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相关试卷

1、下列函数中，以 $π$ 为最小正周期，且在区间 $(\frac{π}{2}, π)$ 上单调递增的是（）

A、 $y = \tan x$ B、 $y = | \sin x |$ C、 $y = \cos^{2} x$ D、 $y = - \sin x \cos x$

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2、(多选)下列命题的判断正确的是（）

A、若向量 $\vec{A B}$ 与向量 $\vec{C D}$ 共线，则A，B，C，D四点在一条直线上 B、若A，B，C，D四点在一条直线上，则向量 $\vec{A B}$ 与向量 $\vec{C D}$ 共线 C、若A，B，C，D四点不在一条直线上，则向量 $\vec{A B}$ 与向量 $\vec{C D}$ 不共线 D、若向量 $\vec{A B}$ 与向量 $\vec{B C}$ 共线，则A，B，C三点在一条直线上

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3、关于复数，给出下列命题正确的是（）

A、 $3 > 3 i$ B、 $16 > {(4 i)}^{2}$ C、 $2 + i > 1 + i$ D、 $|2 + 3 i| > |2 + i|$ .

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4、已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是单位向量， $|2 \vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{3}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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5、在 $△ A B C$ 中， $A = 120 °, C = 15 °, A C = \sqrt{6}$ ，则 $B C =$ （）

A、4 B、 $2 \sqrt{3}$ C、3 D、 $2 \sqrt{2}$

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6、 $\cos 163 ° \cos 223 ° + \cos 253 ° \cos 313 °$ 等于（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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7、八卦是中国文化中的哲学概念，图 $1$ 是八卦模型图，其平面图形记为图 $2$ 中的正八边形 $A B C D E F G H$ ，其中 $O A = 1$ ，给出下列结论：
① $\vec{B F} - \vec{H F} + \vec{H D} = \vec{0}$ ；       ② $\vec{O A} + \vec{O C} = - \sqrt{2} \vec{O F}$ ；
③ $\vec{A E} + \vec{F C} - \vec{G E} = \vec{A B}$ ；       ④ $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} + \vec{O D} + \vec{O E} + \vec{O F} + \vec{O G} + \vec{O H} = \vec{0}$ .
其中正确的结论为（       ）

A、①②④ B、①③④ C、②③④ D、①②③

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8、已知是 $i$ 虚数单位，则复数 $\frac{1 + 2 i}{1 + i}$ 的虚部是（）

A、 $- \frac{3}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{2}$

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9、已知向量 $\vec{a} = (2, - 1), \vec{b} = (m, 3)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $m =$ （）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $- \frac{3}{2}$ C、6 D、 $- 6$

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10、一般地，当 $λ > 0$ 且 $λ \neq 1$ 时，方程 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = λ (a > b > 0)$ 表示的椭圆 $C_{λ}$ 称为椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的相似椭圆．已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ ，椭圆 $C_{λ}$ （ $λ > 0$ 且 $λ \neq 1$ ）是椭圆C的相似椭圆，点P为椭圆 $C_{λ}$ 上异于其左，右顶点M，N的任意一点．

(1)、当 $λ \in (0, 1)$ 时，直线 $y = m x + n (m > 0, n < 0)$ 与椭圆C， $C_{λ}$ 自上而下依次交于R，Q，S，T四点，探究 $|R Q|$ ， $|S T|$ 的大小关系，并说明理由．

(2)、当 $λ = e^{2}$ （e为椭圆C的离心率）时，设直线 $P M$ 与椭圆C交于点A，B，直线 $P N$ 与椭圆C交于点D，E，求 $|A B| + |D E|$ 的值．

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11、已知函数 $f (x) = a e^{- x} + x - a$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的极值；

(2)、已知 $n \in N^{*}$ ，证明： $\sin \frac{1}{n + 1} + \sin \frac{1}{n + 2} + \cdot \cdot \cdot + \sin \frac{1}{2 n} < \ln 2$ ．

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12、高一（1）班每周举行历史答题擂台比赛，排名前2名的同学组成守擂组，下周由3位同学组成攻擂组挑战，已知每位守擂同学答对每道题的概率为 $\frac{2}{3}$ ，每位攻擂同学答对每道题的概率为 $\frac{1}{2}$ ，每道题每位同学答题互不影响.每道题由每组成员依次答题，只要有一人答对，则这道题该组得1分，否则这道题该组得0分.为提高攻擂同学的积极性，第一题由攻擂组先答，若该组同学均未答对，再由守擂组答；从第二题开始，两组进行抢答，抢到的组回答，且不管其是否答对，另一组不能补答.已知抢答环节每题守擂组抢到的概率均为 $\frac{3}{8}$ .

(1)、求攻擂组答第一题得1分的概率；

(2)、求守擂组在第一题后得0分的概率；

(3)、设 $X$ 为三题后守擂组的得分，求 $X$ 的分布列与数学期望 $E (X)$ .

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13、在五面体 $A B C D E F$ 中， $A D / / C F$ ， $A D = C F = 2$ ， $E F = 4$ ， $C A = 2 \sqrt{2}$ ， $∠ C F E = \frac{π}{3}$ ， $F D ⊥ B E$ ，平面 $A B E D ⊥$ 平面 $A C F D$ .

(1)、证明： $C F / / B E$ ，并求出 $C F$ ， $B E$ 之间的距离；

(2)、求出平面 $E F D$ 和平面 $B C F E$ 夹角的余弦值.

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14、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的各项均为正数， $a_{2} > a_{1}$ ，记 $S_{n}$ 为 $\{a_{n}\}$ 的前n项和．

(1)、从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列 $\{a_{n}\}$ 是等差数列；②数列 $\{\frac{S_{n}}{a_{n}}\}$ 是等差数列；③ $a_{2} = 2 a_{1}$ ．

(2)、若 $a_{1} = 1$ ，在（1）的条件下，将在数列 $\{a_{2 n}\}$ 中，但不在数列 $\{2^{a_{n}}\}$ 中的项从小到大依次排列构成数列 $\{b_{n}\}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前20项和．

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15、在锐角 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $c = b sin \frac{A}{2} + a cos B$ ．

(1)、求A；

(2)、若D是边 $B C$ 上一点（不包括端点），且 $∠ A B D = ∠ B A D$ ，求 $\frac{C D}{B D}$ 的取值范围．

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16、在一个抽奖游戏中，主持人从编号为 $1, 2, 3, 4$ 的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，也就是主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开了另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率．现在已知甲选择了 $1$ 号箱，用 $A_{i}$ 表示 $i$ 号箱有奖品（ $i = 1, 2, 3, 4$ ），用 $B_{i}$ 表示主持人打开 $i$ 号箱子（ $i = 2, 3, 4$ ），则 $P (B_{3}| A_{1}) =$ ，若抽奖人更改了选择，则其中奖概率为．

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17、函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} a^{x}, x \leq 2 \\ a x^{2} - 13 x + 31, x > 2 \end{array}$ ，其中 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ，若函数是单调函数，则a的一个可能取值为．

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18、在 $(a x - 1) {(2 x - 1)}^{3}$ 的展开式中，若各项系数的和为 $0$ ，则 $x^{3}$ 的系数为．

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19、在正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} = \sqrt{2}$ ， $A B = 1$ ， E，F分别为 $A_{1} B_{1}$ ， $C D$ 的中点，点M是侧面 $A D D_{1} A_{1}$ 上一动点（含边界），则下列结论正确的是（）

A、 $E F$ ∥平面 $A D D_{1} A_{1}$ B、若 $∠ M A_{1} F = ∠ E A_{1} F$ ，则点M的轨迹为抛物线的一部分 C、以 $E F$ 为直径的球面与正四棱柱各棱共有16个公共点 D、以 $E F$ 为直径的球面与正四棱柱各侧面的交线总长度为 $2 \sqrt{2} π$

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20、已知函数 $f (x) = 2 (cos x + sin x) cos x - 1$ ，则（）

A、 $f (x) \geq f (\frac{5 π}{8})$ B、 $f (1) > f (2)$ C、 $f (\frac{π}{8} + x) + f (\frac{π}{8} - x) = 0$ D、 $\sum_{k = 1}^{2024} f (\frac{k π}{6}) = \sqrt{3}$

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