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相关试卷

1、已知集合 $A = \{x |x^{2} \leq 1\}, B = \{- 3, - 1, 0, 2, 4\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 1, 0\}$ B、 $\{2, 4\}$ C、 $\{- 3, - 1, 0\}$ D、 $\{- 1, 0, 2\}$

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2、已知在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，记其面积为 $S$ ，则有 $4 S = a^{2} + b^{2} - c^{2}$

(1)、求 $C$ ；

(2)、若 $c = \sqrt{2}$ ，求 $S$ 的最大值．

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3、设 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是不共线的两个非零向量．

(1)、若 $\vec{O A} = 2 \vec{a} - \vec{b}$ ， $\vec{O B} = 3 \vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{a} - 3 \vec{b}$ ，求证： $A$ ， $B$ ， $C$ 三点共线；

(2)、若 $\vec{A B} = \vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{B C} = 2 \vec{a} - 3 \vec{b}$ ， $\vec{C D} = 2 \vec{a} - k \vec{b}$ ，且 $A$ ， $C$ ， $D$ 三点共线，求 $k$ 的值．

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4、如图，正方形 $A B C D$ 中， $\vec{D E} = 2 \vec{E C}$ ， $P$ 是线段 $B E$ 上的动点且 $\vec{A P} = x \vec{A B} + y \vec{A D}$ （ $x > 0, y > 0$ ），则 $\frac{3}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值为．

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5、在 $△ A B C$ 中， $O$ 是边 $B C$ 的中点， $\vec{A P} = t \vec{A O}$ ，过点 $P$ 的直线 $l$ 交直线 $A B, A C$ 分别于 $M, N$ 两点，且 $\vec{A M} = m \vec{A B}, \vec{A N} = n \vec{A C}$ ，则 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n} =$ .

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6、已知 $\{e_{1}, e_{2}\}$ 是平面 $α$ 内所有向量的一组基，且 $\vec{a} = e_{1} + e_{2}, \vec{b} = 3 e_{1} - 2 e_{2}, \vec{c} = 2 e_{1} + 3 e_{2}$ ，若 $\vec{c} =$ $λ \vec{a} + μ \vec{b} (λ, μ \in R)$ ，则 $λ + μ =$ ．

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7、在 $△ A B C$ 中， $\vec{A B} = \vec{c}, \vec{A C} = \vec{b}$ ，点 $M$ 满足 $\vec{B M} = λ \vec{B C} (0 < λ < 1)$ ，若 $\vec{A M} = \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{2}{3} \vec{c}$ ，则 $λ$ 的值为.

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8、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 满足 $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 2$ ， $|\vec{a} - \vec{b}| = 2$ ， $|2 \vec{a} - \vec{c}| = \sqrt{3}$ ，则 $|\vec{c} - \vec{b}|$ 的最大值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $3 \sqrt{3}$ D、 $4 \sqrt{3}$

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9、已知 $△ A B C$ 的内角A， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，面积为 $S$ ，若 $a \sin \frac{A + C}{2} = b \sin A$ ， $6 S = \sqrt{3} \vec{A B} \cdot \vec{A C}$ ，则 $△ A B C$ 的形状是（）

A、等腰三角形 B、直角三角形 C、正三角形 D、等腰直角三角形

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10、已知平面向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{6}$ ，且 $|\vec{a}| = \sqrt{3}, |\vec{b}| = 2$ ，在 $△ A B C$ 中， $\vec{A B} = 2 \vec{a} + 2 \vec{b}, \vec{A C} = 2 \vec{a} - 6 \vec{b}$ ， D为BC的中点，则 $|\vec{A D}|$ 等于（）

A、2 B、4 C、6 D、8

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11、在 $△ A B C$ 中， $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A C} = \vec{b}$ ，若 $\vec{A C} = 2 \vec{E C}, \vec{B C} = 2 \vec{D C}$ ，线段 $A D$ 与 $B E$ 交于点 $F$ ，则 $\vec{C F} =$ （）

A、 $\frac{1}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b}$ B、 $\frac{1}{3} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b}$ C、 $- \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b}$ D、 $- \frac{1}{3} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b}$

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12、已知等边三角形 $A B C$ 边长为 $2$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{B C} =$ （）

A、 $- 2$ B、 $2$ C、 $- 2 \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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13、下列运算正确的个数是（）
① $(- 3) \cdot 2 \vec{a} = - 6 \vec{a}$ ；
② $2 (\vec{a} + \vec{b}) - (2 \vec{b} - \vec{a}) = 3 \vec{a}$ ；
③ $(\vec{a} + 2 \vec{b}) - (2 \vec{b} + \vec{a}) = 0$ .

A、0 B、1 C、2 D、3

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14、如图所示，点O为正六边形ABCDEF的中心，则可作为基底的一对向量是（）

A、 $\vec{O A}, \vec{B C}$ B、 $\vec{O A}, \vec{C D}$ C、 $\vec{A B}, \vec{C F}$ D、 $\vec{A B}, \vec{D E}$

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15、已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (0) = 0$ ，且 $\forall x_{1}, x_{2} \in R (x_{1} < x_{2})$ ，有 $f (x_{1}) \leq f (x_{2})$ ．若存在 $T > 0$ ，使得函数 $g (x) = f (x + T) - f (x)$ 是常函数，则称 $f (x)$ 是“ $T -$ 阶梯函数”．

(1)、若 $f (x)$ 是“ $1 -$ 阶梯函数”，且当 $x \in (0, 1]$ 时， $f (x) = k (x - 1) + 2$ ，写出 $k, f (\frac{3}{2})$ 的取值范围；

(2)、已知 $f (x)$ 满足：① $f (5) = a (a \in R)$ ；② $\forall x \in R$ ，有 $[f (x + 2) - f (x)] \in \{1, 3\}$ ．
（i）证明： $f (x)$ 是“ $2 -$ 阶梯函数”的必要条件是“ $a \in [2, 3] \cup [6, 9]$ ”；
（ii）若所有满足条件①②的函数 $f (x)$ 均为“ $2 -$ 阶梯函数”，猜想 $a$ 的取值范围并证明．

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16、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，焦距为2，左顶点为 $A$ ，点 $D (\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ 是椭圆 $C$ 上一点．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、若直线 $l$ 过椭圆 $C$ 的右焦点 $F_{2}$ 且与椭圆交于 $P, Q$ 两点，直线 $A P, A Q$ 与直线 $x = 4$ 分别交于点 $M, N$ ．
①求证： $M, N$ 两点的纵坐标之积为定值；
②求 $△ A M N$ 面积的最小值．

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17、如图，在三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ A C B = 90^{\circ}$ ， $A C = B C = 2 B_{1} C_{1}$ ，点 $D$ ， $E$ 分别为 $B C$ ， $A B$ 的中点， $C_{1} D ⊥$ 平面 $A B C$ ， $C D = C_{1} D$ ．

(1)、若平面 $D E B_{1} \cap$ 平面 $A_{1} C_{1} B = l$ ，求证： $D E ∥ l$ ；

(2)、求直线 $A_{1} C$ 与平面 $A_{1} C_{1} B$ 所成角的正弦值．

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18、已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为 $△ A B C$ 三个内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边，且 $a sin B = b cos (A + \frac{π}{6})$ ．

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $b = \sqrt{3} c$ ，且 $a = 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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19、在三棱锥 $P - A B C$ 中， $△ A B C$ 是边长为 $2 \sqrt{3}$ 的等边三角形，侧棱 $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ，平面 $P B C$ 与平面 $A B C$ 所成角的正弦值为 $\frac{4}{5}$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 外接球的体积为．

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20、现从5名男生、4名女生中分别选3名男生和2名女生参加社区服务，若其中男生甲和女生乙至少有一人被选派的情况下，这两人均被选派的概率为．

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