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相关试卷

1、设函数 $f (x) = \sin (2 x + \frac{π}{3}) + \sqrt{3} \sin^{2} x - \sqrt{3} \cos^{2} x - \frac{1}{2}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期及其图象的对称轴；

(2)、将函数 $f (x)$ 的图象先向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位，再向上平移1个单位得到函数 $g (x)$ 的图象，求函数 $g (x)$ 在 $(- \frac{5 π}{12}, \frac{π}{8})$ 上的值域．

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2、记 $y = f^{'} (x)$ ， $y = g^{'} (x)$ 分别为函数 $y = f (x)$ ， $y = g (x)$ 的导函数．若存在 $x_{0} \in R$ ，满足 $f (x_{0}) = g (x_{0})$ 且 $f^{'} (x_{0}) = g^{'} (x_{0})$ ，则称 $x_{0}$ 为函数 $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 的一个“好点”．

(1)、判断函数 $f (x) = x$ 与 $g (x) = x^{2} - x + 1$ 是否存在“好点”，若存在，求出“好点”；若不存在，请说明珵由；

(2)、若函数 $f (x) = a x^{3} - 1$ 与 $g (x) = \ln x$ 存在“好点”，求实数 $a$ 的值；

(3)、已知函数 $f (x) = - x^{2} + a$ ， $g (x) = \frac{b e^{x}}{x}$ ，若存在实数 $a > 0$ ，使函数 $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 在区间 $(2, + \infty)$ 内存在“好点”，求实数 $b$ 的取值范围．

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3、在问卷调查中，被采访人有可能出于隐私保护而不愿意如实填写问卷，导致调查数据失真.某校高三级调查学生对饭堂服务满意情况，为保护学生隐私并得到真实数据，采取如下“随机化回答技术”进行问卷调查：
一个袋子中装有五个大小相同的小球，其中2个黑球，3个白球、高三级所有学生从袋子中有放回的随机摸两次球，每次摸出一球.约定“若两次摸到的球的颜色不同，则按方式Ⅰ回答问卷，若相同则按方式Ⅱ回答问卷”.
方式Ⅰ：若第一次摸到的是白球，则在问卷中答“是”，否则答“否”；
方式Ⅱ：若学生对饭堂服务满意，则在问卷中答“是”，否则答“否”.
当所有学生完成问卷调查后，统计答“是”，答“否”的比例，用频率估计概率，由所学概率知识即可求得该校高三级学生对饭堂服务满意度的估计值.

(1)、若某班有50名学生，用X表示其中按方式Ⅰ回答问卷的人数，求X的数学期望；

(2)、若该年级的所有调查问卷中，答“是”与答“否”的比例为 $2 : 3$ ，试估计该年级学生对饭堂的满意度.（结果保留3位有效数字）

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4、每个国家对退休年龄都有不一样的规定，2018年开始，我国关于延迟退休的话题一直在网上热议，为了了解市民对“延迟退休”的态度，现从某地市民中随机选取100人进行调查，调查情况如下表：
年龄段（单位：岁）
$[15, 25)$
$[25, 35)$
$[35, 45)$
$[45, 55)$
$[55, 65)$
$[65, 75]$
被调查的人数
10
15
20
$m$
25
5
赞成的人数
6
12
$n$
20
12
2

(1)、从赞成“延迟退休”的人中任选1人，此年龄在 $[35, 45)$ 的概率为 $\frac{1}{5}$ ，求出表格中 $m$ ， $n$ 的值；

(2)、若从年龄在 $[45, 55)$ 的参与调查的市民中按照是否赞成“延迟退休”进行分层抽样，从中抽取10人参与某项调查，然后再从这10人中随机抽取4人参加座谈会，记这4人中赞成“延迟退休”的人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及数学期望．

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5、“以直代曲”是微积分中的重要思想方法，牛顿曾用这种思想方法求高次方程的根．如图，r是函数 $f (x)$ 的零点，牛顿用“作切线”的方法找到了一串逐步逼近r的实数 $x_{0}$ ， $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， …， $x_{n}$ ，其中 $x_{1}$ 是 $f (x)$ 在 $x = x_{0}$ 处的切线与x轴交点的横坐标， $x_{2}$ 是 $f (x)$ 在 $x = x_{1}$ 处的切线与x轴交点的横坐标，…，依次类推．当 $|x_{n} - r|$ 足够小时，就可以把 $x_{n}$ 的值作为方程 $f (x) = 0$ 的近似解．若 $f (x) = \frac{1}{15} x^{3} - \frac{3}{5} x^{2} + 2 x - \frac{12}{5}$ ， $x_{0} = 4$ ，则方程 $f (x) = 0$ 的近似解 $x_{1} =$ ．

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6、中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设 $a, b, m (m > 0)$ 为整数，若 $a$ 和 $b$ 被m除得的余数相同，则称 $a$ 和 $b$ 对模m同余，记为 $a = b (\mod m)$ .若 $a = C_{20}^{0} + C_{20}^{1} \cdot 2 + C_{20}^{2} \cdot 2^{2} + \dots + C_{20}^{20} \cdot 2^{20}$ ， $a = b (\mod 8)$ ，则 $b$ 的值可以是（）

A、2025 B、2026 C、2017 D、2018

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7、一个袋子有10个大小相同的球，其中有4个红球，6个黑球，试验一：从中随机地有放回摸出3个球，记取到红球的个数为 $X_{1}$ ，期望和方差分别为 $E (X_{1})$ ， $D (X_{1})$ ；试验二：从中随机地无放回摸出3个球，记取到红球的个数为 $X_{2}$ ，期望和方差分别为 $E (X_{2})$ ， $D (X_{2})$ ；则（）

A、 $E (X_{1}) = E (X_{2})$ B、 $E (X_{1}) > E (X_{2})$ C、 $D (X_{1}) > D (X_{2})$ D、 $D (X_{1}) < D (X_{2})$

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8、设函数 $y = f (x)$ 在区间 $(a, b)$ 上的导函数为 $f^{'} (x)$ ， $f^{'} (x)$ 在区间 $(a, b)$ 上的导函数为 $f^{″} (x)$ ，若在区间 $(a, b)$ 上 $f^{″} (x) < 0$ 恒成立，则称函数 $f (x)$ 在区间 $(a, b)$ 上为“凸函数”．已知 $f (x) = \frac{1}{12} x^{4} - \frac{1}{6} m x^{3} - \frac{3}{2} x^{2}$ 在 $(1, 3)$ 上为凸函数”，则实数m的取值范围是（）

A、 $(- \infty, \frac{31}{9})$ B、 $[\frac{31}{9}, 5]$ C、 $(- \infty, - 2)$ D、 $[2, + \infty)$

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9、已知函数 $f (x) = |x + 2| + |x + m| (m \in R)$ ，且 $f (x) \leq 4$ 的解集为 $[- \frac{5}{2}, \frac{3}{2}] .$

(1)、求 $m$ 的值；

(2)、设函数 $g (x) = |x - a| (a \in R)$ ，若存在 $x \in [0, 1]$ 使 $f (x) > g (x)$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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10、在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 $ρ + |\frac{2 \sqrt{3}}{3} cos θ| = |2 sin θ|$

(1)、求曲线C的直角坐标方程；

(2)、求曲线 C围成的图形的面积.

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11、已知函数 $f (x) = \ln x, g (x) = \frac{e^{x}}{e} - 1$ .

(1)、记函数 $h (x) = f (x) - g (x)$ ，求函数 $h (x)$ 的极大值点；

(2)、记函数 $m (x) = f (x) - a g (x)$ ，讨论函数 $m (x)$ 的零点个数.

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12、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0 ）$ 的左右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ， C的右顶点到直线 $l : x = \frac{a^{2}}{c}$ 的距离为 $\sqrt{3} - 1$ ，双曲线右支上的点到 $F_{1}$ 的最短距离为 $3 + \sqrt{3} ，$

(1)、求双曲线C的方程；

(2)、过 $F_{2}$ 的直线与C交于M、N两点，连接 $M F_{1}$ 交l于点Q，证明：直线QN过x轴上一定点.

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13、三角形 $A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $\frac{1 + \sin 2 B + \cos 2 B}{\sin 2 B + 2 \sin^{2} B} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $A C$ 边上的中线长为2，求 $b$ 的最小值.

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14、正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2， $E, F, G$ 分别是 $C C_{1}, B C, A D$ 的中点.

(1)、求证： $C G$ $/ /$ 面 $D_{1} E F$ ；

(2)、求点 $G$ 到平面 $D_{1} E F$ 的距离.

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15、为了提高某海洋公园的知名度，吸引更多游客游玩.公园管理团队决定进行自媒体直播，线上与线下同时进行门票销售，助力该海洋公园的发展.团队在前7个月的直播中，门票销售额如下表所示：
时间代码x（单位：月）
1
2
3
4
5
6
7.
销售额y（单位：万元）
0.84
1.37
2.76
4.43
5.49
7.66
8.94
对数据进行处理后，得到如下统计量的值（符合线性回归关系）：
$\bar{y}$
$\begin{matrix} \sum_{i = 1}^{7} x_{i} y_{i} \end{matrix}$
$\sum_{i = 1}^{7} x_{i}^{2}$
4.5
165.2
140
参考公式： $\hat{b} = \frac{\begin{matrix} \sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} \end{matrix} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}} ， \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x} .$

(1)、根据表格中的数据，求出y关于x的线性回归方程；

(2)、若直播当月销售额超过12万元，能被相关部门评选为“优秀管理团队”，请预测该团队在直播后的第几个月能被评选为“优秀管理团队”.

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16、数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = \frac{π}{4},cos a_{n} = \frac{1}{tan a_{n + 1}} (n \in N^{*}), a_{n} \in (0, \frac{π}{2})$ ，若不等式 $sin a_{1} \cdot sin a_{2} \dots sin a_{m} \geq \frac{1}{6}$ 恒成立，则正整数 $m$ 的最大值为.

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17、已知正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的上下底面边长分别为4，6，若正四棱台的外接球的表面积为 $104 π$ ，则正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的体积

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18、已知函数 $f (x) = \frac{3}{2} \sin ω x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos ω x (ω > 0)$ 对任意的 $x \in R$ ，都有 $f (x) \leq f (\frac{π}{4})$ ，则 $ω$ 的最小值为.

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19、2024年2月，教育部办公厅印发通知，就实施银龄教师支持民办教育行动有关工作进行部署.明确组织遴选一批优秀退休教师，面向各级各类民办学校，特别是民办高校开展支教、支研.某省现有符合条件的退休教师 $600$ 人，随机编号为 $001, 002, \dots, 600$ ，现采用系统抽样方法抽取 $24$ 人参加对口支教活动，分组后在第一组随机抽得的编号为 $006$ ，则在第五组中应抽取的编号为.

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20、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，点 $P$ 是椭圆上一点，若 $△ P F_{1} F_{2}$ 的内心为 $M$ ，连接 $P M$ 并延长交 $x$ 轴于点 $Q$ ，且 $|P M| = \sqrt{3} |Q M|$ ，则椭圆的短轴长为（）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $\frac{4 \sqrt{6}}{3}$

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年龄段（单位：岁）	$[15, 25)$	$[25, 35)$	$[35, 45)$	$[45, 55)$	$[55, 65)$	$[65, 75]$
被调查的人数	10	15	20	$m$	25	5
赞成的人数	6	12	$n$	20	12	2

时间代码x（单位：月）	1	2	3	4	5	6	7.
销售额y（单位：万元）	0.84	1.37	2.76	4.43	5.49	7.66	8.94

$\bar{y}$	$\begin{matrix} \sum_{i = 1}^{7} x_{i} y_{i} \end{matrix}$	$\sum_{i = 1}^{7} x_{i}^{2}$
4.5	165.2	140