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相关试卷

1、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2$ ， $P$ 为正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 内（包括边界）一动点， $F$ 为 $C C_{1}$ 的中点，则（）

A、三棱锥 $P - A B C$ 的体积为定值 B、存在点 $P$ ，使得 $C P ⊥ A_{1} B$ C、若 $A P = 3$ ，则 $\cos ∠ P A B$ 的最大值为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ D、满足 $B P ⊥ A F$ 的点 $P$ 的轨迹长度为 $\sqrt{2}$

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2、在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $\vec{A B} = (- 1, 1, 0), \vec{A D} = (- 1, 0, 1), \vec{A P} = (0, 0, 1)$ ，则这个四棱锥的高为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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3、已知 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，设向量 $\vec{m} = (a, b), \vec{n} = (cos A, cos B)$ ，若 $\vec{m}$ $∥$ $\vec{n}$ ，则 $△ A B C$ 是（）

A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等腰直角三角形 D、等边三角形

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4、已知 $f (x) = \{\begin{array}{l} |x + 1|, x \leq 0 \\ |\ln x|, x > 0 \end{array}$ ，若方程 $f (x) = a$ 有四个不同的解 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 、 $x_{3}$ 、 $x_{4}$ 且 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ，则 $x_{1} + x_{2} + \frac{1}{x_{3}} - \frac{1}{x_{4}}$ 的取值范围是．

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5、下列各项中， $f (x)$ 与 $g (x)$ 表示同一函数的是（　　）

A、 $f (x) = {(\sqrt{x})}^{2} ， g (x) = \sqrt{x^{2}}$ B、 $f (x) = \sqrt{4 - x^{2}} ， g (x) = \sqrt{2 + x} \cdot \sqrt{2 - x}$ C、 $f (x) = x^{2} ， g (t) = t^{2}$ D、 $f (x) = |x - 1| ， g (x) = \{\begin{array}{l} x - 1 ， & x \geq 1 \\ 1 - x ， & x < 1 \end{array}$

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6、在四棱锥 $P - A B C D$ 中，侧面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，四边形 $A B C D$ 为直角梯形， $A B ∥ C D$ ， $∠ A D C = 90 °$ ， $A D = A B = 2, D C = 4$ ， $△ P A D$ 为等边三角形，点 $E$ ， $F$ 分别为 $A D, A B$ 的中点．

(1)、证明： $B C ⊥$ 平面 $P E F$ ；

(2)、求平面 $P E F$ 与平面 $P C D$ 所成角的余弦值；

(3)、点 $M$ 为线段 $D C$ 上的动点，求直线 $P M$ 与平面 $P E F$ 所成角的正弦值的取值范围．

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7、已知在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $A (1, 0), B (5, 8)$ ，点 $P$ 满足 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} = - 16$ ，记点 $P$ 的轨迹为曲线 $C$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、若经过点 $(2, 1)$ 的直线 $l_{1}$ 与 $C$ 相交于点 $E, F$ ，且 $|E F| = 2 \sqrt{3}$ ，求直线 $l_{1}$ 的方程；

(3)、已知 $l_{2} : x + 2 y + 2 = 0$ .若直线 $l_{3}$ 经过点 $A$ 且与 $C$ 相交于 $P, Q$ 两点，线段 $P Q$ 的中点为 $M, l_{2}$ 与 $l_{3}$ 的交点为 $N$ ，证明： $|A M| \cdot |A N|$ 为定值，并求出该定值.

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8、甲、乙两名射击运动员在进行射击训练，已知甲命中10环，9环，8环的概率分别是 $\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}$ ，乙命中10环，9环，8环的概率分别是 $\frac{1}{6}, \frac{1}{3}, \frac{1}{2}$ ，任意两次射击相互独立．现在甲、乙两人进行射击比赛，每一轮比赛两人各射击一次，环数高于对方为胜，环数低于对方为负，环数相等为平局，规定连续胜利两轮的选手为最终的胜者，比赛结束，则

(1)、求在每轮比赛中甲获胜的概率；

(2)、求恰好进行3轮射击后，比赛结束的概率．

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9、如图，在四棱锥 $O - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为2的正方形， $O A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $O A = 2 ， M$ 为 $O A$ 的中点， $N$ 为 $B C$ 的中点，解答以下问题：

(1)、证明：直线 $M N //$ 平面 $O C D$ ；

(2)、求直线 $M N$ 与平面 $O C D$ 的距离．

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10、在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 4 ， A D = 3$ ， $A A_{1} = 5 ， ∠ B A A_{1} = ∠ D A A_{1} = 60^{\circ} ， ∠ B A D = 90^{\circ} ，$ 则 $A C_{1} =$

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11、直线 $l$ 过点 $(2, - 1)$ 且在两坐标轴的截距相等，则直线 $l$ 的方程为

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12、若以连续两次掷均匀骰子得到的点数 $m, n$ ，作为点 $P$ 的横、纵坐标，则点 $P (m, n)$ 在直线 $x + y = 6$ 上的概率为

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13、如图所示，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ ， $N$ 分别为棱 $C_{1} D_{1}$ ， $C_{1} C$ 的中点，则下列结论正确的是（　　）

A、直线 $A M$ 与平面 $A_{1} A D D_{1}$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ B、点 $D$ 到平面 $B M N$ 的距离为2 C、直线 $A_{1} M$ 与 $B N$ 是异面直线 D、平面 $B M N$ 截正方体所得的截面面积为 $\frac{9}{2}$

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14、下列说法正确的是（　　）

A、直线 $y = a x - 3 a + 2 (a \in R)$ 必过定点 $(3, 2)$ B、直线 $y = 3 x + 2$ 在 $x$ 轴上的截距为 $\frac{2}{3}$ C、经过点 $C (2, - 3)$ 且平行于过 $M (1, 2)$ 和点 $N (- 1, - 1)$ 两点的直线方程为 $3 x - 2 y - 12 = 0$ D、已知点 $M (1, 2), N (- 1, - 1)$ ，则线段 $M N$ 的中垂线方程为 $4 x + 6 y - 3 = 0$

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15、在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $\vec{A B} = (4 ， - 2 ， 3)$ ， $\vec{A D} = (- 4 ， 1 ， 0)$ ， $\vec{A P} = (- 3 ， 1 ， - 4)$ ，则这个四棱锥的高 $h$ 等于（　　）

A、26 B、13 C、2 D、1

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16、点 $P$ 在圆 $x^{2} + y^{2} = 25$ 上运动，它与点 $Q (4, 0)$ 所连线段中点为 $M$ ，则点 $M$ 轨迹方程为（）

A、 ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = \frac{25}{4}$ B、 ${(x + 2)}^{2} + y^{2} = \frac{25}{4}$ C、 ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = \frac{25}{2}$ D、 ${(x + 2)}^{2} + y^{2} = \frac{25}{2}$

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17、如图，在四面体 $A B C D$ 中， $E, F$ 分别为 $B C, A E$ 的中点， $G$ 为 $△ A C D$ 的重心，则 $\vec{F G} =$ （）

A、 $- \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{1}{12} \vec{A C} + \frac{1}{4} \vec{A D}$ B、 $- \frac{1}{4} \vec{A B} + \frac{1}{12} \vec{A C} + \frac{1}{3} \vec{A D}$ C、 $\frac{1}{4} \vec{A B} - \frac{1}{12} \vec{A C} + \frac{1}{3} \vec{A D}$ D、 $\frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{1}{12} \vec{A C} - \frac{1}{4} \vec{A D}$

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18、过点 $P (2, 1)$ 作圆 $C : x^{2} + y^{2} - 2 y - 3 = 0$ 的切线，则切线方程为（）

A、 $x - y - 1 = 0$ B、 $x - 2 y = 0$ C、 $x + 2 y - 4 = 0$ D、 $x - 2 = 0$

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19、如图，用K、A₁、A₂三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A₁、A₂至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K、A₁、A₂正常工作的概率依次是0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为

A、0.960 B、0.864 C、0.720 D、0.576

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20、已知实数 $x ， y$ 满足 $4 x - 3 y + 2 = 0$ ，则 $\sqrt{{(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2}}$ 的最小值是（　　）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、1 D、 $\frac{2}{5}$

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