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相关试卷

1、已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 的左，右焦点， $P$ 为椭圆 $C$ 上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（）

A、椭圆 $C$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、椭圆 $C$ 的焦距为 $\sqrt{3}$ C、 $△ P F_{1} F_{2}$ 的周长为 $4 + 2 \sqrt{3}$ D、 $△ P F_{1} F_{2}$ 面积的最大值为 $\sqrt{3}$

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2、已知四棱锥 $P - A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为等腰梯形， $A D = B C = 6$ ，侧面 $P A B$ ， $P C D$ 分别是边长为10，6的等边三角形，若动平面 $P E F$ 交直线 $B C$ ， $A D$ 于 $E$ ， $F$ 两点，且平面 $P E F ⊥$ 平面 $A B C D$ ，则平面 $P E F$ 与平面 $P A B$ 所成二面角的余弦值的最大值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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3、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，上顶点为 $A$ ，直线 $A F_{1}$ 与椭圆 $C$ 的另一个交点为 $B$ ，若 $|B F_{2}| = 5 |B F_{1}|$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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4、已知平面 $α$ 过点 $A (1, 0, 0)$ ， $B (2, 1, 0)$ ， $C (3, 3, 2)$ ，点 $P (3, 4, 5)$ 在平面 $α$ 外，则点 $P$ 到平面 $α$ 的距离为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{6}$

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5、已知圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ ，圆 $C_{2} : x^{2} + {(y - 4)}^{2} = 4$ ，若 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 相交，则 $r$ 的取值范围为（）

A、 $(0, 6]$ B、 $[2, + \infty)$ C、 $[2, 6]$ D、 $(2, 6)$

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6、在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，若 $E, F, G$ 分别是 $B C, C C_{1}, C_{1} D_{1}$ 中点，已知 $\vec{a} = \vec{A B}$ ， $\vec{b} = \vec{A D}$ ， $\vec{c} = \vec{A A_{1}}$ ，则下列结论错误的是（）

A、 $\vec{A E} = \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}$ B、 $\vec{A F} = \vec{a} + \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $\vec{A G} = \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ D、 $\vec{B G} = - \frac{1}{2} \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$

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7、方程 $x^{2} + y^{2} - 2 x + 2 y = 0$ 所表示圆的圆心与半径分别为（）

A、 $(1, - 1), 2$ B、 $(- 1,1), 2$ C、 $(- 1,1), \sqrt{2}$ D、 $(1, - 1), \sqrt{2}$

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8、若 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 是空间向量的一组基底，则下列可作为空间向量的一组基底的是（）

A、 $\{\vec{a}, 2 \vec{b}, 3 \vec{c}\}$ B、 $\{2 \vec{a}, \vec{a} + \vec{b}, \vec{a} - \vec{b}\}$ C、 $\{\vec{a} - \vec{c}, \vec{a} - \vec{b}, \vec{b} - \vec{c}\}$ D、 $\{\vec{a} + \vec{c}, \vec{a} + \vec{b}, \vec{b} - \vec{c}\}$

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9、已知直线 $l$ 过点 $A (0, 1)$ ， $B (1, 2)$ ，则直线 $l$ 的斜率为（）

A、-1 B、1 C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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10、已知函数 $f (x) = |{log}_{2} x|$ .若 $0 < x_{1} < x_{2}$ ，且 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，则 $3 x_{1} + x_{2}$ 的取值范围是．

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11、在平面直角坐标系中，若一条直线与一条圆锥曲线相交于 $A$ ， $B$ 两点，且满足 ${|O A|}^{2} + {|O B|}^{2} = {|A B|}^{2}$ ，其中 $O$ 为坐标原点，则称该圆锥曲线关于此直线是“和谐”的，该直线称为圆锥曲线的“和谐线”.已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 和直线 $l : y = k x + m$ （其中 $k \neq 0$ ），直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点.

(1)、当 $m = 0$ 时，求直线 $l$ 被椭圆 $C$ 截得的弦长 $|A B|$ （用 $k$ 表示）；

(2)、若直线 $l$ 是椭圆 $C$ 的“和谐线”，求 $k$ 与 $m$ 的关系式；

(3)、在（2）的条件下，求 $△ A O B$ 面积 $S$ 的取值范围.

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12、已知抛物线 $y = x^{2}$ 与直线 $y = m x + 2$ 相交于 $P$ ， $Q$ 两点（ $P$ 在 $Q$ 左侧），给定点 $A (- 1, 1)$ 、 $B (2, 4)$ 在抛物线上．

(1)、用 $m$ 表示 $x_{P} + x_{Q}$ ；

(2)、若 $P$ ， $A$ ， $B$ ， $Q$ 四点共圆，求实数 $m$ 的值；

(3)、在（2）的条件下，求过 $P$ ， $A$ ， $B$ ， $Q$ 四点的圆的方程．

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13、四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $△ A B C$ ， $△ A D C$ 均为等腰直角三角形，斜边分别为 $B C$ ， $A C$ ，且 $B C = 4 \sqrt{2}$ ， $P A = 2$ ， $N$ 为 $P C$ 的中点．

(1)、求证： $D N //$ 平面 $P A B$ ；

(2)、求平面 $P A B$ 与平面 $N B D$ 的夹角的余弦值．

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14、已知 $F_{1} (- 3, 0)$ ， $F_{2} (3, 0)$ ，动点 $P$ 满足 $|P F_{1}| = 10 - |P F_{2}|$

(1)、指出动点 $P$ 的轨迹是什么曲线，并写出它的方程；

(2)、过 $F_{2}$ 作直线 $l$ 与曲线交于 $P$ ， $Q$ 两点， $P$ 在 $x$ 轴上方，直线 $P Q$ 的斜率为 $- \frac{4}{3}$ ，求经过 $P$ ， $Q$ 且以坐标轴为对称轴的双曲线的标准方程，若不存在，说明理由.

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15、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $M$ 、 $P$ 为棱 $A A_{1}$ 、 $A_{1} D_{1}$ 的中点，设 $\vec{B A} = \vec{a}$ ， $\vec{B C} = \vec{b}$ ， $\vec{B B_{1}} = \vec{c}$ .

(1)、用 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 、 $\vec{c}$ 表示 $\vec{M C_{1}}$ ；

(2)、证明： $M$ 、 $P$ 、 $C_{1}$ 、 $B$ 四点共面.

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16、已知双曲线 $m x^{2} - y^{2} = 1$ ，过点 $P (1, 1)$ 的直线 $l$ 与双曲线相交于 $A$ ， $B$ 两点， $P$ 为弦 $A B$ 中点，则正整数 $m$ 的最小值为.

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17、已知直线 $l : y = k x - 1$ 与圆 $C : x^{2} + y^{2} - 4 x - 2 y + 1 = 0$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，若弦 $A B$ 的长度为4，则实数 $k$ 的值为.

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18、在空间直角坐标系中，点 $P (1, 3, 3)$ 关于平面 $x O z$ 对称的点的坐标为.

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19、在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A A_{1} = 5$ ， $A D = 3$ ，点 $P$ 在底面四边形 $A B C D$ 内（含边界）运动，且满足 $B D_{1} ⊥ B_{1} P$ ，点 $M$ 是线段 $B_{1} P$ 的中点，则下列选项中正确的是（）

A、点 $P$ 的轨迹是线段，其长度为 $\frac{3 \sqrt{34}}{5}$ B、三棱锥 $M - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积为定值 C、直线 $D_{1} M$ 与平面 $A_{1} C_{1} D$ 所成角的正弦值的最大值为1 D、存在点 $M$ ，使得 $M$ 到 $A D$ 的距离为 $\frac{5}{2}$

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20、已知直线 $l : (m - 2) x + (m + 1) y - 3 m + 1 = 0$ ，则下列选项中正确的是（）

A、直线 $l$ 恒过定点 $(\frac{4}{3}, \frac{5}{3})$ B、若直线 $l$ 与直线 $2 x - y + 3 = 0$ 平行，则 $m = 0$ C、若直线 $l$ 不经过第二象限，则 $- 1 < m \leq \frac{1}{3}$ D、原点到直线 $l$ 的距离可能为2

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