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相关试卷

1、“黄梅时节家家雨，青草池塘处处蛙”，黄梅时节就是梅雨季节，每年6月至7月会出现持续天阴有雨的天气，它是一种自然气候现象．根据历史数据统计，长江中下游某地区在黄梅时节每天下雨的概率为 $\frac{4}{5}$ ．假设每天是否下雨互不影响，则该地区黄梅时节连续三天中至少有两天下雨的概率为（）

A、 $\frac{48}{125}$ B、 $\frac{112}{125}$ C、 $\frac{64}{125}$ D、 $\frac{124}{125}$

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2、已知函数 $f (x) = A \cos (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, - \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，将 $f (x)$ 图象上的所有点向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度得到的函数表达式可以是（）

A、 $y = 2 cos 3 x$ B、 $y = - 2 cos 3 x$ C、 $y = 2 \sin 3 x$ D、 $y = - 2 \sin 3 x$

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3、“体育强则中国强，国运兴则体育兴”．为备战 $2025$ 年成都世界运动会，已知某运动员某次特训的成绩分别为 $4, 8, 9, 3, 3, 5, 7, 9$ ，则下列说法错误的是（）

A、这组数据的极差为 $6$ B、这组数据的众数为 $3$ C、这组数据的平均数为 $6$ D、这组数据的方差为 $\frac{23}{4}$

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4、已知向量 $\vec{a} = (1, m)$ ， $\vec{b} = (m, 4)$ ，若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $m =$ （）

A、 $- 2$ B、 $2$ C、 $\pm 2$ D、 $\pm \frac{1}{2}$

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5、设复数 $z = \frac{1 + i^{2025}}{1 - i}$ （ $i$ 为虚数单位），则复数 $z$ 的虚部是（）

A、 $1$ B、 $- 1$ C、 $i$ D、 $- i$

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6、已知函数 $f (x) = {log}_{2} \frac{x - a}{x + 1}$ 为奇函数，且不为常函数.

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、若 $g (x) = f (x) - {log}_{2} (x - a)$ ，用定义法证明： $g (x)$ 在 $(1, + \infty)$ 上单调递减；

(3)、若（2）中的 $g (x)$ 对 $\forall x \in [7, 9]$ ，不等式 $g (x) < x + m$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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7、已知圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} + 4 x - 4 y - 1 = 0$ 与圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} - 2 x + 2 y - 7 = 0$ 相交于两点A，B，则AB的直线方程为．

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8、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 3 |\vec{b}| = 3$ ，且 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ 在 $\vec{a} - \vec{b}$ 上的投影向量为 $\frac{1}{2} (\vec{a} - \vec{b})$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ = ．

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9、已知点 $A (2, 0)$ ， $B (0, 2)$ ， $P (m, n)$ 在曲线 $x = \sqrt{1 - y^{2}}$ 上，记 $∠ A P B = α$ ，则存在函数 $f (x)$ ，对曲线上任意一点P都有（）

A、 $m = f (α)$ B、 $α = f (m)$ C、 $n = f (α)$ D、 $α = f (n)$

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10、如图，已知椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 的左、右顶点为 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ，上、下顶点为 $B_{1}$ ， $B_{2}$ ．记四边形 $A_{1} B_{1} A_{2} B_{2}$ 的内切圆为 $C_{2}$ ．

(1)、求圆 $C_{2}$ 的标准方程；

(2)、已知椭圆 $C_{1}$ 的右焦点为 $F$ ，若 $C_{1}$ 上两点 $A$ ， $B$ 满足 $x_{A} + x_{B} = \frac{2 \sqrt{3}}{3} (x_{A} \neq x_{B})$ ，且 $F A ⊥ F B$ ．求证：以 $A B$ 为直径的圆恒过异于点 $F$ 的一个定点；

(3)、若 $P$ 为椭圆 $C_{1}$ 上任意一点，过点 $P$ 作圆 $C_{2}$ 的切线分别交椭圆 $C_{1}$ 于 $M$ ， $N$ 两点，则求三角形 $P M N$ 面积的最小值．

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11、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面 $A B C D$ 是正方形， $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P D = A D = 4$ ．已知 $E$ ， $F$ 分别为 $P A$ ， $P C$ 的中点，平面 $D E F$ 与棱 $P B$ 交于点 $G$ ．

(1)、求证： $D E ⊥$ 平面 $P A B$ ；

(2)、求平面 $C D G$ 与平面 $A B C D$ 的夹角的正弦值；

(3)、判断线段 $E F$ 上是否存在一点 $H$ ，使得点 $H$ 到平面 $C D G$ 的距离为 $\frac{\sqrt{5}}{10}$ ？若存在，请求出点 $H$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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12、如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $P (2, 2)$ ，圆 $O : x^{2} + y^{2} = 4$ 与 $x$ 轴的正半轴的交于点 $Q$ ，过点 $P$ 的直线 $l$ 与圆 $O$ 交不同的两点 $A$ ， $B$ ．

(1)、若直线 $l$ 与 $y$ 轴交于点 $D$ ，且 $\vec{D P} \cdot \vec{D Q} = 12$ ，求直线 $l$ 的方程；

(2)、设直线 $Q A$ ， $Q B$ 的斜率分别是 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，证明： $k_{1} + k_{2}$ 为定值．

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13、如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 5$ ， $A D = 3$ ， $A A_{1} = 4$ ， $∠ D A B = 90 °$ ， $∠ B A A_{1} = ∠ D A A_{1} = 60 °$ ， $E$ 是 $C C_{1}$ 的中点，设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ， $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ．

(1)、求 $A E$ 的长；

(2)、求 $A E$ 和 $C D$ 夹角的余弦值．

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14、根据下列条件求椭圆的标准方程．

(1)、椭圆的焦点在 $x$ 轴上，过点 $C (\sqrt{7}, \frac{3}{2})$ ，离心率 $e = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ；

(2)、椭圆的一个焦点 $F (1, 0)$ ，过点 $D (\frac{2 \sqrt{6}}{3}, 1)$ ；

(3)、椭圆过 $A (- \sqrt{2}, 1)$ ， $B (1, \frac{\sqrt{6}}{2})$ 两点．

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15、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{24} = 1 (a > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ， $M$ 是 $C$ 上位于第一象限内的一点，且 $sin ∠ F_{1} M F_{2} = \frac{7}{a}$ .过原点 $O$ 作平行于 $M F_{2}$ 的直线 $l$ ， $l$ 与 $M F_{1}$ 和 $∠ F_{1} M F_{2}$ 的角平分线分别交于 $A, B$ 两点，且 $|A B| = \frac{2}{3} |M F_{2}|$ ，则实数 $a$ 的值为．

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16、若直线 $y = k (x - 2) + 6$ 与曲线 $y = 2 + \sqrt{4 - x^{2}}$ 有一个交点，则实数 $k$ 的取值范围是．

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17、设直线 $l$ 与椭圆 $E : \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{25} = 1$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，且 $A B$ 的中点为 $(- 1, 1)$ ，则直线 $l$ 的斜率为．

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18、已知点 $A (- 1, 0)$ ，点 $B (2, 0)$ ， $P$ 是圆 $O : x^{2} + y^{2} = 49$ 上的一个动点，则下列结论正确的是（）

A、过点 $B$ 且被圆 $O$ 截得最短弦长的直线方程为 $y = 0$ B、直线 $x - m y + 4 m - 3 = 0$ 与圆 $O$ 总有两个交点 C、过点 $A$ 作两条互相垂直的直线，分别交圆 $O$ 于点 $E$ ， $G$ 和 $F$ ， $H$ ，则四边形 $E F G H$ 的面积的最大值为97 D、 $△ P A B$ 的外接圆的半径最小值为 $\frac{51}{14}$

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19、已知曲线 $C : \frac{x^{2}}{k} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ ， $P$ 是曲线 $C$ 上的动点，则下列结论正确的是（）

A、当 $k = 4$ 时，曲线 $C$ 表示的图形是圆 B、若曲线 $C$ 表示焦点在 $x$ 轴上的椭圆，且离心率 $e = \frac{1}{2}$ ，则 $k = \frac{16}{3}$ 或 $k = 3$ C、当 $k = 16$ 且 $∠ F_{1} P F_{2} = 60 °$ 时， $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ D、当 $k = 16$ 时，存在点 $P$ 使得 $∠ F_{1} P F_{2} = 90 °$

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20、下列说法错误的是（）

A、若 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 是空间任意四点，则有 $\vec{A B} + \vec{B C} + \vec{C D} + \vec{A D} = \vec{0}$ B、若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则存在唯一的实数 $λ$ ，使得 $\vec{a} = λ \vec{b}$ C、若 $\vec{A B}$ ， $\vec{C D}$ 共线，则 $A B // C D$ D、对空间任意一点 $O$ 与不共线的三点 $A$ ， $B$ ， $C$ ，若 $\vec{O P} = x \vec{O A} + y \vec{O B} + z \vec{O C}$ （其中 $x, y, z \in R$ ）且 $x + y + z = 1$ ，则 $P$ ， $A$ ， $B$ ， $C$ 四点共面

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