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相关试卷

1、在 $(x - 2021) (x + 2022) (x - 2023) (x + 2024) (x - 2025)$ 的展开式中，含 $x^{4}$ 的项的系数是（）

A、 $- 2025$ B、 $- 2023$ C、 $- 2021$ D、 $2025$

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2、要得到函数 $y = sin 2 x$ 的图象，只要将函数 $y = sin (2 x + \frac{π}{3})$ 的图象（）

A、向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位 B、向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位 C、向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位 D、向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位

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3、“ $\log_{3} a > \log_{3} b$ ”是“ $3^{a} > 3^{b}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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4、已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $a + b = 4$ ，则 $a b$ 的最大值为（）

A、1 B、2 C、4 D、不存在

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5、在 $△ A B C$ 中， $\vec{C A} = \vec{a}$ ， $\vec{C B} = \vec{b}$ ，若 $D$ 是 $A B$ 的中点 $(\vec{A D} = \frac{1}{2} \vec{A B})$ ，则 $\vec{C D} = \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}$ ；若 $D$ 是 $A B$ 的一个三等分点 $(\vec{A D} = \frac{1}{3} \vec{A B})$ ，则 $\vec{C D} = \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}$ ；若 $D$ 是 $A B$ 的一个四等分点 $(\vec{A D} = \frac{1}{4} \vec{A B})$ ，则 $\vec{C D} = \frac{3}{4} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b}$

(1)、如图①，若 $\vec{A D} = λ \vec{A B}$ ，用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示 $\vec{C D}$ ，你能得出什么结论？并加以证明．

(2)、如图②，若 $\vec{C M} = \frac{1}{2} \vec{M B}$ ， $\vec{C N} = \vec{N A}$ ， $A M$ 与 $B N$ 交于 $O$ ，过 $O$ 点的直线 $l$ 与 $C A$ ， $C B$ 分别交于点 $P$ ， $Q$ ．
①利用（1）的结论，用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示 $\vec{C O}$ ；
②设 $\vec{C P} = x \vec{C A}$ ， $\vec{C Q} = y \vec{C B} (x > 0, y > 0)$ ，求 $x + y$ 的最小值．

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6、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 $a - b = c (\cos B - \cos A)$ ，则 $△ A B C$ 的形状为（）

A、直角三角形 B、等腰三角形 C、等腰直角三角形 D、直角三角形或等腰三角形

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7、如图，正方形 $A B C D$ 的边长为 $2, M, N$ 分别为 $A B, B C$ 边上的动点，若 $E$ 为 $M N$ 的中点，且满足 $|\vec{B E}| = 1$ ，则 $\vec{D M} \cdot \vec{D N}$ 的最小值为（）

A、 $8 - 4 \sqrt{2}$ B、4 C、 $16 - 8 \sqrt{2}$ D、8

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8、在 $△ A B C$ 中，已知 $a = 8, B = 30^{\circ}, C = 105^{\circ}$ ，则 $b$ 等于（）

A、 $\frac{32}{3}$ B、 $4 \sqrt{3}$ C、 $4 \sqrt{6}$ D、 $4 \sqrt{2}$

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9、已知向量 $\vec{a} = (- 1, 1), \vec{b} = (2, x)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $|\vec{a} - \vec{b}| =$ （）

A、 $3 \sqrt{2}$ B、 $3$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $2$

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10、已知复数 $z$ 满足 $|z - (1 + 2 i)| = 0$ ，其中 $i$ 是虚数单位，则 $|z| =$ （）

A、 $5$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $1$ D、 $2$

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11、已知点A，B分别是双曲线 $C : \frac{y^{2}}{4} - x^{2} = 1$ 的上、下顶点，点P满足 $| P B | = 2 | P A |$ ．

(1)、求点P的轨迹方程；

(2)、是否存在点P，使得过点P的动直线l交双曲线C于M，N两点，且 $B M$ 与 $B N$ 的斜率之和为定值？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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12、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A B ⊥ A D, C D ⊥ A D, A B = A D = P D = \frac{1}{2} C D = 1, P A = \sqrt{2}, P C = \sqrt{5}$ ，点Q为棱 $P C$ 上一点．

(1)、证明： $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、当点Q为棱 $P C$ 的中点时，求直线 $P A$ 与平面 $B D Q$ 所成角的正弦值；

(3)、当二面角 $P - B D - Q$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 时，求 $\frac{P Q}{P C}$ ．

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13、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} + 3 a_{2} + 5 a_{3} + \dots + (2 n - 1) a_{n} = (n - 1) 3^{n} + 1$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、已知 $d_{n} = \frac{a_{n}}{n + 1}$ ，求数列 ${\frac{1}{d_{n}}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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14、已知函数 $f (x) = a \sin x \cos x + \cos (2 x + \frac{π}{6})$ ，且 $f (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2}$ ．

(1)、求a的值；

(2)、若 $f (\frac{θ}{2} - \frac{π}{4}) = \frac{3}{5}$ ，求 $\cos (2 θ - \frac{π}{3})$ 的值．

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15、已知函数 $f (x) = x^{3} + x + a (a \in R)$ 及点 $P (- 1, 0)$ ．

(1)、若点P在 $f (x)$ 的图象上，求曲线 $y = f (x)$ 在点P处的切线的方程；

(2)、若点P在 $f (x)$ 的图象外，过点P与 $f (x)$ 的图象相切的直线斜率是1，求a的取值．

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16、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x^{2} + 3, x \leq 1 \\ x + \frac{1}{x} - 1, x > 1 \end{array}$ ，若当 $x \in [a, b]$ 时， $1 \leq f (x) \leq 3$ ，则 $b - a$ 的最大值是．

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17、直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的所有棱长均为2， $∠ D A B = \frac{π}{3}$ ，则直线 $A A_{1}$ 到平面 $B B_{1} D_{1} D$ 的距离为．

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18、抛掷一枚质地均匀的骰子，观察向上的面的点数，“点数为偶数”记为事件A，“点数小于5”记为事件B，“点数小于2”记为事件C．下列说法正确的是（）

A、A与C互斥 B、B与C对立 C、A与B相互独立 D、 $P (A \cup B) = P (A) + P (B)$

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19、已知a，b，c为非零实数，则下列说法一定正确的有（）

A、若a，b，c成等差数列，则 $5 a, 5 b, 5 c$ 成等比数列 B、若a，b，c成等比数列，则 $a^{2}, b^{2}, c^{2}$ 成等比数列 C、若a，b，c成等差数列，则 $2^{a}, 2^{b}, 2^{c}$ 成等比数列 D、若 $a^{2}, b^{2}, c^{2}$ 成等比数列，则a，b，c成等比数列

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20、已知斜率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 的直线过双曲线 $C : x^{2} - \frac{y^{2}}{m} = 1 (m > 0)$ 的左焦点F，且与C的左，右两支分别交于A，B两点，设O为坐标原点，P为 $A B$ 的中点，若 $△ O F P$ 是以 $F P$ 为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率（）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、3 D、 $\sqrt{3}$

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