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相关试卷

1、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = - x^{2} + 4 x$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、在给定的坐标系中画出函数 $f (x)$ 在 $R$ 上的图象（不用列表）；

(3)、若关于 $x$ 的方程 $f (x) = m$ 有4个不同的实数解，求实数 $m$ 的取值范围.

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2、已知函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $R$ ，满足 $f (1 + x) = f (1 - x)$ ，且 $y = f (x)$ 在 $[1, + \infty)$ 上为严格减函数，则不等式 $f (- x^{2}) > f (- 1)$ 的解集为.

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3、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} (3 m - 1) x + 4 m, x < 1 \\ - x^{2} + 2 m x - 2 m + 1, x \geq 1 \end{array}$ 为定义在 $R$ 上的减函数，下列说法正确的是（）

A、 $m$ 的取值范围为 $[\frac{1}{7} ， \frac{1}{3})$ B、 $\forall a \in R, f (a^{2}) < f (a - 1)$ C、若 $f (a - 4) > f (3 a)$ ，则 $a$ 的取值范围是 $(- 2, + \infty)$ D、函数的值域为 $R$

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4、若 $a > 0, b > 0, a + b = 3$ ，则下列不等式对一切满足条件的 $a, b$ 恒成立的是（）

A、 $a b \leq \frac{9}{4}$ B、 $\sqrt{a} + \sqrt{b} \leq \sqrt{6}$ C、 $a^{2} + b^{2} \geq 9$ D、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq \frac{4}{3}$

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5、若函数 $f (x)$ 同时满足：①对于定义域上的任意 $x$ ，恒有 $f (x) + f (- x) = 0$ ；②对于定义域上的任意 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时，恒有 $x_{1} f (x_{1}) + x_{2} f (x_{2}) > x_{1} f (x_{2}) + x_{2} f (x_{1})$ .则称函数 $f (x)$ 为“理想函数”.给出下列四个函数：
① $f (x) = x^{2}$ ；② $f (x) = x^{3}$ ；③ $f (x) = \frac{2 x - 1}{2 x + 1}$ ；④ $f (x) = \{\begin{cases} x^{2} + 4 x, x \geq 0 \\ - x^{2} + 4 x, x < 0 \end{cases}$
其中是“理想函数”的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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6、已知函数 $f (1 - x) = \frac{1 - x^{2}}{x^{2}} (x \neq 0)$ ，则 $f (x) =$ （）

A、 $\frac{1}{{(x - 1)}^{2}} - 1 (x \neq 0)$ B、 $\frac{1}{{(x - 1)}^{2}} - 1 (x \neq 1)$ C、 $\frac{4}{{(x - 1)}^{2}} - 1 (x \neq 0)$ D、 $\frac{4}{{(x - 1)}^{2}} - 1 (x \neq 1)$

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7、设 $x \in R$ ，则“ $\frac{1}{x - 1} \geq 1$ ”是“ $1 \leq x \leq 2$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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8、已知集合 $A = \{0, 1, 2\}$ ， $B = {x | - 1 \leq x < 1,$ $x \in Z}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${0}$ B、 $\{- 1, 0, 1, 2\}$ C、 $[- 1$ ， $2]$ D、 $[- 1$ ， $2)$

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9、已知 $α, β \in (0, \frac{π}{2})$ ，且满足 $sin α tan β = 1 - cos α$ ， $cos (α - β) = \frac{3}{4}$ ，则 $cos α =$ ．

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10、记 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $a^{2} = b (c + b)$ ，则（）

A、 $a > b$ B、 $C = 2 B$ C、 $B \in (0, \frac{π}{3})$ D、 $\frac{a}{b} \in (0, 1)$

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11、如图，已知圆 $M : x^{2} - 4 x + y^{2} + 3 = 0$ ， $P (- 1, t)$ 为直线 $l : x = - 1$ 上一动点， $O$ 为坐标原点，过点 $P$ 作圆 $M$ 的两条切线，切点分别为 $A$ ， $B$ .

(1)、求四边形 $P A M B$ 面积的最小值；

(2)、求证：直线 $A B$ 过定点；

(3)、若两条切线 $P A$ ， $P B$ 与 $y$ 轴分别交于点 $S$ ， $T$ ，求 $|S T|$ 的最小值.

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12、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为 $A_{1} D_{1}$ 的中点， $B_{1} C_{1}$ 与平面 $C D E$ 交于点 $F$ .

(1)、求证： $F$ 为 $B_{1} C_{1}$ 的中点；

(2)、点 $M$ 为棱 $A_{1} B_{1}$ 上一点.
（i）若 $M$ 为棱 $A_{1} B_{1}$ 的中点，正方体棱长为2，求平面 $M C F$ 截正方体所得的截面面积；
（ii）若二面角 $M - F C - E$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ ，求 $\frac{A_{1} M}{A_{1} B_{1}}$ 的值.

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13、已知定点 $F_{1} (- 1, 0)$ 、 $F_{2} (1, 0)$ 和动点 $M (x, y)$ .

(1)、再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，使得动点 $M$ 的轨迹为椭圆并求动点 $M$ 的轨迹方程.条件①： $|M F_{1}| + |M F_{2}| = 4$ ；条件②： $|M F_{1}| + |M F_{2}| = 2$ .

(2)、若直线 $l : y = k x + m$ 与动点 $M$ 的轨迹相交于 $A$ 、 $B$ 两点，且 $k_{O A} \cdot k_{O B} = - \frac{3}{4}$ ，求 $△ A O B$ （ $O$ 为坐标原点）的面积.

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14、在如图所示试验装置中，由矩形 $A B C D$ 和 $A B E F$ 构成，且 $A B = 4$ ， $A D = A F = 3$ ， $∠ D A F = \frac{π}{3}$ ， $M$ ， $N$ 分别在对角线 $B D$ ， $A E$ 上移动，且 $A N$ 与 $D M$ 长度保持相等，记 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ， $\vec{A F} = \vec{c}$ ，且 $\vec{D M} = λ \vec{D B}$ ， $λ \in [0, 1]$ .

(1)、当 $λ = \frac{1}{2}$ 时，用向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 表示 $\vec{A M}$ ， $\vec{M N}$ ；

(2)、是否存在 $M$ ， $N$ 使得 $M N ⊥$ 平面 $A B C D$ ？若存在，请求出 $λ$ 的值；若不存在，请说明理由.

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15、已知三角形顶点 $A (2, 4)$ ， $B (0, - 2)$ ， $C (- 2, 3)$ ．

(1)、求边 $A B$ 的直线方程；

(2)、求 $A B$ 边上的中线方程；

(3)、求三角形 $A B C$ 的面积．

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16、直线 $l$ 过点 $M (- 1, 1)$ 且与椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 相交于 $A$ 、 $B$ 两点，若线段 $A B$ 的中点为 $M$ 则直线 $l$ 的斜率为.

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17、已知圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} - 2 x + 2 m y + 1 = 0 (m \in R)$ 的面积被直线 $x + 2 y + 1 = 0$ 平分，圆 $C_{2} : {(x + 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 16$ ，则圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 的位置关系是.

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18、在平面直角坐标系中直线l的一个方向向量为 $\vec{u} = (2, - 3)$ ，则直线l的斜率为．

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19、在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C = C B = 2$ ， $A A_{1} = 3$ ， $∠ A C B = 90^{\circ}$ ， $P$ 为 $B C$ 的中点，点 $Q$ ， $R$ 分别在棱 $A A_{1}$ ， $B B_{1}$ 上，且 $A Q = λ A A_{1}$ ， $B_{1} R = λ B_{1} B (0 < λ < 1)$ ，则下列结论正确的是（）

A、存在 $λ$ ，使得 $C A_{1} / /$ 平面 $P Q R$ B、直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 外接球的表面积为 $\frac{17 π}{2}$ C、对于任意的 $λ \in (0, 1)$ ，四棱锥 $P - A B R Q$ 的体积为定值 D、当 $λ = \frac{1}{3}$ 时，平面 $P Q R$ 与平面 $A B C$ 夹角的余弦值为 $\frac{5 \sqrt{29}}{29}$

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20、已知以 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 为左右焦点的椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的短轴长为 $2 \sqrt{3}$ ，点 $P$ 是椭圆 $C$ 上的一个动点，且点 $P$ 到 $F_{2}$ 的最大距离是点 $P$ 到 $F_{2}$ 的最小距离的3倍，连接 $P F_{2}$ ，并延长 $P F_{2}$ 与椭圆 $C$ 相交于点 $Q$ ，则下列结论正确的是（）

A、椭圆的方程为 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ B、三角形 $P F_{1} F_{2}$ 的面积的最大值为 $2 \sqrt{3}$ C、三角形 $P Q F_{1}$ 的周长为 $8$ D、 $\frac{1}{|P F_{2}|} + \frac{1}{|Q F_{2}|} = \frac{4}{3}$

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