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相关试卷

1、若复数 $z = a + b i (a, b \in R)$ 满足： $z + i \bar{z} = 2 + 2 i$ ，则 $a + b =$ （）

A、 $0$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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2、下列函数中，既是偶函数又在 $(0, + \infty)$ 上单调递减的为（）

A、 $y = x^{- 1}$ B、 $y = x^{- 4}$ C、 $y = ln x$ D、 $y = 2^{|x|}$

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3、 $△ A B C$ 中，内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ， $A = \frac{π}{3}$ ．

(1)、若 $b = 2$ ， $c = 3$ ．求证： $\frac{a}{tan A} + \frac{b}{sin B} = \sqrt{21}$ ；

(2)、若 $D$ 为 $B C$ 边的中点，且 $△ A B C$ 的面积为 $6 \sqrt{3}$ ，求 $A D$ 长的最小值．

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4、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足 $- \frac{2 a}{c} = 1 + \frac{\tan B}{\tan C}$

(1)、求角B的大小；

(2)、若 $b = 2 \sqrt{3}$ ， D为AC边上的一点， $B D = 1$ ，且BD是 $∠ B$ 的平分线，求 $△ A B C$ 的面积.

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5、某人参加一项抽奖游戏，盒中放有红、蓝、绿、黄四色小球各1个，参加游戏的人需有放回地从盒中连续摸两次，每次摸出1个小球，并记录小球的颜色（其中红色、黄色为暖色；蓝色、绿色为冷色）．设两次记录的颜色分别为α，b．奖励规则如下：①若两次记录的颜色中有红色，获得一等奖；②若两次记录的颜色中没有红色，但不全是冷色，获得二等奖；③其余情形获得鼓励奖．假设小球除颜色外其他都相同．

(1)、求此人获得一等奖的概率；

(2)、比较此人获得二等奖与获得鼓励奖的概率的大小，并说明理由．

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6、已知圆 $C$ 关于直线 $x - y + 1 = 0$ 对称的圆的方程 ${(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$ ，则圆 $C$ 的方程为.

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7、已知 $△ A B C$ 的三内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 满足 $16 \sin C \cos (A - B) + 8 \sin 2 C = 3 π$ ，则 $△ A B C$ 的面积与 $△ A B C$ 外接圆的面积之比为．

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8、下列四个命题为真命题的是（）．

A、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $a = \sqrt{3}$ ， $b = 2$ ， $A = θ$ ，要使满足条件的三角形有且只有两个，则 $θ \in (0, \frac{π}{6})$ B、若向量 $\vec{a} = (5, 0)$ ， $\vec{b} = (2, 1)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $(4, 2)$ C、已知向量 $\vec{a} = (\cos α, \sin α)$ ， $\vec{b} = (2, 1)$ ，则 $|\vec{a} - \vec{b}|$ 的最大值为 $\sqrt{5} + 1$ D、函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，若 $f (x + 1)$ 为偶函数， $f (x + 2)$ 为奇函数，则 $f (2024) = 0$

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9、如图， $P$ 为平行四边形 $A B C D$ 所在平面外一点， $Q$ 为 $P A$ 的中点， $O$ 为 $A C$ 与 $B D$ 的交点，下列说法正确的是（）

A、 $O Q //$ 平面 $P C D$ B、 $P C //$ 平面 $B D Q$ C、 $A Q //$ 平面 $P C D$ D、 $C D //$ 平面 $P A B$

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10、如图，在四边形ABCD中， $A B ⊥ B C$ ， $A D ⊥ D C$ 若， $| \vec{A B} | = a$ ， $| \vec{A D} | = b$ ，则 $\vec{A C} \cdot \vec{B D}$ 等于（）

A、 $b^{2} - a^{2}$ B、 $a^{2} - b^{2}$ C、 $a^{2} + b^{2}$ D、 $a^{2} \cdot b^{2}$

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11、若实数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 使得函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + c$ 的三个零点分别为椭圆、双曲线、抛物线的离心率 $e_{1}$ 、 $e_{2}$ 、 $e_{3}$ ，则 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 的一种可能取值依次为（）

A、 $\{\begin{cases} a = - 2 \\ b = - 1 \\ c = 2 \end{cases}$ B、 $\{\begin{cases} a = 2 \\ b = 0 \\ c = - 2 \end{cases}$ C、 $\{\begin{cases} a = - \frac{7}{2} \\ b = \frac{7}{2} \\ c = - 1 \end{cases}$ D、 $\{\begin{cases} a = - 1 \\ b = \frac{7}{2} \\ c = - \frac{7}{2} \end{cases}$

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12、与直线 $x - y - 4 = 0$ 和圆 ${(x + 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 2$ 都相切的半径最小的圆的方程是（）

A、 ${(x + 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 2$ B、 ${(x + 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 4$ C、 ${(x - 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 2$ D、 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$

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13、如图， $P 为$ 平行四边形 $A B C D$ 所在平面外一点， $E$ 为 $A D$ 的中点， $F$ 为 $P C$ 上一点，当 $P A / /$ 平面 $E B F$ 时， $\frac{P F}{F C} =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{1}{2}$

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14、已知复数z满足 $(1 - i) z = - 2 i$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $1 - i$ B、 $1 + i$ C、 $- 1 + i$ D、 $- 1 - i$

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15、为提高学生学习数学的热情，实验中学举行高二数学竞赛，以下数据为参加数学竞赛决赛的10人的成绩：（单位：分）78，70，72，86，79，80，81，84，56，83，则这10人成绩的第80百分位数是（）

A、83 B、83.5 C、84 D、70

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16、珠算是以算盘为工具进行数字计算的一种方法，2013年年底联合国教科文组织将中国珠算项目列入人类非物质文化遗产名录．算盘的每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面的两颗珠叫“上珠”，下面的5颗叫“下珠”，从最右边两档的14颗算珠中任取1颗，则这一颗是上珠的概率为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{2}{7}$ D、 $\frac{1}{5}$

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17、已知向量 $\vec{m} = (2, - 1)$ ， $\vec{n} = (- 1, 3)$ ，则 $\vec{m} \cdot (\vec{m} - \vec{n})$ =（）

A、8 B、10 C、12 D、16

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18、如果 $a < b < 0$ ，那么下列式子中一定成立的是（）

A、 $a^{2} < b^{2}$ B、 $a^{2} < a b$ C、 $\frac{b}{a} < 1$ D、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$

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19、设函数 $f (x) = a x^{2} + (1 - a) x + a - 2 (a \in R) ．$

(1)、若关于x的不等式f（x）≤0的解集为[0，b]，求实数a，b的值；

(2)、若不等式 $f (x) \geq - 2$ 对于实数a∈[-1，2]恒成立，求x的取值范围；

(3)、解关于x的不等式：f（x）＜a-1．

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20、如图甲，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2 A D = 2 \sqrt{2}, E$ 为线段 $D C$ 的中点， $△ A D E$ 沿直线 $A E$ 折起，使得 $D C = \sqrt{6}$ ，如图乙.

(1)、求证： $B E ⊥$ 平面 $A D E$ ；

(2)、线段 $A B$ 上是否存在一点 $H$ ，使得平面 $A D E$ 与平面 $D H C$ 所成的角为 $\frac{π}{4}$ ？若不存在，说明理由；若存在，求出 $H$ 点的位置.

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