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相关试卷

1、如图，正方形 $A D E F$ 所在平面和等腰梯形 $A B C D$ 所在平面互相垂直，已知 $B C = 4$ ， $A B = A D = 2$ ，点 $P$ 在线段 $B E$ 上.

(1)、求证：平面 $A C P ⊥$ 平面 $A B F$ ；

(2)、当直线 $A P$ 与平面 $B C E$ 所成角的正弦值为 $\frac{3 \sqrt{21}}{14}$ 时，求 $\frac{B P}{P E}$ .

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2、某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为 $\frac{7}{8}$ ，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为 $\frac{1}{2}$ .已知输入的问题表达不清晰的概率为 $\frac{1}{5}$ .

(1)、求智能客服的回答被采纳的概率；

(2)、在某次测试中输入了3个问题（3个问题相互独立），设 $X$ 表示智能客服的回答被采纳的次数.求 $X$ 的分布列、期望及方差.

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3、已知正四面体 $A B C D$ 的棱长为 $2 \sqrt{2}$ ，动点P满足 $P A^{2} + P B^{2} = P C^{2} + P D^{2}$ ，用所有这样的点P构成的平面截正四面体，则所得截面的面积为.

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4、函数 $f (x) = |\sin x| + \cos x$ 的最小值为.

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5、将两个1，两个3，一个5排成一行，则不同的排法种数为.（用数字作答）

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6、已知递增数列 $\{a_{n}\}$ 的各项均为正整数，且满足 $a_{a_{n}} = 3 n$ ，则（）

A、 $a_{a_{1}} = 3$ B、 $a_{n} > n$ C、 $a_{5} = 6$ D、 $a_{2025} = 81 a_{25}$

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7、已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左、右焦点， $O$ 为坐标原点， $P$ 为 $C$ 上异于左、右顶点的一点， $H$ 是线段 $P F_{2}$ 的中点，则（）

A、 $|O H| + |H F_{2}| = 2$ B、 $|O H| > 1$ C、 $△ O H F_{2}$ 内切圆半径的最大值为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ D、 $△ H F_{1} F_{2}$ 外接圆半径的最小值为1

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8、为了验证牛的毛色（黑色、红色）和角（有角、无角）这两对相对性状是否相关，某学院进行了一次数据统计，并根据形成的2×2列联表，计算得到 $χ^{2} \approx 2.727$ ，根据小概率值为 $α$ 的独立性检验，则（）
附：
$P (χ^{2} \geq k)$
0.100
0.050
0.010
$k$
2.706
3.841
6.635

A、若 $α = 0.100$ ，则认为“毛色”和“角”无关 B、若 $α = 0.100$ ，则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过10% C、若 $α = 0.010$ ，则认为“毛色”和“角”无关 D、若 $α = 0.010$ ，则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过1%

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9、已知 $0 < α < β < \frac{π}{2}$ ，则（）

A、 $\sin α - \sin β < α - β$ B、 $α - β < \tan α - \tan β$ C、 $α \sin β < β \cos α$ D、 $\tan β > α β$

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10、已知圆台的侧面展开图是半个圆环，侧面积为4π，则圆台上下底面面积之差的绝对值为（）

A、π B、2π C、4π D、8π

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11、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} e^{- x} - 1, x \leq 0, \\ 1 - e^{x}, x > 0, \end{array}$ 则 $f (2 x) + f (x - 3) > 0$ 的解集是（）

A、 $(- \infty, 1)$ B、 $(1, + \infty)$ C、 $(- \infty, - 3)$ D、 $(- 3, + \infty)$

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12、抛物线 $y = x^{2} + 2 x + 2$ 的焦点坐标为（）

A、 $(- 1, \frac{3}{2})$ B、 $(- 1, \frac{5}{4})$ C、 $(1, \frac{3}{2})$ D、 $(1, \frac{5}{4})$

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13、若数列 $\{a_{n}\}$ 各项均为正数，则“ $\{a_{n}\}$ 为等比数列”是“ $\{\ln a_{n}\}$ 为等差数列”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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14、若直线 $l_{1}$ ： $(m - 2) x + 3 y + 3 = 0$ 与直线 $l_{2}$ ： $2 x + (m - 1) y + 2 = 0$ 平行，则 $m =$ （）

A、4 B、 $- 4$ C、1或 $- 4$ D、 $- 1$ 或4

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15、设复数 $z$ 满足 $\frac{1 + z}{2 - i} = i$ （ $i$ 为虚数单位），则 $z =$ （）

A、 $2 i$ B、 $- 2 i$ C、 $- 2 + 2 i$ D、 $- 2 - 2 i$

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16、已知集合 $A = \{x |\log_{2} x < 1\}$ ， $B = \{x |x < 1\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- \infty, 1)$ B、 $(0, 1)$ C、 $(- \infty, 2)$ D、 $(0, 2)$

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17、已知函数 $f (x) = \frac{2^{x} - 1}{a \cdot 2^{x} + 1 - b} (a > 0)$ ，且 $f (- 1) + f (1) = 0$ ．

(1)、求 $a + b$ 的值；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) - 2^{x}$ 存在零点，求a的取值范围；

(3)、若 $a = 1$ ，证明： $\forall m > 1, f (\log_{3} m) > {[f (\log_{5} m)]}^{2}$ ．

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18、过点 $M (- 1, m)$ 作抛物线 ${C : y}^{2} = 2 p x, (p > 0)$ 的两条切线，切点分别为 $A (x_{1}, y_{1})$ 和 $B (x_{2}, y_{2})$ ，又直线 $A B$ 经过抛物线 $C$ 的焦点 $F$ ，那么 $\frac{y_{1} y_{2}}{k_{M A} k_{M B}}$ =.

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19、如果拉伸两个端头，哪一根绳子会打结？（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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20、已知曲线 $C : x^{2} + y^{2} = 2 |x| + 4 |y|$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点， $P$ ， $Q$ 是曲线 $C$ 上任意两点，则（）

A、曲线 $C$ 是中心对称图形 B、曲线 $C$ 圈成图形的面积为 $16 + 10 π$ C、 $| P Q |$ 的最大值为 $4 \sqrt{5}$ D、 $△ A B P$ 的面积最大值为 $8$

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$P (χ^{2} \geq k)$	0.100	0.050	0.010
$k$	2.706	3.841	6.635