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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = e^{x} ln a - a x (a > 1)$ ，若 $f (x) \geq 0$ 恒成立，则实数 $a$ 的值为（）

A、 $e$ B、 $\sqrt{e}$ C、 $e^{2}$ D、 $\frac{e^{2}}{2}$

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2、已知函数 $f (x) = e^{x} + a e^{- x}$ ，则下列说法正确的是（）

A、当 $a = 1$ 时，函数 $f (x)$ 为奇函数，且在 $(0, + \infty)$ 单调递增 B、当 $a = 1$ 时，函数 $f (x)$ 为偶函数，且在 $(0, + \infty)$ 单调递减 C、当 $a = - 1$ 时，函数 $f (x)$ 为奇函数，且在 $(0, + \infty)$ 单调递增 D、当 $a = - 1$ 时，函数 $f (x)$ 为偶函数，且在 $(0, + \infty)$ 单调递减

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3、如图，正方形 $A B C D$ 的边长为 $2 cm$ ，取正方形 $A B C D$ 各边的中点 $E$ ， $F$ ， $G$ ， $H$ ，作第2个正方形 $E F G H$ ，然后再取正方形 $E F G H$ 洛边的中点 $I$ ， $J$ ， $K$ ， $L$ ，作第3个正方形的 $I J K L$ ，依此方法一直继续下去.则前6个正方形面积和为（）

A、 $\frac{63}{32}$ B、 $\frac{31}{4}$ C、 $\frac{63}{8}$ D、8

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4、已知复数 $z$ 满足 $z i = 1 + 2 i$ （ $i$ 为虚数单位），则 $|z| =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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5、已知集合 $A = \{x |8 < 2^{x} < 500\}$ ， $B = \{1, 3, 5, 8, 10\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{3, 5, 8\}$ B、 $\{5, 8\}$ C、 $\{8, 10\}$ D、 $\{1, 3, 5\}$

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6、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的长轴长为 $2 \sqrt{3}$ ，左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，直线 $l : y =$ $p x + q$ 与 $C$ 交于P，Q两点，且满足 $\vec{O P} \cdot \vec{O Q} = 0$ （ $O$ 为坐标原点），当 $l$ 变化时， $△ P F_{1} F_{2}$ 面积的最大值为 $\frac{3}{2}$ ．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、证明： $q^{2} = p^{2} + 1$ ；

(3)、过点 $O$ 和线段PQ的中点作一条直线与 $C$ 交于R，S两点，求四边形PRQS面积的取值范围．

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7、已知四棱锥 $S - A B C D$ 中，二面角 $S - A D - B$ 为直二面角， $A D = \frac{4}{3} C D = 2 S D = 4 B C = 4$ ， $∠ B C D = ∠ A D C = ∠ A S D = 90 °$ ， M为棱 $D A$ 上一点.

(1)、证明： $S A ⊥ S C$ ；

(2)、若M为 $D A$ 中点，求二面角 $B - S C - M$ 的正弦值；

(3)、若 $B M //$ 平面 $S C D$ ，点N在平面 $S M B$ 上，若直线 $A N$ 与平面 $S C D$ 所成角为 $\frac{π}{6}$ ，求 $M N$ 的最小值.

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8、已知圆心为 $C$ 的圆经过点 $A (1, - 1)$ 和 $B (4, 2)$ ，且圆心 $C$ 在直线 $x - y + 1 = 0$ 上.

(1)、求圆 $C$ 的标准方程；

(2)、求圆 $C$ 过点 $P (- 2, 1)$ 的切线方程；

(3)、直线 $\sqrt{3} x + y + a - \sqrt{3} = 0$ 与圆 $C$ 相交于 $M$ 、 $N$ 两点，且 $∠ M C N = 120^{\circ}$ ，求实数 $a$ 的值.

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9、求解下面两个小题：

(1)、直线l经过点 $(- 1, 3)$ ，且在x轴上的截距为3，求l的方程；

(2)、直线l平行于直线 $l^{'} : x + y - 2 = 0$ ，且l与 $l^{'}$ 距离为 $2 \sqrt{2}$ ，求l的方程．

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10、已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过点 $F_{1}$ 作倾斜角为 $30^{\circ}$ 的直线l与C的左、右两支分别交于点P，Q，若 $(\frac{\vec{F_{2} P}}{|\vec{F_{2} P}|} + \frac{\vec{F_{2} Q}}{|\vec{F_{2} Q}|}) \cdot (\vec{F_{2} P} - \vec{F_{2} Q}) = 0$ ，则C的离心率为．

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11、已知一束光线从点 $(2，3)$ 射出，经y轴反射后，反射光线所在直线与直线 $4 y +2 x −3=0$ 垂直，则反射光线所在直线l的方程为．

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12、已知 $O$ 为空间中任意一点， $E, F, G$ 三点不共线，且 $\vec{O H} = \frac{1}{2} \vec{O E} + \frac{1}{4} \vec{O F} + t \vec{O G}$ ，若 $H, E, F, G$ 四点共面，则实数 $t =$ .

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13、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，且 $|F_{1} F_{2}| = 4$ ， A，P，B为双曲线上不同的三点，且A，B两点关于原点对称，直线 $P A$ 与 $P B$ 斜率的乘积为1，则（）

A、 $a = b = \sqrt{2}$ B、双曲线C的离心率为 $\sqrt{2}$ C、直线 $A B$ 倾斜角的取值范围为 $(\frac{π}{4}, \frac{3 π}{4})$ D、若 $\overset{⃑}{P F_{1}} \cdot \overset{⃑}{P F_{2}} = 0$ ，则三角形 $P F_{1} F_{2}$ 的面积为2

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14、在如图所示的试验装置中，正方形框架ABCD的边长为2，长方形框架ABEF的长 $B E = \frac{3}{2} A B$ ，且它们所在平面形成的二面角 $C - A B - E$ 的大小为 $\frac{π}{3}$ ，活动弹子M，N分别在对角线 $A C$ 和 $B F$ 上移动，且始终保持 $\frac{A M}{A C} = \frac{B N}{B F} = a (0 < a < 1)$ ，则 $M N$ 的长度最小时a的取值为（）

A、 $\frac{8}{23}$ B、 $\frac{6}{23}$ C、 $\frac{6}{15}$ D、 $\frac{2}{15}$

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15、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 作圆 $x^{2} + y^{2} = a^{2}$ 的切线，交双曲线右支于 $M$ ，若 $∠ F_{1} M F_{2} = \frac{π}{4}$ ，则 $C$ 的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \sqrt{3} x$ B、 $y = \pm \sqrt{2} x$ C、 $y = \pm 2 x$ D、 $y = \pm \sqrt{5} x$

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16、已知定点 $A (- 2, \sqrt{3})$ ，点 $F_{2}$ 为椭圆 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ 的右焦点，点M在椭圆上移动，求 $|A M| + |M F_{2}|$ 的最大值和最小值为（）

A、12， $2 \sqrt{7}$ B、 $10 + \sqrt{5}$ ， $10 - \sqrt{5}$ C、12，8 D、9， $2 \sqrt{7}$

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17、直线l的方向向量为 $\vec{m} = (1, 0, - 1)$ ，且l过点 $A (1, 1, 1)$ ，则点 $P (- 2, 4, 2)$ 到l的距离为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{11}$ D、 $\sqrt{6}$

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18、若方程 $\frac{x^{2}}{m + 4} - \frac{y^{2}}{m - 2} = 1$ 表示椭圆，则实数m的取值范围为（）

A、 $(- 2, 4)$ B、 $(- 4, 2)$ C、 $(- 4, - 1) \cup (- 1, 2)$ D、 $(- \infty, - 4) \cup (2, + \infty)$

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19、如果方程x²＋y²＋Dx＋Ey＋F＝0（D²＋E²－4F>0）所表示的曲线关于y＝x对称，则必有

A、D＝E B、D＝F C、F＝E D、D＝E＝F

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20、已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x) = \frac{5^{x} - a}{5^{x} + 1}$ 为奇函数.

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、若对 $\forall x \in [1, 16]$ ，使得 $f ({log}_{2} \frac{x}{2} \cdot {log}_{2} \frac{x}{4} - t) + f ({log}_{2} x) \leq 0$ 恒成立，求实数 $t$ 的取值范围；

(3)、若存在 $m$ ， $n$ ，使得函数 $f (x)$ 在区间 $[m, n]$ 上的值域为 $[k \cdot 5^{m}, k \cdot 5^{n}]$ ，求实数 $k$ 的取值范围.

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