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相关试卷

1、某超市举行购物抽奖活动，规定购物消费每满188元就送一次抽奖机会，中奖的概率为 $15 %$ ，则下列说法正确的是（）

A、某人抽奖100次，一定能中奖15次 B、某人抽奖200次，至少能中奖3次 C、某人抽奖1次，一定不能中奖 D、某人抽奖20次，可能1次也没中奖

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2、已知 $i$ 为虚数单位，若 $i (1 - \bar{z}) = 1$ ，则 $z =$ （）

A、 $1 + i$ B、 $1 - i$ C、i D、 $- i$

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3、下列选项中，与角 $α = - 40 °$ 终边相同的角是（）

A、 $- 400 °$ B、 $- 380 °$ C、310° D、330°

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4、某超市为了调查顾客单次购物金额与年龄的关系，从年龄在 $[20, 70]$ 内的顾客中，随机抽取了100人，调查结果如表：
年龄段
类型
$[20, 30)$
$[30, 40)$
$[40, 50)$
$[50, 60)$
$[60, 70]$
单次购物金额满188元
8
15
23
15
9
单次购物金额不满188元
2
3
5
9
11

(1)、为了回馈顾客，超市准备开展对单次购物金额满188元的每位顾客赠送1个环保购物袋的活动.若活动当日该超市预计有5000人购物，由频率估计概率，预计活动当日该超市应准备多少个环保购物袋？

(2)、在上面抽取的100人中，随机依次抽取2人，已知第1次抽到的顾客单次购物金额不满188元，求第2次抽到的顾客单次购物金额满188元的概率.

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5、下列求导不正确的是（）

A、 ${(sin x - sin \frac{π}{6})}^{'} = cos x - sin \frac{π}{6}$ B、 ${[{(2 x + 1)}^{2}]}^{'} = 2 (2 x + 1)$ C、 ${({log}_{2} x)}^{'} = \frac{1}{x ln 2}$ D、 ${(2^{x} + x^{2})}^{'} = 2^{x} + 2 x$

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6、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C = A B = A A_{1} = \sqrt{2}$ ， $B C = 2 A E = 2$ ，则向量 $\vec{A E}$ 与 $\vec{A_{1} C}$ 的夹角是（　　）

A、30° B、45° C、60° D、90°

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7、1941年中国共产党在严重的困难面前，号召根据地军民，自力更生，艰苦奋斗，尤其是通过开展大生产运动，最终走出了困境．如图就是当时缠线用的线拐子，在结构简图中线段 $A B$ 与 $C D$ 所在直线异面垂直， $E ､ F$ 分别为 $A B ､ C D$ 的中点，且 $E F ⊥ A B, E F ⊥ C D$ ，线拐子使用时将丝线从点 $A$ 出发，依次经过 $D ､ B ､ C$ 又回到点 $A$ ，这样一直循环，丝线缠好后从线拐子上脱下，称为“束丝”．图中 $A B = E F = C D = 30 cm$ ，则丝线缠一圈长度为（）

A、 $90 \sqrt{2} cm$ B、 $90 \sqrt{3} cm$ C、 $60 \sqrt{6} cm$ D、 $80 \sqrt{3} cm$

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8、已知函数 $y = f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 的图象如下，则下面判断正确的是（）

A、在区间 $(- 2, 1)$ 上 $f (x)$ 是增函数 B、在 $(1, 2)$ 上 $f (x)$ 是减函数 C、当 $x = 4$ 时， $f (x)$ 取极大值 D、在 $(4, 5)$ 上 $f (x)$ 是增函数

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9、已知 $\vec{a} = (2, - 1, 4) ， \vec{b} = (- 1, 5, - 2) ， \vec{c} = (1, 4, λ)$ ，若 $\vec{a} 、 \vec{b} 、 \vec{c}$ 三向量共面，则实数 $λ$ 等于（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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10、已知函数 $f (x) = x e^{x}$ ，则 $f^{'} (1) =$ （）

A、 $- 1$ B、 $e$ C、 $2 e$ D、 $e^{0}$

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11、已知函数 $f (x) = |x + a| + |x - 1|$ ， $a \in R$ ．
（1）当 $a = 2$ 时，求不等式 $f (x) \leq 4$ 的解；
（2）对任意 $m \in (0, 3)$ ．关于x的不等式 $f (x) < m + \frac{1}{m} + 2$ 总有解，求实数a的取值范围．

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12、多样化的体育场地会为学生们提供更丰富的身体锻炼方式.现有一个标准的铅球场地如图，若场地边界曲线M分别由由两段同心圆弧 $\overset{⌢}{B C}, \overset{⌢}{A D}$ 和两条线段 $A B, C D$ 四部分组成，在极坐标系 $O x$ 中， $∠ A O D = ∠ B O C = \frac{7 π}{36}$ ， A､O､B三点共线. $A (20, \frac{7 π}{72})$ ，点C在半径为1的圆上.

(1)、分别写出组成边界曲线M的两段圆弧和两条线段的极坐标方程；

(2)、若需设置一个距边界曲线M距离不小于1且关于极轴所在直线对称的矩形警示区域，如图，求警示区域所围的最小面积.
注： $\sin \frac{7 π}{72} \approx 0.3$ ， $\cos \frac{7 π}{72} \approx 0.95$

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13、已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的长轴为双曲线 $\frac{x^{2}}{8} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的实轴，且椭圆C过点P（2，1）．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、点A，B是椭圆C上异于点P的两个不同的点，直线PA与PB的斜率均存在，分别记为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，且 $k_{1} \cdot k_{2} = - \frac{1}{2}$ ，当坐标原点O到直线AB的距离最大时，求直线AB的方程．

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14、灯带是生活中常见的一种装饰材料，已知某款灯带的安全使用寿命为5年，灯带上照明的灯珠为易损配件，该灯珠的零售价为4元/只，但在购买灯带时可以以零售价五折的价格购买备用灯珠，该灯带销售老板为了给某顾客节省装饰及后期维护的支出，提供了150条这款灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量的数据，数据如图所示.以这150条灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量的频率代替1条灯带更换的灯珠数量发生的概率，若该顾客买1盒此款灯带，每盒有2条灯带，记X表示这1盒灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量，n表示该顾客购买1盒灯带的同时购买的备用灯珠数量.

(1)、求 $X$ 的分布列；

(2)、若满足 $P (X \geq n) \leq 0.6$ 的n的最小值为 $n_{0}$ ，求 $n_{0}$ ；

(3)、在灯带安全使用寿命期内，以购买替换灯珠所需总费用的期望值为依据，比较 $n = n_{0} - 1$ 与 $n = n_{0}$ 哪种方案更优.

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15、在 $△ A B C$ 中， $A = \frac{π}{3}$ ， $b = \sqrt{2}$ ，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求
（1）B的大小；
（2） $△ A B C$ 的面积．
条件①： $b^{2} + \sqrt{2} a c = a^{2} + c^{2}$ ；条件②： $a \cos B = b \sin A$ ．

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16、已知a，b， $c \in (1, + \infty)$ ，且 $a - \ln a = 2$ ， $b - \frac{1}{2} = \ln b + 2 \ln 2$ ， $c - \sin 1 = \ln c + \tan 1$ ，其中e是自然对数的底数，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $a < c < b$ D、 $b < c < a$

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17、如图， $△ A B C$ 中 $A B = 1, A C = 3, ∠ B A C = 60 °$ ， AD为BC边上的中线，点E，F分别为边 $A B, A C$ 上的动点，线段EF交AD于G，且线段AE与线段AF的长度乘积为1．

(1)、已知 $A F = 2$ ，请用 $\vec{A B}, \vec{A C}$ 表示 $\vec{A G}$ ；

(2)、求 $\vec{A G} \cdot \vec{E F}$ 的取值范围．

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18、如图，在 $△ A B C$ 中，D是边BC上一点， $A B = A C$ ， $B D = 2$ ， $\frac{\sin ∠ B A D}{\sin ∠ C A D} = \frac{2}{3}$ ．
（1）求DC的长；
（2）若 $A D = 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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19、如图，圆柱内接于球O，已知球O的半径R＝2，设圆柱的底面半径为r．

(1)、以r为变量，表示圆柱的表面积 $S_{柱}$ 和体积 $V_{柱}$ ；

(2)、当r为何值时，该球内接圆柱的侧面积最大，最大值是多少？

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20、已知复数 $z = 3 + m i (m \in R)$ ， $z_{1} = (1 + 3 i) z$ ，且 $z_{1}$ 为纯虚数．

(1)、求复数 $z$ ；

(2)、设 $z$ 、 $z^{2}$ 在复平面上对应的点分别为A、B，O为坐标原点．求向量 $\vec{O A}$ 在向量 $\vec{O B}$ 上的投影向量的坐标．

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