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相关试卷

1、如图，在梯形 $A B C D$ 中， $A B ∥ C D, A B = 2 C D$ ， $E, F$ 分别为 $A B, C E$ 的中点， $G$ 是线段 $B C$ 上的动点．

(1)、若 $\vec{C G} = \frac{1}{3} \vec{C B}$ ，求证： $A, F, G$ 三点共线；

(2)、若 $A D = C D = 1, ∠ D A B = \frac{π}{3}$ ，求 $\vec{A G} \cdot \vec{E G}$ 的最小值．

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2、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A D = 1, B C = 3, C D = 2, A C = \sqrt{5}, B C ⊥ P C,$ $P C = P D$ ，侧面 $P C D ⊥$ 平面 $A B C D$ ．

(1)、证明： $B C ⊥$ 平面 $P C D$ ；

(2)、证明： $B C / /$ 平面 $P A D$ ；

(3)、若直线 $B P$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正切值为 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ ，求三棱锥 $P - A B C$ 的体积．

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3、已知 $α$ 是第四象限角，且 $\tan α = - 2$ ，计算：
（1） $\frac{3 \sin (\frac{π}{2} - α)}{5 \sin (\frac{π}{2} + α) - \cos (\frac{π}{2} + α)}$ ；
（2） $\sin (π - α) \cdot \cos (π + α) + 3 \cos^{2} α$ .

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4、在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = \frac{π}{2}$ ， $A B = 2$ ， $A C = 1$ ，点 $D$ 为边 $B C$ 边上一动点，将 $△ A B D$ 沿着 $A D$ 翻折，使得点 $B$ 到达 $B^{'}$ ，且平面 $A B^{'} D ⊥$ 平面 $A C D$ ，则当 $B^{'} C$ 最小时， $C D$ 的长度为.

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5、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，异面直线 $B A_{1}$ 与 $D D_{1}$ 所成角的大小为.

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6、如图，在棱长为1的正方体 $A C_{1}$ 中， $P$ 是线段 $B_{1} D_{1}$ 上的动点（含端点），则（）

A、 $C P //$ 面 $A_{1} B D$ B、 $A_{1} P$ 与 $BC$ 是异面直线 C、 $A_{1} P + P D$ 的最小值为 $\sqrt{2 + \sqrt{2}}$ D、三棱锥 $P - A_{1} B D$ 的体积为定值

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7、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = 2$ ，则（）

A、 $|\vec{a} - \vec{b}|$ 的最大值是3 B、 $|\vec{a} + \vec{b}|$ 的最小值是0 C、 $|\vec{a} - \vec{b}| + |\vec{a} + \vec{b}|$ 的最大值是 $2 \sqrt{5}$ D、 $|\vec{a} - \vec{b}| + |\vec{a} + \vec{b}|$ 的最小值是4

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8、已知函数 $f (x) = {cos}^{2} x + 2 \sqrt{3} sin x cos x - {sin}^{2} x$ ，下列结论正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、函数 $f (x)$ 的图象对于点 $(\frac{5 π}{12}, 0)$ 对称 C、函数 $f (x)$ 在 $[0, \frac{π}{3}]$ 单调递增 D、函数在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的值域是 $[- 1, 2]$

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9、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c若 $a = \sqrt{10}$ ， $a^{2} + b^{2} - c^{2} = a b \sin C$ ， $a \cos B + b \sin A = c$ ，则下列结论不正确的是（）

A、 $\tan C = 2$ B、 $A = \frac{π}{4}$ C、 $△ A B C$ 的面积为6 D、 $b = \sqrt{2}$

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10、二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a > 0)$ 的图象与x轴相交于A，B两点，点C在二次函数图象上，且到 $x$ 轴距离为4， $∠ A C B = 90 °$ ，则a的值为（）

A、4 B、2 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{4}$

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11、在 $Δ A B C$ 中， $\cos A = \frac{1}{3}$ ， $A C = 3 A B$ ，则 $\sin C =$

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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12、一个圆台的上、下底面的半径分别为 $1$ 和 $4$ ，体积为 $28 π$ ，则它的表面积为（）

A、 $41 π$ B、 $42 π$ C、 $29 \sqrt{3} π$ D、 $(18 + 7 \sqrt{3}) π$

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13、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ ．已知 $4 b sin B = a sin A, tan \frac{A}{2} = \frac{\sqrt{15}}{3}$ ，则 $\frac{c}{b} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{3}{2}$

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14、已知 $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = 3$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $135 °$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为（）

A、 $\frac{4 \sqrt{5}}{5} \vec{b}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{3} \vec{b}$ C、 $- \frac{\sqrt{2}}{6} \vec{b}$ D、 $- \frac{4 \sqrt{5}}{5} \vec{b}$

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15、已知关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + b x + c \leq 0$ 的解集为 ${x | x \leq - 1$ 或 $x \geq 3}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a < 0$ B、 $a x + c < 0$ 的解集为 $\{x |x < 3\}$ C、 $8 a + 4 b + 3 c < 0$ D、 $c x^{2} + b x + a < 0$ 的解集为 $\{x |- 1 < x < \frac{1}{3}\}$

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16、锐角三角形 $A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c, a = \sqrt{3}$ 且 $2 c = 2 a cos B + b$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、求三角形 $A B C$ 周长的取值范围；

(3)、求三角形 $A B C$ 面积的最大值.

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17、已知各项均为正整数的数列 $\{a_{n}\}, \{b_{n}\}, \{c_{n}\}$ 满足 $c_{n + 1} = a_{n}, a_{n}^{2} = b_{n}^{2} + c_{n}^{2}, b_{n} > c_{n}$ .

(1)、若 $b_{2} = 3 b_{1} = 4 c_{1}$ ，求 $\frac{c_{3}}{a_{1}}$ ；

(2)、已知 $a_{1} = 5$ .
（i）求 $c_{4}$ ；
（ii）证明： $a_{n} - b_{n}$ 可以为定值，且当 $a_{n} - b_{n}$ 为定值时， $\frac{1}{b_{1} + 2} + \frac{1}{b_{2} + 2} + \dots \frac{1}{b_{n} + 2} < \frac{1}{4}$ .

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18、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ A C, G$ 为 $△ A B C$ 的重心， $A_{1} G ⊥$ 平面 $A B C, B C = 6$ ，记二面角 $A - B C - A_{1}$ 与 $A - B C - C_{1}$ 的大小分别为 $α, β$ .

(1)、当 $A A_{1} = 4$ 时， $A B = A C$ 时.
（i）证明： $A_{1} B = A_{1} C$ ；
（ii）求 $cos (β - α)$ ；

(2)、若 $β = 2 α$ ，求 $A A_{1}$ 的取值范围.

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19、已知函数 $f (x) = a^{x} + 4^{x} (a > 0)$ .

(1)、若 $a = \frac{1}{2}$ ，求 $f (x)$ 的最小值；

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增，求 $a$ 的取值范围.

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20、已知 $A, B$ 分别是 $x$ 轴， $y$ 轴上的动点， $|A B| = 1$ ，若点 $P$ 满足 $\vec{P B} = 2 \vec{P A}$ ，记 $P$ 的轨迹为 $Γ$ .

(1)、求 $Γ$ 的方程；

(2)、 $C$ 是 $Γ$ 上一点，若 $\vec{O C} \cdot \vec{O P} = - 2$ ，求直线 $A B$ 的方程.

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