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相关试卷

1、切比雪夫多项式 $T_{n} (t)$ （ $t \in [- 1, 1]$ ）满足 $T_{n} (\cos x) = \cos n x$ ，其中 $n \in N^{*}$ ， $x \in R$ ．例如 $T_{1} (t) = t$ ， $T_{2} (t) = 2 t^{2} - 1$ ．关于 $T_{2025} (t)$ ，下列说法正确的有（）

A、 $T_{2025} (t)$ 的值域是 $[- 1, 1]$ B、 $T_{2025} (t)$ 为偶函数 C、 $T_{2025} (t)$ 有2025个零点 D、 $T_{2025} (\sin x) = \sin 2025 x$

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2、已知正数 $x$ ， $y$ 满足 $x^{2} + y^{2} = 1$ ，则（）

A、 $3 x + 4 y$ 的最大值为5 B、 ${(x + 3)}^{2} + {(y + 4)}^{2}$ 的最大值为36 C、 $\frac{y}{x - 2}$ 的最小值为 $- \sqrt{3}$ D、 $\frac{1}{x} - y$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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3、设函数 $f (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ ， $g (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 与 $g (x)$ 有相同的奇偶性 B、 $f (2 x) = 2 {[f (x)]}^{2} - 1$ C、 $g (2 x) = 2 f (x) g (x)$ D、 ${[f (x)]}^{2} - {[g (x)]}^{2} = 1$

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4、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A (- 1, 0)$ ， $B (1, 0)$ ，动点 $P$ 满足 $|P A| \cdot |P B| = 1$ ，则 $P$ 的纵坐标的最大值为（）

A、 $\sqrt{5} - 2$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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5、在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $∠ B A D = 90 °$ ， $∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A D = 60 °$ ， $A B = A D = 1$ ， $A A_{1} = 2$ ，则 $A C_{1} =$ （）

A、 $\sqrt{6}$ B、3 C、 $\sqrt{10}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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6、设 $F_{1}$ 为椭圆 $E$ 的左焦点， $P$ 为 $E$ 上一动点，则线段 $P F_{1}$ 的中点的轨迹是（）

A、一个椭圆，其离心率与 $E$ 的离心率相同 B、一个椭圆，其离心率与 $E$ 的离心率不同 C、一个圆，其直径与 $E$ 的长半轴长相等 D、一个圆，其直径与 $E$ 的短半轴长相等

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7、下列多面体，一定有外接球的是（）

A、三棱锥 B、四棱锥 C、三棱柱 D、三棱台

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8、已知直线 $a$ ， $b$ 异面，则对空间任意一点 $P$ ，都存在过 $P$ 且与 $a$ ， $b$ （）

A、都平行的直线 B、都垂直的直线 C、都平行的平面 D、都垂直的平面

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9、函数 $f (x) = x \ln x - 1$ 的零点所在区间为（）

A、（0，1） B、（1，2） C、（2，3） D、（3，4）

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10、样本：80，90，100，100，110，120的中位数是（）

A、95 B、100 C、105 D、110

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11、直线 $2 x + 2 y - 5 = 0$ 的倾斜角是（）

A、45° B、60° C、120° D、135°

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12、如图， $A B$ 是圆O的直径， $A D$ 垂直于圆O所在的平面， $A B = 2 \sqrt{3}$ ， $A D = 2$ ，点C是圆O上不同于 $A, B$ 的任意一点，E为 $B D$ 的中点．

(1)、证明： $B C ⊥$ 平面 $A C D$ ；

(2)、若直线 $B D$ 与平面 $A C D$ 所成的角为 $30 °$ ，求二面角 $O - C E - B$ 的余弦值；

(3)、若点 $P$ 为圆O（含圆周）内任意一点，它到点 $A$ 的距离与到直线 $B D$ 的距离相等，求三棱锥 $P - A B D$ 体积的取值范围．

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13、在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A B ⊥ A C$ ， $A P = A B = 2$ ， $A C = 4$ ， $D$ 是 $A C$ 的中点， $E$ 是线段 $B C$ 上的一点，且 $A E = \sqrt{5}$ .

(1)、求证： $D E / /$ 平面 $P A B$ ；

(2)、求点 $C$ 到平面 $P D E$ 的距离.

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14、在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $2 \sqrt{3} a c \sin B = (a + b + c) (a + b - c)$ .

(1)、求角C的大小；

(2)、若 $a + b = 7$ ， $△ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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15、甲、乙、丙三位同学进行乒乓球比赛，约定赛制如下：比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空，每局比赛的胜者与轮空者进行下一局比赛，负者下一局轮空，直至一人累计胜两局，此人最终获胜，比赛结束.已知每局比赛甲胜乙的概率为 $\frac{2}{3}$ ，甲胜丙的概率为 $\frac{1}{2}$ ，乙胜丙的概率为 $\frac{1}{3}$ ，每局比赛没有平局，且比赛结果相互独立.

(1)、若甲、乙首先比赛，求甲最终获胜的概率；

(2)、求乙最终获胜的概率.

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16、已知向量 $\vec{a} = (sin x, cos x - sin x)$ ， $\vec{b} = (2 \sqrt{3} cos x, cos x + sin x)$ ，函数 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最小值

(2)、若对任意的 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ ， ${[f (x)]}^{2} - 2 f (x) - a = 0$ 都有解，求实数a的取值范围

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17、在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 60 ° ， B C = 1 ，$ 点D为 $A B$ 的中点，点 E 为 $C D$ 上一点，且满足 $\vec{A E} = m \vec{A C} + \frac{1}{4} \vec{A B}, \vec{C F} = 2 \vec{F B}$ ，则 $\vec{A E} \cdot \vec{A F}$ 的最大值为.

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18、用铁水灌注上、下底面的边长分别为 $2 cm$ 和 $6 cm$ 的正四棱台工件，若其侧面梯形的高为 $2 \sqrt{3} cm$ ，则所需铁水的体积为．（灌注过程中铁水无额外损耗）

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19、在4件产品中，有一等品2件，二等品1件（一等品和二等品都是正品)，次品1件，现从中取出2件产品.记事件A为：“2件都是一等品”，事件B为：“1件一等品1件二等品”，事件C为：“1件次品1件正品”，事件D为：“至少有1件是一等品”，则下列结论中不成立的是（）

A、事件 $A, B$ 为互斥事件 B、事件 $A, B$ 为相互独立事件 C、 $P (C) = \frac{1}{6}$ D、 $P (D) = P (A) + P (B) + P (C)$

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20、已知菱形 $A B C D$ 的各边长为 $2, ∠ D = 60^{\circ}$ .如图所示，将 $△ A C D$ 沿 $A C$ 折起，使得点 $D$ 到达点 $S$ 的位置，连接 $S B$ ，得到三棱锥 $S - A B C$ ，此时 $S B = 3$ ， $E$ 是线段 $S A$ 的中点，点 $F$ 在三棱锥 $S - A B C$ 的外接球上运动，且始终保持 $E F ⊥ A C$ ，则点 $F$ 的轨迹的周长为（）

A、 $\frac{5 \sqrt{2}}{3} π$ B、 $\frac{4 \sqrt{5}}{3} π$ C、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3} π$ D、 $\frac{5 \sqrt{3}}{3} π$

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