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相关试卷

1、若复数 $z = 2 + i$ （i为虚数单位），则 $\frac{z}{\bar{z}} =$ （）

A、 $\frac{3 - 4 i}{5}$ B、 $\frac{4 - 3 i}{5}$ C、 $\frac{3 + 4 i}{5}$ D、 $\frac{4 + 3 i}{5}$

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2、若集合 $A = \{x ∣ a x^{2} + 1 = 0\}$ 是空集，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0, + \infty)$ B、 $[0, + \infty)$ C、 $(- \infty, 0)$ D、 $(- \infty, 0]$

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3、已知函数 $f (x) = a \ln x - 2 a x + \frac{x^{2}}{2} (a > 0)$ ．
（1）讨论 $f (x)$ 的单调性；
（2）若 $f (x)$ 有两个极值点 $x_{1}$ 、 $x_{2} (x_{1} \neq x_{2})$ ，且不等式 $f (x_{1}) + f (x_{2}) < λ (\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$ 恒成立，求实数 $λ$ 的取值范围．

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4、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，该椭圆的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，且椭圆上动点 $M$ 与点 $F_{1}$ 的最大距离为3.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、如图，若直线 $l$ 与 $x$ 轴､椭圆 $C$ 顺次交于 $P, Q, R$ （点 $P$ 在椭圆左顶点的左侧），且 $∠ P F_{1} Q + ∠ P F_{1} R = π$ ，求 $△ R Q F_{1}$ 面积的最大值.

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5、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{1} = 2, a_{n + 1} - a_{n} = 2^{n}$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若数列 $\{b_{n}\}$ 的首项为1，其前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $n S_{n + 1} - (n + 1) S_{n} = \frac{n (n + 1)}{2}$ ，证明：若 $\forall n \in N^{*}, \frac{2 b_{1}}{a_{1}} + \frac{2 b_{2}}{a_{2}} + \dots + \frac{2 b_{n}}{a_{n}} \geq 1$ .

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6、下图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案，图形的作法是：从一正三角形开始，把每条边三等分，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线.
若第1个图中的三角形的周长为1，则第 $n$ 个图形的周长为
若第1个图中的三角形的面积为1，则第 $n$ 个图形的面积为.

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7、已知函数 $f (x) = \frac{e^{x} (2 x - 1)}{x - 1}$ ，若方程 $f (x) - k = 0$ 有2个不同的实根，则实数 $k$ 的取值范围是.

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8、如图，已知直线 $l$ 与抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 交于 $A, B$ 两点，且 $O A ⊥ O B, O D ⊥ A B$ 交 $A B$ 于点 $D$ ，则（）

A、若点 $D$ 的坐标为 $(2, 1)$ ，则 $p = \frac{5}{4}$ B、直线 $l$ 恒过定点 $(p, 0)$ C、点 $D$ 的轨迹方程为 $x^{2} + y^{2} - 2 p x = 0 (x \neq 0)$ D、 $△ A O B$ 的面积的最小值为 $4 p^{2}$

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9、已知 $f (x) = a x - e^{a x}, x \in R$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的值域为 $R$ B、 $a \neq 0$ 时， $f (x)$ 恒有极值点 C、 $g (x) = f (x) - \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 恒有零点 D、对于 $x \in R, f (x) \leq (1 - e) a x$ 恒成立

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10、已知正四棱锥的侧棱长为 $l$ ，其各顶点都在同一球面上.若该球的表面积为 $36 π$ ，且 $3 \leq l \leq 4 \sqrt{2}$ ，则该正四棱锥体积的最大值是（）

A、18 B、 $\frac{81}{4}$ C、 $\frac{64}{3}$ D、27

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11、已知 $e \approx 2.71828$ 是自然对数的底数，设 $a = \sqrt{3} - \frac{3}{e}, b = \sqrt{2} - \frac{2}{e}, c = e^{\sqrt{2} - 1} - \ln 2$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $b < c < a$ D、 $c < a < b$

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12、如图，二面角 $α - l - β$ 等于135°， $A$ ， $B$ 是棱 $l$ 上两点， $B D$ ， $A C$ 分别在半平面 $α$ ， $β$ 内， $A C ⊥ l$ ， $B D ⊥ l$ ，且 $A B = A C = 2$ ， $B D = \sqrt{2}$ ，则 $C D =$ （）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{14}$ D、4

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13、电力公司从某小区抽取100户居民用户进行12月用电量调查，发现他们的月用电量都在 $50 \sim 650 kW \cdot h$ 之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示.

(1)、求 $a$ 的值及这100户的用电量的平均数；

(2)、力公司拟对用电量超过 $M (kW \cdot h)$ 的家庭的电器进行检测，若 $M$ 恰好为第71百分位数，求 $M$ .

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14、在三棱锥 $P - A B C$ 中，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C, A B = 2 \sqrt{3}$ ， $B C = 2, A C = 4, △ P A B$ 是等腰直角三角形， $P A = P B$ .

(1)、求证： $P A ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、求异面直线 $P B$ 与 $A C$ 的夹角的余弦值；

(3)、设点 $T$ 是三棱锥 $P - A B C$ 外接球上一点，求 $T$ 到平面 $P B C$ 距离的最大值.

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15、如图，两个正四棱锥的底面都为正方形 $A B C D$ ，顶点 $M, N$ 位于底面两侧， $|A B| = 2, A M ⊥ A N$ ．记正四棱锥 $M - A B C D$ 的体积为 $V_{1}$ ，正四棱锥 $N - A B C D$ 的体积为 $V_{2}$ ．

(1)、求 $V_{1} + V_{2}$ 的最小值；

(2)、若 $V_{1} = 2 V_{2}$ ，求直线 $A M$ 与平面 $B C N$ 所成角的正弦值．

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16、某中学体育组对高三的800名男生做了单次引体向上的测试，得到了如图所示的频率分布直方图（引体向上个数只记整数）．体育组为进一步了解情况，组织了两个研究小组．

(1)、第一小组决定从单次完成1~15个引体向上的男生中，采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取22人进行全面的体能测试．
①在单次完成6~10个引体向上的所有男生中，男生甲被抽到的概率是多少？
②该小组又从这22人中抽取3人进行个别访谈，记抽到“单次完成引体向上1~5个”的人数为随机变量X，求X的分布列；

(2)、第二小组从学校学生的成绩与体育锻炼相关性角度进行研究，得到了这800人的学业成绩与体育成绩之间的 $2 \times 2$ 列联表．
体育成绩
学业成绩
合计
优秀
不优秀
不优秀
200
400
600
优秀
100
100
200
合计
300
500
800
根据小概率值 $a = 0.005$ 的独立性检验，分析体育锻炼是否与学业成绩有关？
参考公式：独立性检验统计量 $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
临界值表：
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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17、已知在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 1, a_{n + 1} = \frac{2 (n + 1)}{n} a_{n} \cdot (n \in N^{*})$

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若数列 $\{b_{n}\}$ 的通项公式 $b_{n} = \frac{a_{n}}{n}$ 在 $b_{k}$ 和 $b_{k + 1}$ 之间插入k个数，使这 $k + 2$ 个数组成等差数列，将插入的k个数之和记为 $c_{k}$ ，其中 $k = 1$ ， 2，…，n，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前n项和．

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18、已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + ϕ) (ω > 0 ， | ϕ | < π)$ 的部分图象如下图所示，且 $A (\frac{π}{2} ， 1) ， B (π ， - 1)$ ，则 $ϕ$ 的值为．

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19、过点 $M (- 3, - 3)$ 且互相垂直的两直线与圆 $x^{2} + y^{2} + 4 y - 21 = 0$ 分别相交于A、B和C、D，若 $|A B| = |C D|$ ，则四边形ACBD的面积等于．

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20、已知圆台下底面的半径为2，高为2，母线长为 $\sqrt{5}$ ，则这个圆台的体积为

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体育成绩	学业成绩		合计
体育成绩	优秀	不优秀	合计
不优秀	200	400	600
优秀	100	100	200
合计	300	500	800

α	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828