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相关试卷

1、重庆、武汉、南京并称为三大“火炉”城市，而重庆比武汉、南京更厉害，堪称三大“火炉”之首.某人在歌乐山修建了一座避暑山庄 $O$ （如图）.为吸引游客，准备在门前两条夹角为 $\frac{π}{6}$ （即 $∠ A O B$ ）的小路之间修建一处弓形花园，使之有着类似“冰淇淋”般的凉爽感，已知弓形花园的弦长 $|A B| = 2 \sqrt{3}$ 且点 $A$ ， $B$ 落在小路上，记弓形花园的顶点为 $M$ ，且 $∠ M A B = ∠ M B A = \frac{π}{6}$ ，设 $∠ O B A = θ$ .

（1）将 $O A$ ， $O B$ 用含有 $θ$ 的关系式表示出来；
（2）该山庄准备在 $M$ 点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何规划花园（即 $O A$ ， $O B$ 长度），才使得喷泉 $M$ 与山庄 $O$ 距离即值 $|O M|$ 最大？

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2、在直角梯形 $A B C D$ 中，已知 $A B / / C D$ ， $∠ D A B = 90^{°}$ ， $A B = 4$ ， $A D = C D = 2$ ，对角线 $A C$ 交 $B D$ 于点 $O$ ，点 $M$ 在 $A B$ 上，且满足 $O M ⊥ B D$ .
(1)求 $\overset{⇀}{A M} \cdot \overset{⇀}{B D}$ 的值；
(2)若 $N$ 为线段 $A C$ 上任意一点，求 $\overset{⇀}{A N} \cdot \overset{⇀}{M N}$ 的最小值.

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3、已知i为虚数单位，实数m为何值时，复数 $z = (m^{2} - 8 m + 15) + (m^{2} + 3 m - 28) i$ 在复平面内对应的点：
（1）位于第四象限?
（2）在实轴负半轴上?
（3）位于上半平面(含实轴)?

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4、某同学在解题中发现，以下三个式子的值都等于同一个常数（ $i$ 是虚数单位）．
① $\frac{2 + i}{1 - 2 i}$ ；② $\frac{- 4 + 3 i}{3 + 4 i}$ ；③ $\frac{- 1 - i}{- 1 + i}$ ．
从三个式子中选择一个，求出这个常数为；根据三个式子的结构特征及计算结果，将该同学的发现推广为一个复数恒等式．

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5、若 ${(1 + i)}^{n} = {(1 - i)}^{n}$ ，则n可以是（）

A、102 B、104 C、106 D、108

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6、(多选题)对如图中的组合体的结构特征有以下几种说法，其中说法正确的是( )

A、由一个长方体割去一个四棱柱所构成的 B、由一个长方体与两个四棱柱组合而成的 C、由一个长方体挖去一个四棱台所构成的 D、由一个长方体与两个四棱台组合而成的

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7、如图，圆锥的母线 $A B$ 长为 $2$ ，底面圆的半径为 $r$ ，若一只蚂蚁从圆锥的点 $B$ 出发，沿表面爬到 $A C$ 的中点 $D$ 处，则其爬行的最短路线长为 $\sqrt{5}$ ，则圆锥的底面圆的半径为（）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $\frac{3}{2}$

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8、从一个底面圆半径与高均为2的圆柱中挖去一个正四棱锥（以圆柱的上底面为正四棱锥底面的外接圆，下底面圆心为顶点）而得到的几何体如图所示，今用一个平行于底面且距底面为1的平面去截这个几何体，则截面图形的面积为（）

A、 $4 π - 4$ B、 $4 π$ C、 $4 π - 2$ D、 $2 π - 2$

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9、在 $△ A B C$ 中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若 $(a + b + c) (b + c - a) = 3 b c$ ，且 $\sin A = 2 \sin B \cos C$ ，则此三角形的形状是

A、直角三角形 B、正三角形 C、腰和底边不等的等腰三角形 D、等腰直角三角形

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10、已知点 $A (1, 3), B (4, - 1)$ ，则与 $\vec{A B}$ 同方向的单位向量为（）

A、 $(\frac{3}{5}, - \frac{4}{5})$ B、 $(3, - 4)$ C、 $(- \frac{3}{5}, \frac{4}{5})$ D、 $(- 3, 4)$

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11、下面的几何体中是棱柱的有（）

A、3个 B、4个 C、5个 D、6个

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12、若复数 $z$ 满足 $2 z + \bar{z} = 3 - 2 i$ 其中 $i$ 为虚数单位，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $1 + 2 i$ B、 $1 - 2 i$ C、 $- 1 + 2 i$ D、 $- 1 - 2 i$

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13、一个综艺节目中，3名主持人与33位参与者随机站成一个圆圈，则参与者连续站在一起的人数不超过13人的概率是.

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14、甲、乙、丙、丁、戊五人完成A，B，C，D，E五项任务所获得的效益如下表：

$A$
$B$
$C$
$D$
$E$
甲
10
12
9
12
10
乙
24
25
23
22
22
丙
9
13
14
12
10
丁
6
8
10
8
10
戊
13
15
14
15
11
现每项任务指派一人完成，其中甲不承担C任务，丁不承担A任务的指派方法数有种；效益之和的最大值是．

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15、已知函数 $f (x)$ ， $x \in [- a, a]$ 的图象是一条连续不断的曲线，设其导数为 $f^{'} (x)$ ，函数 $g (x) = (x^{2} - x) f^{'} (x)$ 的图象如下，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 在 $x = - 1$ 处取最大值 B、 $x = 1$ 是 $f (x)$ 的极大值点 C、 $f (x)$ 没有极小值点 D、 $x = 1$ 可能不是导函数 $f^{'} (x)$ 的极大值点

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16、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} \cos^{2} \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \sin^{2} \frac{x}{2} + \sqrt{3} \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$

(1)、将函数 $f (x)$ 化简成 $A \sin (ω x + φ)$ 的形式，并求出函数的最小正周期；

(2)、将函数 $f (x)$ 的图象各点的横坐标缩小为原来的 $\frac{1}{2}$ （纵坐标不变），再向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，得到函数 $y = g (x)$ 的图象.若方程 $2 g (x) - m = 1$ 在 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ 上有两个不同的解 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，求实数 $m$ 的取值范围，并求 $\tan (x_{1} + x_{2})$ 的值.

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17、已知向量 $\overset{⃑}{a} = (\cos x, \sqrt{3})$ ， $\overset{⃑}{b} = (1, \sin x)$ ，函数 $f (x) = \overset{⃑}{a} \cdot \overset{⃑}{b} + 1$ ．
（1）求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；
（2）若 $g (x) = f (2 x - \frac{π}{3})$ ， $x \in [- \frac{π}{3}, \frac{π}{4}]$ 时，求函数 $g (x)$ 的最值．

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18、已知 $f (α) = \frac{\sin (π + α) \cos (2 π - α) \tan (2 π - α)}{\tan (- α - π) \cos (- \frac{3 π}{2} - α)}$ ．
（1）化简： $f (α)$ ；
（2）在 $△ A B C$ 中，内角A、B、C所对的边长分别是a、b、c，若 $c = 2$ ， $f (C) = - \frac{1}{2}$ ，且 $△ A B C$ 的面积 $S = \sqrt{3}$ ，求a、b的值．

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19、已知 $A (4, 0), B (0, 4), C (cos α, sin α), (0 < α < π)$ ．

(1)、若 $|\vec{O A} + \vec{O C}| = \sqrt{21}$ （ $O$ 为坐标原点），求 $\vec{O B}$ 与 $\vec{O C}$ 的夹角；

(2)、若 $\vec{A C} ⊥ \vec{B C}$ ，求 $sin α - cos α, {sin}^{3} α + {cos}^{3} α$ 的值．

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20、已知向量 $\vec{a} = (1, 2), \vec{b} = (t, - 1), \vec{c} = (- 3, 1)$ ．

(1)、若 $(\vec{a} + \vec{b})$ ∥ $(2 \vec{a} - \vec{c})$ ，求实数t的值；

(2)、若 $\vec{a} ⊥ (\vec{b} + \vec{c})$ ，求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角的余弦值．

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	$A$	$B$	$C$	$D$	$E$
甲	10	12	9	12	10
乙	24	25	23	22	22
丙	9	13	14	12	10
丁	6	8	10	8	10
戊	13	15	14	15	11

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甲	10	12	9	12	10
乙	24	25	23	22	22
丙	9	13	14	12	10
丁	6	8	10	8	10
戊	13	15	14	15	11

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