) = (x_{k} \cos θ - y_{k} \sin θ, x_{k} \sin θ + y_{k} \cos θ)$ ， $(0 < θ < π)$

(1)、若向量 $\vec{a_{1}} = (2, 1)$ ， $θ = \frac{π}{3}$ ，求 $\vec{a_{2}}$ ；

(2)、已知 $\vec{O A} = (x_{1}, y_{1})$ ， $\vec{O B} = (x_{2}, y_{2})$ ，且 $\vec{O A}$ 与 $\vec{O B}$ 不平行， $\vec{O A^{'}} = F_{θ} (\vec{O A})$ ， $\vec{O B^{'}} = F_{θ} (\vec{O B})$ ，证明： $S_{△ O A B} = S_{△ O A^{'} B^{'}}$ ；

(3)、若向量 $\vec{a_{4}} = \vec{a_{1}}$ ，求 $θ$ ．

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3、已知a，b，c分别为 $△ A B C$ 三个内角A，B，C的对边，且满足 $b = 2$ ， $\sqrt{3} b \sin C + b \cos C = a$ ．

(1)、求B；

(2)、若D，E为线段 $B C$ 上的两个动点，且满足 $∠ D A E = 60 °$ ， $S_{△ A B C} = \sqrt{3}$ ，求 $S_{△ A D E}$ 的取值范围．

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4、设向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = 2$ ， $|3 \vec{a} - \vec{b}| = 3$ ．

(1)、求 $|2 \vec{a} + 3 \vec{b}|$ 的值；

(2)、已知 $2 \vec{a} + 3 \vec{b}$ 与 $λ \vec{a} - \frac{3}{2} \vec{b}$ 的夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{11}}{33}$ ，求 $λ$ 的值．

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5、如图所示，已知三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的所有棱长都为1， $B C ⊥ C C_{1}$ ，点P为线段 $B_{1} C_{1}$ 上的动点．

(1)、若点 $P$ 恰为线段 $B_{1} C_{1}$ 上靠近点 $C_{1}$ 的三等分点，求三棱锥 $P - A_{1} B C$ 和三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积之比；

(2)、求 $P A_{1} + P C$ 的最小值及此时 $B_{1} P$ 的值．

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6、勒洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛．如图所示，分别以正三角形 $A B C$ 的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为勒洛三角形．已知正三角形 $A B C$ 边长为2，点P为圆弧 $\overset{⌢}{A B}$ 上的一点，且满足： $S_{△ A B P} = \frac{\sqrt{3}}{12}$ ，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} + \vec{P B} \cdot \vec{P C} + \vec{P C} \cdot \vec{P A}$ 的值为．

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7、已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 为非零向量，且满足 $|\vec{a}| = 2$ ， $|\vec{a} - \vec{b}| = 1$ ，则（）

A、 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 夹角的取值范围是 $[0, \frac{π}{6}]$ B、 $|\vec{b}|$ 的取值范围是 $[1, 3]$ C、 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 的取值范围是 $[2, 4]$ D、 $|\vec{a} + \vec{b}|$ 的取值范围是 $[3, 5]$

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8、如图所示，在 $▱ A B C D$ 中，点E为线段 $A D$ 上的中点，点F为线段 $C D$ 上靠近点C的三等分点， $B E$ ， $B F$ 分别与 $A C$ 交于R，T两点．则（）

A、 $\vec{F T} = \frac{1}{6} \vec{A B} - \frac{1}{4} \vec{A D}$ B、 $\vec{B D} = \frac{3}{5} \vec{B E} + \frac{4}{5} \vec{B F}$ C、 $\vec{A B} = 3 \vec{B R} + 4 \vec{D T}$ D、 $\vec{A D} = 3 \vec{A B} - 4 \vec{E R}$

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9、已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 为非零向量，且满足 $\vec{b} \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = 0$ ，则 $\vec{a} - 2 \vec{b}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $\vec{b}$ B、 $- \vec{b}$ C、 $2 \vec{b}$ D、 $- 2 \vec{b}$

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10、已知复数 $z = (1 - 2 i) (1 + i)$ ，其中 $i$ 是虚数单位，则 $z$ 的虚部是（）

A、 $i$ B、 $- i$ C、 $- 1$ D、1

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11、已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (x, 1 - x)$ ，若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $x =$ （）

A、2 B、 $\frac{1}{3}$ C、3 D、 $\frac{2}{3}$

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12、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $\frac{a}{b} = \frac{\sin B + \sqrt{3} \cos B}{\sin A + \sqrt{3} \cos A}$ ，且 $A \neq B$ ．

(1)、求 $∠ C$ 的大小；

(2)、若 $∠ C$ 的平分线交 $A B$ 于点 $D$ ，且 $C D = 2 \sqrt{3}$ ，求 $a + 2 b$ 的取值范围．

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13、已知向量 $\vec{m} = (c o s α, - 1)$ ， $\vec{n} = (2, s i n α)$ ，其中 $α \in (0, \frac{π}{2})$ ，且 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ ．
$(1)$ 求 $c o s 2 α$ 的值；
$(2)$ 若 $s i n (α - β) = \frac{\sqrt{10}}{10}$ ，且 $β \in (0, \frac{π}{2})$ ，求角 $β$ ．

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14、已知 $△ A B C$ 中， $\vec{A O} = λ \vec{A B} + (1 - λ) \vec{A C}$ ，且 $O$ 为 $△ A B C$ 的外心．若 $\vec{B A}$ 在 $\vec{B C}$ 上的投影向量为 $μ \vec{B C}$ ，且 $\cos ∠ A O C \in [\frac{1}{3}, \frac{2}{3}]$ ，则 $μ$ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{2}{3}, \frac{5}{6}]$ B、 $[\frac{1}{5}, \frac{3}{10}]$ C、 $[\frac{4}{3}, \frac{5}{3}]$ D、 $[\frac{1}{5}, \frac{3}{5}]$

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15、已知 $\sin α - 3 \cos α = 0$ ，则 $\frac{\sin α \cos 2 α}{\sqrt{2} \sin (α + \frac{π}{4})} =$ （）

A、 $- \frac{2}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $- \frac{3}{5}$

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16、已知某圆台的上、下底面半径分别为 $r_{1}$ ， $r_{2}$ ，且 $r_{2} = 3 r_{1}$ ，若半径为 $2 \sqrt{3}$ 的球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该圆台的体积为（）

A、 $28 π$ B、 $\frac{28π}{3}$ C、 $\frac{56 π}{3}$ D、 $\frac{208 \sqrt{3} π}{3}$

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17、已知m，n是两条不同的直线， $α, β$ 是两个不同的平面， $m \subset α, n \subset β$ ，下列结论中正确的是（）

A、若 $m ∥ n$ ，则 $α ∥ β$ B、若 $α ∥ β$ ，则 $m ∥ n$ C、若m与n不相交，则 $α ∥ β$ D、若 $α ∥ β$ ，则m与n不相交

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18、已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点和短轴的两个端点构成边长为 $2$ 的正方形.
（1）求椭圆 $C$ 的方程；
（2）过点 $Q (1, 0)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交于 $A, B$ 两点.点 $P (4, 3)$ ，记直线 $P A$ ， $P B$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，当 $k_{1} \cdot k_{2}$ 最大时，求直线 $l$ 的方程.

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19、如图，已知长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = B C = 1$ ， $B B_{1} = 2$ ，连接 $B_{1} C$ ，过 $B$ 点作 $B_{1} C$ 的垂线交 $C C_{1}$ 于 $E$ ，交 $B_{1} C$ 于 $F$

(1)、求证： $A_{1} C ⊥$ 平面 $E B D$ ；

(2)、求直线 $D E$ 与平面 $A_{1} B_{1} C$ 所成角的正弦值．

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20、已知函数 $f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x$ ．
（1）求 $f (x)$ 的单调区间；
（2）求 $f (x)$ 在 $[0, 3]$ 上的最值．

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