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相关试卷

1、已知随机事件A、B发生的概率分别为 $P (A) = \frac{1}{3} ， P (B) = \frac{1}{6}$ ，则下列说法不正确的是（）

A、若A与B互斥，则 $P (A \cup B) = \frac{1}{2}$ B、若A与B相互独立，则 $P (A \cup B) = \frac{4}{9}$ C、若 $P (\bar{A} B) = \frac{1}{9}$ ，则事件 $\bar{A}$ 与B相互独立 D、若 $B \subseteq A$ ，则 $P (A B) = \frac{1}{3}$

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2、为了解某高中甲､乙两个清北班一周内的请假同学人数情况，采用样本量比例分配分层随机抽样方法进行了调查.已知甲班调查了40名同学，其一周内请假人数的平均数和方差分别为5和1.65，乙班调查了60名同学，其一周内请假人数的平均数和方差分别为4和3.5，据此估计该校两个清北班一周内请假人数的总体方差为（）

A、2.6 B、3 C、3.4 D、4.1

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3、在空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，已知 $A (1, 2, - 2)$ ， $B (0, 1, 1)$ ，下列结论错误的是（）

A、 $\vec{A B} = (- 1, - 1, 3)$ B、点 $A$ 关于 $x O y$ 平面对称的点的坐标为 $(1, - 2, 2)$ C、若 $\vec{m} = (2, 1, 1)$ ，则 $\vec{m} ⊥ \vec{A B}$ D、若 $\vec{n} = (a, - 2, 6)$ ， $\vec{n} ∥ \vec{B A}$ ，则 $a = - 2$

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4、已知一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B如图所示.其中 $n (Ω) = 12, n (A) = 6, n (B) = 4, n (A \cup B) = 8$ ，则事件A与事件B（）

A、是互斥事件，不是独立事件 B、不是互斥事件，是独立事件 C、既是互斥事件，也是独立事件 D、既不是互斥事件，也不是独立事件

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5、一组数据按从小到大的顺序排列为1，4，4，x，7，8（其中 $x \neq 7$ ），若该组数据的中位数是众数 $\frac{5}{4}$ 倍，则该组数据的方差和60%分位数分别是（）

A、 $\frac{16}{5}$ ， 5 B、5，5 C、 $\frac{16}{3}$ ， 6 D、5，6

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6、对于三次函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d (a \neq 0)$ ，给出定义：设 $f^{'} (x)$ 是函数 $y = f (x)$ 的导数， $f^{″} (x)$ 是函数 $f^{'} (x)$ 的导数，若方程 $f^{″} (x) = 0$ 有实数解 $x_{0}$ ，则称点 $(x_{0}, f (x_{0}))$ 为函数 $y = f (x)$ 的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．给定函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{13}{12}$ ，请你根据上面的探究结果，解答以下问题：

(1)、求 $y = f (x)$ 的对称中心．

(2)、求 $a_{n} = f (\frac{1}{2 n}) + f (\frac{2}{2 n}) + f (\frac{3}{2 n}) + \cdot \cdot \cdot + f (\frac{2 n - 1}{2 n})$ ．

(3)、记数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，数列 $\{\frac{S_{n}}{a_{n} a_{n + 1}}\}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，若 $T_{n} \leq λ \cdot S_{n}$ 对 $n \in N_{+}$ 恒成立，求 $λ$ 的取值范围．

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7、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且 $f (x + 1)$ 为奇函数， $f (x + 2)$ 为偶函数，当 $x \in (0, 2]$ 时， $f (x) = x - 1$ ．则下列结论正确的是（）

A、 $f (2024) + f (2025) = - 1$ B、 $f (x)$ 在区间 $(6, 8)$ 上单调递增 C、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = 4$ 对称 D、函数 $y = f (x) - {log}_{8} x$ 有5个零点

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8、设 $a, b \in R$ ，则“ $(a - b) a^{2} < 0$ ”是“ $a < b$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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9、函数 $y = \sqrt{2 x - 3} + \frac{1}{x - 3}$ 的定义域为（）

A、 $[\frac{3}{2}, + \infty)$ B、 $(- \infty, 3) \cup (3, + \infty)$ C、 $[\frac{3}{2}, 3) \cup (3, + \infty)$ D、 $(3, + \infty)$

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10、已知直线l： $(a + 2) x + a y - 2 = 0$ 与n： $(a - 2) x + 3 y - 6 = 0$ ，下列选项正确的是（）

A、若 $l // n$ ，则 $a = 6$ 或 $a = - 1$ B、若 $l ⊥ n$ ，则 $a = 1$ C、直线l恒过点 $(1, - 1)$ D、若直线n在x轴上的截距为6，则直线n的斜截式为 $y = \frac{1}{3} x - 2$

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11、定义：一个平面封闭区域内任意两点之间的距离的最大值称为该区域的“直径”．在 $△ A B C$ 中， $B C = 1, B C$ 边上的高等于 $\tan A$ ，以 $△ A B C$ 的各边为直径向 $△ A B C$ 外分别作三个半圆，记三个半圆围成的平面区域为 $W$ ，其“直径”为 $d$ ，则（）

A、 $A B^{2} + A C^{2} = 3$ B、 $△ A B C$ 面积的最大值为 $\frac{\sqrt{5}}{4}$ C、当 $∠ A B C = \frac{π}{2}$ 时， $d = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ D、 $d$ 的最大值为 $\frac{\sqrt{6} + 1}{2}$

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12、球面与过球心的平面的交线叫做大圆，将球面上三点用三条大圆弧连接起来所组成的图形叫做球面三角形，每条大圆弧叫做球面三角形的一条边，两条边所在的半平面构成的二面角叫做球面三角形的一个内角.如图，球 $O$ 的半径 $R = \sqrt{3}$ ， $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 为球 $O$ 的球面上的四点.若球面三角形 $A B C$ 的三条边长均为 $\frac{\sqrt{3} π}{3}$ ，则此球面三角形一个内角的余弦值为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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13、已知函数 $f (x) = x^{2} - 1$ ， $g (x) = \{\begin{array}{l} x - 1, x > 0 \\ 2 - x, x < 0 \end{array}$ .

(1)、求 $f (g (2))$ 和 $g (f (2))$ 的值；

(2)、求 $g (x)$ 的值域；

(3)、求不等式 $f (g (x)) > 3$ 的解集.

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14、已知集合 $A = \{x| 2 < x < 6\}$ ，集合 $B = \{x| 2 m < x < 2 - m\}$ .

(1)、当 $m = - 1$ 时，求 $A \cup B$ ；

(2)、若 $A \cup B = B$ ，求实数m的取值范围.

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15、已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且 $x + y = 2$ ，则xy的最大值为.

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16、用列举法表示集合 $\{\frac{2}{x - 1} \in Z | x \in N\}$ = ．

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17、下列说法正确的有（）

A、已知 $f (x) = x^{2} + x - 1$ ，则 $f (x + 1) = x^{2} + 3 x + 1$ B、函数 $y = f (x)$ 的图象与直线 $x = 1$ 的交点最多有1个 C、函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} + 4, x \leq 0 \\ x - 4, x > 0 \end{array}$ ，则 $f [f (0)] = 4$ D、 $f (x) = x^{2} - 2 x$ 与 $g (t) = t^{2} - 2 t$ 是同一函数

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18、 $a = b$ 是 $a^{2} = b^{2}$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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19、函数 $f (x) = \sqrt{4 - x^{2}} + {(x - 1)}^{0}$ 的定义域为（）

A、 $[- 2, 2]$ B、 $[- 2, 1) \cup (1, 2]$ C、 $[- 1, 1]$ D、 $[- 2, - 1) \cup (1, 2]$

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20、命题“ $\forall x \in [- 1, 3]$ ， $- x^{2} + 3 x - 2 \leq 0$ ”的否定为（）

A、 $\forall x \in [- 1, 3]$ ， $- x^{2} + 3 x - 2 > 0$ B、 $\exists x \in [- 1, 3]$ ， $- x^{2} + 3 x - 2 \leq 0$ C、 $\exists x \in [- 1, 3]$ ， $- x^{2} + 3 x - 2 > 0$ D、 $\exists x \notin [- 1, 3]$ ， $- x^{2} + 3 x - 2 > 0$

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