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相关试卷

1、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 2, 2 S_{n} = (n + 1) a_{n}, n \in N^{*}$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = \frac{2}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $M_{n}$ ，是否存在正整数 $m, n (2 < m < n)$ ，使得 $M_{2}, M_{m}, M_{n}$ 成等差数列？若存在，求出 $m, n$ 的值，若不存在，说明理由；

(3)、记 $c_{n} = {(\sqrt{2})}^{a_{n}} - 1$ ，证明： $\frac{2}{c_{1}^{2}} + \frac{2^{2}}{c_{2}^{2}} + \frac{2^{3}}{c_{3}^{2}} + \dots + \frac{2^{n}}{c_{n}^{2}} < 3$ ．

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2、已知数列 $\{a_{n}\}$ 为等差数列， $a_{1} + a_{2} = - 35$ ， $a_{4} + a_{5} = - 17$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 中，点 $(b_{n}, T_{n})$ 在直线 $y = - x + 1$ 上，其中 $T_{n}$ 是数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和.

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 前 $n$ 项和 $S_{n}$ 的最小值；

(2)、若 $c_{n} = (a_{n} + 20) b_{n}$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $G_{n}$ ；

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3、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，满足 $a_{2} + a_{4} = 10$ ， $S_{7} = 49$ .

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = {(- 1)}^{n} a_{n}$ ，求 $b_{1} + b_{2} + b_{3} + \dots + b_{20}$ .

(3)、求 $\frac{1}{a_{1} a_{2}} + \frac{1}{a_{2} a_{3}} + \dots + \frac{1}{a_{9} a_{10}}$ .

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4、在等比数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{1} + a_{3} = 5$ .

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $a_{n} a_{n + 1} > 0$ ，数列的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求使得 $S_{n} > 62$ 的最小 $n$ 值.

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5、等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{5} + a_{6} = a_{11}$ ， $a_{5} - a_{3} = 6$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求 $a_{5}$ 和 $a_{8}$ 的等差中项.

(3)、求 $S_{15} - S_{10}$ .

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6、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 2$ ， $2 S_{n} = a_{n + 1} - 2 n - 2$ .将数列 $\{a_{n}\}$ 与数列 $\{2 n - 1\}$ 里面的数照从小到大的规则混合排列，得到一个新的数列 $\{b_{n}\}$ ，则新的数列的前100项的和为.

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7、在2与18中间插入7个数使这9个数成等差数列，则该数列的第5项是.

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8、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{1} + 2 a_{2} + \dots + 2^{n - 1} a_{n} = \frac{n^{2} + n}{2} (n \in N^{*})$ ，则（）

A、 $a_{1} = 1$ B、 $a_{n} = \frac{n + 1}{2^{n}}$ C、 $\{a_{n}\}$ 为递减数列 D、 $S_{n} = 4 - \frac{n + 2}{2^{n - 1}}$

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9、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 前n项和为 $S_{n}$ ，公差为 $d (d \neq 0)$ ， $a_{4}$ 是 $a_{1}$ 和 $a_{6}$ 的等比中项，则（）

A、 $a_{10} = 0$ B、数列 $\{a_{n}\}$ 是递增数列 C、 $S_{19} = 0$ D、 $S_{n}$ 有最大值为 $S_{9}$

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10、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 首项为8， $a_{n} - 2 a_{n + 1} = 0$ ，以下结论正确的有（）

A、数列是递增数列 B、 $a_{6}$ 是 $a_{2}$ 和 $a_{10}$ 的等比中项 C、前 $n$ 项的乘积有最大值 D、前 $n$ 项的和有最大值

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11、数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \frac{n}{n + 1}$ （ $n$ 为正整数），则 $a_{2022}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2022}$ B、 $\frac{1}{2021}$ C、 $\frac{2021}{2022}$ D、 $\frac{2022}{2021}$

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12、已知正项等差数列 $\{a_{n}\}$ 的首项为2，若 $a_{1}, a_{2}, a_{3} + 1$ 成等比数列，则 $a_{4} =$ （）

A、 $2 + 3 \sqrt{2}$ B、 $- 2 + 3 \sqrt{2}$ C、 $2 - 3 \sqrt{2}$ D、 $2 + 3 \sqrt{2}$ 或 $2 - 3 \sqrt{2}$

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13、函数 $f (x) = x^{2} - x$ 在区间 $[1, 3]$ 上的平均变化率为（）

A、6 B、3 C、2 D、1

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14、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 4, a_{5} = 12$ ，则 $S_{6}$ 等于（）

A、56 B、53 C、55 D、54

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15、若一数列的前4项分别为 $\frac{1}{3}, - \frac{1}{5}, \frac{1}{7}, - \frac{1}{9}$ ，则该数列的通项公式可能为（）

A、 $a_{n} = \frac{{(- 1)}^{n + 1}}{2 n + 1}$ B、 $a_{n} = \frac{{(- 1)}^{n}}{2 n + 1}$ C、 $a_{n} = \frac{{(- 1)}^{n + 1}}{2 n - 1}$ D、 $a_{n} = \frac{{(- 1)}^{n}}{2 n - 1}$

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16、已知 $p : |2 x - 5| \leq 3$ ， $q : x^{2} - (a + 2) x + 2 a \leq 0$ .
（1）若 $p$ 是真命题，求对应 $x$ 的取值范围；
（2）若 $p$ 是 $q$ 的必要不充分条件，求 $a$ 的取值范围.

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17、（1）求函数 $y = \frac{x^{2} - 3 x + 3}{x - 1}, x \in (1, + \infty)$ 的最小值及取得最小值时的 $x$ ；
（2）求函数 $y = 2 x + 4 \sqrt{1 - x}$ 的值域.

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18、（1）设函数 $f (x)$ 的定义域为 $[0, 1]$ ，求下列函数的定义域：
① $f (x^{2})$ ；② $f (\sqrt{x} - 2)$ .
（2）函数 $y = f (x + 1)$ 的定义域是 $[- 2, 3]$ ，求函数 $y = f (2 x - 1)$ 的定义域.

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19、在中学阶段，对许多特定集合（如实数集等）的学习常常是以定义运算（如四则运算）和研究运算律为主要内容.现设集合 $A$ 由全体二元有序实数组组成，在 $A$ 上定义一个运算，记为 $⊙$ ，对于 $A$ 中的任意两个元素 $α = (a, b), β = (c, d)$ ，规定： $α ⊙ β = (a d + b c, b d - a c)$ .则 $(2, 3) ⊙ (- 1, 4) =$ .

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20、已知函数 $f (x) = x^{2}$ 的值域为 $[0, 36]$ ，则 $f (x)$ 的定义域可能为（）

A、 $[2, 6]$ B、 $[- 2, 6]$ C、 $[- 6, 6]$ D、 $[0, 6]$

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