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相关试卷

1、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{18} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $P$ 为椭圆 $C$ 上的点.

(1)、若点 $P$ 在第一象限内，且 $P F_{1} ⊥ P F_{2}$ ，求点 $P$ 的坐标；

(2)、若 $|P F_{1}| = 2 |P F_{2}|$ ，求 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积.

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2、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 是棱 $A_{1} D_{1}$ 的中点， $F$ 是棱 $A B$ 的中点.

(1)、证明： $A C ⊥ E F$ ；

(2)、求 $A C_{1}$ 与平面 $E F C_{1}$ 所成的角的正弦值.

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3、已知直线 $l$ 的方程为 $3 x + 4 y - 1 = 0$ .

(1)、若直线 $l_{1} ⊥ l$ ，且直线 $l_{1}$ 在 $x$ 轴上的截距为 $- 1$ ，求直线 $l_{1}$ 的方程；

(2)、若直线 $l_{2} ∥ l$ ，且直线 $l$ 与直线 $l_{2}$ 之间的距离为3，求直线 $l_{2}$ 的方程.

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4、已知点 $P (m, n)$ 是曲线 $C : y = \sqrt{2 x - x^{2}} + 1$ 上的动点，则 $\frac{m + n + 1}{m + 1}$ 的取值范围为.

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5、已知双曲线 $C_{1} : \frac{x^{2}}{m^{2}} - \frac{y^{2}}{n^{2}} = 1$ （ $m > 0$ ， $n > 0$ ）的离心率为 $\sqrt{5}$ ，则双曲线 $C_{2} : \frac{y^{2}}{n^{2}} - \frac{x^{2}}{m^{2}} = 1$ 的离心率为.

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6、已知向量 $\vec{a} = (1, - 1, 2)$ ， $\vec{b} = (m, n, - 4)$ ，若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $m n =$ .

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7、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (0 < b < 2)$ 的短轴长为 $2 \sqrt{3}$ ， $A$ 为椭圆 $C$ 的上顶点，过原点 $O$ 的直线与椭圆 $C$ 交于 $P$ ， $Q$ 两点（ $P$ ， $Q$ 不在坐标轴上），记直线 $A P$ ， $A Q$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，则（）

A、 $b = \sqrt{3}$ B、 $k_{1} k_{2} = - \frac{4}{3}$ C、记直线 $P Q$ 的斜率为 $k$ ，可得 $k_{1} + k_{2} = 2 k$ D、记椭圆 $C$ 的右焦点为 $F$ ，可得 $△ P Q F$ 的周长的取值范围为 $(4 + 2 \sqrt{3}, 8)$

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8、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为2的菱形， $∠ D A B = 60^{\circ}$ ， $△ P A D$ 为等边三角形，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，则（）

A、若直线 $l$ 是平面 $P A D$ 和平面 $P B C$ 的交线，则 $B C / / l$ B、直线 $A C$ 与 $B P$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ C、平面 $P A B$ 与平面 $P C D$ 的夹角的余弦值为 $\frac{4}{5}$ D、点 $D$ 到平面 $P A B$ 的距离为 $\frac{2 \sqrt{15}}{5}$

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9、已知直线 $l : 2 x + 2 y + 3 = 0$ ，则（）

A、直线 $l$ 的倾斜角为 $\frac{π}{4}$ B、原点 $O$ 到直线 $l$ 的距离为 $\frac{3 \sqrt{2}}{4}$ C、直线 $l$ 不经过第一象限 D、直线 $l$ 的一个方向向量的坐标为 $(1, 1)$

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10、如图，在四棱锥 $D - O A B C$ 中，底面 $O A B C$ 是平行四边形， $∠ A O C = ∠ A O D = ∠ C O D = \frac{π}{3}$ ， $O A = O C = O D = 1$ ， $E$ 是 $A D$ 的中点， $F$ 是 $C D$ 的中点，过 $O$ ， $E$ ， $F$ 三点的平面与 $B D$ 相交于点 $G$ ，则 $O G =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{11}}{3}$

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11、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{m} - \frac{y^{2}}{m + 1} = 1 (m > 0)$ 的虚半轴长为 $\sqrt{5}$ ， $F$ 为双曲线 $C$ 的左焦点，点 $P$ 为双曲线C的右支上的动点，点 $A$ 的坐标为 $(- 1, 3)$ ，则 $|P F| + |P A|$ 的最小值为（）

A、8 B、9 C、 $\frac{19}{2}$ D、10

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12、已知点 $P_{0} (2, - 1, 1)$ 在平面 $α$ 内，向量 $\vec{n} = (1, 1, - 2)$ 为平面 $α$ 的一个法向量，则下列各点不在平面 $α$ 内的是（）

A、 $(1, 0, 1)$ B、 $(0, 1, 1)$ C、 $(- 1, 2, 2)$ D、 $(1, - 2, 0)$

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13、“曲线 $\frac{x^{2}}{m} + \frac{y^{2}}{2 - m} = 1$ 表示椭圆”是“ $0 < m < 2$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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14、点 $P$ 为直线 $l_{1} : x - y + 1 = 0$ 和直线 $l_{2} : 2 x + y - 4 = 0$ 的交点， $O$ 为坐标原点，则直线 $O P$ 的方程为（）

A、 $y = \frac{1}{2} x$ B、 $y = 2 x$ C、 $y = - \frac{1}{2} x$ D、 $y = - 2 x$

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15、已知 $A (- 1, 3)$ ， $B (3, - 5)$ ，则以线段 $A B$ 为直径的圆的方程为（）

A、 ${(x + 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 20$ B、 ${(x - 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 20$ C、 ${(x + 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 10$ D、 ${(x - 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 10$

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16、在空间直角坐标系中，点 $P (4, - 2, 1)$ 关于 $x$ 轴对称的点的坐标为（）

A、 $(- 4, 2, - 1)$ B、 $(- 4, - 2, 1)$ C、 $(4, 2, - 1)$ D、 $(4, - 2, - 1)$

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17、椭圆 $\frac{x^{2}}{15} + \frac{y^{2}}{10} = 1$ 的焦距为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{10}$ C、 $2 \sqrt{15}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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18、双曲线 $E_{i} : 25 x^{2} - 9 y^{2} = a_{i}^{2} (a_{i} > 0, i = 1, 2, \dots, n)$ ，射线 $l_{1} : y = k_{1} x (x \geq 0)$ 和射线 $l_{2} : y = k_{2} x (x \geq 0)$ 分别与 $E_{1}, E_{2}, \dots, E_{n}$ 交于点 $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ 和点 $B_{1}, B_{2}, \dots, B_{n}$ ．

(1)、求双曲线 $E_{i} (i = 1, 2, \dots, n)$ 的离心率；

(2)、作射线 $l : y = k x (x \geq 0)$ （异于 $l_{1},$ $l_{2}$ 与 $E_{1}, E_{2}, \dots, E_{n}$ 分别交于点 $P_{1}, P_{2}, \dots, P_{n}$ ，记 $△ A_{i} B_{i} P_{i}$ 的面积为 $S_{i} (i = 1, 2, \dots, n)$ ．
①求证： $A_{1} B_{1} ∥ A_{2} B_{2}$ ；
②若 $k_{1} = 1, k_{2} = 0, 0 < k < 1$ ，且 $a_{i} = \frac{1}{i} (i = 1, 2, \dots, n)$ ，记 $S = \sum_{i = 1}^{n} S_{i}$ ，证明： $S < \frac{3 - 2 \sqrt{2}}{60}$ ．

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19、在一个足够大的不透明袋中进行一个 $n$ 轮摸球试验，规则如下：每一轮试验时，袋中均有红、黑、白三种颜色的球，从中随机摸出一个球（摸出的球不再放回），若摸出红球，则试验成功；若摸出白球，则试验失败；若摸出黑球，则进入判定环节：判定时，向袋中放入两个黑球并取出一个白球，再从中随机摸出一个球，若为白球则试验失败，否则试验成功．若试验成功，则结束试验，若试验失败，则进行下一轮试验，直至成功或 $n$ 轮试验进行完．已知第 $i (i = 1, 2, \dots, n)$ 轮试验开始时，袋中有1个红球， $i$ 个黑球， $(i + i^{2})$ 个白球．

(1)、求第1轮试验成功的概率；

(2)、某团队对这个试验进行了一定的研究，请若干志愿者进行了5轮试验，并记录了第 $i (i = 1, 2, 3, 4, 5)$ 轮试验成功志愿者的比例 $y_{i}$ ，记 $x_{i} = \frac{1}{i}$ ，发现 $x_{i}$ 与 $y_{i}$ 线性相关，求 $y$ 关于 $x$ 的经验回归方程，并预测试验轮数足够大时，试验成功志愿者的比例；

(3)、记试验结束时，试验成功的概率为 $P_{n}$ ，证明： $P_{n} < \frac{3}{4}$ ．
参考数据： $\bar{x} = 0.46$ ， $\bar{y} = 0.69$ ， ${\sum_{i = 1}^{5} (x_{i} - \bar{x})}^{2} = 0.42$ ， $\sum_{i = 1}^{5} x_{i} y_{i} = 1.503$ ．

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20、已知函数 $f (x) = 3 tan (2 x - \frac{π}{4}) + 1$ ，则（）

A、 $f (\frac{π}{6}) = 7 - 3 \sqrt{3}$ B、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ C、 $f (x)$ 图象的对称中心为 $(\frac{k π}{4} + \frac{π}{8}, 1) (k \in Z)$ D、不等式 $f (x) \leq 4$ 的解集为 $\{x |\frac{k π}{2} - \frac{π}{8} < x \leq \frac{k π}{2} + \frac{π}{4}, k \in Z\}$

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