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相关试卷

1、已知直线 $3 x + 4 y + 4 = 0$ 与圆 $M : x^{2} + y^{2} - 2 a x = 0 (a > 0)$ 相切，则圆 $M$ 和圆 $N : {(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ 的位置关系是（）

A、外离 B、外切 C、相交 D、内切

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2、已知 $f (x) = \frac{2^{x} - 1}{2^{x} + 1}$ ．

(1)、求证 $f (x)$ 为奇函数；

(2)、求 $f (x)$ 的值域；

(3)、若函数 $h (x) = f (x) + \frac{k}{2^{x} + 1}$ ，是否存在实数 $k$ ，使得对于区间 $[1 ， 2]$ 上任意三个实数 $r ， s ， t$ ，都存在以 $h (r) ， h (s) ， h (t)$ 为边长的三角形？若存在，求实数 $k$ 的取值范围；若不存在，请说明理由．

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3、人教A版高中数学必修一教材中指出：函数 $y = f (x)$ 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x)$ 为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $P (a, b)$ 成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x + a) - b$ 为奇函数．类比上述推广结论可知，函数 $y = f (x)$ 的图象关于 $y$ 轴成轴对称图形的充要条件是函数 $y = f (x)$ 为偶函数，同理可以将其推广为：函数 $y = f (x)$ 的图象关于 $x = a$ 成轴对称图形的充要条件是函数 $y = f (x + a)$ 为偶函数．

(1)、已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 x + (e^{x - 1} + e^{- x + 1})$ ，求证： $f (x)$ 为轴对称图形并求出其对称轴；

(2)、若函数 $g (x)$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称，且当 $x \geq 1$ 时， $g (x) = x^{2} - \frac{1}{x}$ ．
（i）求 $g (x)$ 的解析式，并写出 $g (x)$ 的单调区间（单调区间无需证明）；
（ii）求不等式 $g (x) > g (3 x - 1)$ 的解集．

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4、已知幂函数 $f (x) = (m^{2} - 3 m + 3) x^{m + 1}$ 在 $(- \infty ， 0)$ 上单调递减．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、解关于 $x$ 的不等式： $a f (x) + (1 - a) x - 1 < 0$ ．

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5、当前，机器人产业蓬勃发展，正极大改变着人类生产和生活方式，为经济社会发展注入强劲动能.某动力电池生产企业为提高产能，计划投入6300万元购买一批智能工业机器人，使用该批智能机器人后的前 $x (x \in N^{*})$ 年，设备维护成本共 $(700 x^{2} - 300 x)$ 万元.每年电池销售收入为6700万元，设使用该批智能机器人后，前x年的总盈利额为y万元.

(1)、写出y关于x的函数关系式，并指出x的取值范围；

(2)、使用若干年后，对该批智能机器人的处理方案有两种.
方案一：当总盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以2000万价格处理；
方案二：当年平均盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以4800万元的价格处理.问哪种方案更合理?并说明理由.

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6、化简求值：

(1)、 $\sqrt{\frac{25}{4}} - 4^{0} \times 2^{- 1} - {(\frac{8}{27})}^{- \frac{1}{3}} + {0.125}^{\frac{1}{3}}$ ；

(2)、已知 $10^{m} = 2, 10^{n} = 3$ ，求 $10^{\frac{3 m - 2 n}{2}}$ 的值；

(3)、已知 $a^{\frac{1}{2}} + a^{- \frac{1}{2}} = 5$ ，求 $a + a^{- 1}$ 的值．

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7、设函数 $y = f (x)$ 和 $y = f (- x)$ ，若两函数在区间 $[m ， n]$ 上的单调性相同，则把区间 $[m ， n]$ 叫做 $y = f (x)$ 的“稳定区间”．已知区间 $[1, 2025]$ 为函数 $y = |{(\frac{1}{2})}^{x} + a|$ 的“稳定区间”，则实数 $a$ 的取值范围为．

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8、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} a^{x} ， x < 0 \\ (a - 2) x + 3 a ， x \geq 0 \end{matrix}$ ，若 $f (x)$ 为 $R$ 上的减函数，则 $a$ 的取值范围为．

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9、若函数 $f (x) = (m + 1) x^{2} + (m - 1) x + 7$ 是定义在 $(- 2 n ， 3 n - 3)$ 上的偶函数，则 $m + n =$ ．

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10、已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x + y) = f (x) + f (y)$ ，当 $x > 0$ 时， $f (x) > 0 ， f (2) = 4$ ：则下列说法正确的有（）

A、 $f (1) = 2$ B、 $f (x)$ 为偶函数 C、 $f (x)$ 在 $R$ 上单调递增 D、当 $x < - 1$ 时， $f (x) - 2 > f (2 x)$

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11、若 $m, n$ 都为正实数，且 $m + n = 2$ ，则（）

A、 $m n$ 的最大值为1 B、 $m^{2} + n^{2}$ 的最大值为2 C、 $\frac{2}{m} + \frac{8}{n}$ 的最小值为9 D、 $n^{2} + 2 m \geq 3$

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12、下列关于幂函数 $f (x) = x^{a}$ 的描述中，正确的是（）

A、幂函数的图象经过第一象限 B、幂函数的图象都经过点 $(1, 1)$ C、当 $a > 0$ 时，幂函数 $f (x) = x^{a}$ 在 $R$ 上单调递增 D、幂函数 $f (x) = x^{a}$ 的定义域为 $R$

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13、若命题 $p ：$ “ $\exists x \in R, a x^{2} - a x \leq - 1$ ”是假命题，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[0, 4]$ B、 $[0, 4)$ C、 $(4, + \infty)$ D、 $(0.4)$

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14、若定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 在 $(- \infty, 0)$ 单调递减，且 $f (2) = 0$ ，则满足 $x f (x) \geq 0$ 的 $x$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 2] \cup [2, + \infty]$ B、 $(- \infty, - 2) \cup [0, 2]$ C、 $[- 2 ， 0) \cup (0, 2]$ D、 $[- 2, 2]$

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15、已知 $a = {1.1}^{\frac{3}{4}}$ ， $b = {1.2}^{\frac{3}{4}}$ ， $c = {1.2}^{\frac{4}{3}}$ ，则（）

A、 $b < a < c$ B、 $a < b < c$ C、 $a < c < b$ D、 $b < c < a$

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16、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $(- 2, 10)$ ，则函数 $f (3 x + 1)$ 的定义域为（）

A、 $(- 1, 3)$ B、 $(- 5, 31)$ C、 $(- 1, 31)$ D、 $(- 5, 3)$

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17、函数 $y = \sqrt{- x^{2} + 5 x - 4}$ 的单调递减区间是（）

A、 $[\frac{5}{2}, + \infty)$ B、 $[1, \frac{5}{2}]$ C、 $[\frac{5}{2}, 4]$ D、 $(- \infty, \frac{5}{2})$

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18、 $\sqrt[3]{{(3 - π)}^{3}} =$ （）

A、 $π - 3$ B、 $3 - π$ C、 $3 (π - 3)$ D、 $π + 3$

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19、已知集合 $A = \{x | - 3 \leq x \leq 1\}, B = \{x | | x | \leq 2\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x | - 3 \leq x \leq 2}$ B、 $\{x ∣ - 2 \leq x \leq 1\}$ C、 $\{x ∣ 0 \leq x \leq 1\}$ D、 $\{x ∣ 1 \leq x \leq 2\}$

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20、设梯形 $A B C D$ 的外接圆为 $⊙ M$ ，已知 $A B // C D$ ，且 $A (2, 0)$ ， $B (0, 2 \sqrt{3})$ ， $D (3, \sqrt{3})$ .

(1)、求 $⊙ M$ 的标准方程；

(2)、求梯形 $A B C D$ 的面积.

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