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相关试卷

1、如图，在四棱锥 $E - A B C D$ 中，底面四边形 $A B C D$ 是正方形， $A E ⊥$ 平面 $C D E$ ，二面角 $E - A B - D$ 为 $\frac{π}{4}$ .

(1)、证明：平面 $A D E ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求直线 $B E$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正弦值.

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2、某景区经过提质改造后统计连续5天进入该景区参观的人数（单位：千人）如下：
日期
3月5日
3月6日
3月7日
3月8日
3月9日
第x天
1
2
3
4
5
参观人数y
2.2
2.6
3.1
5.2
6.9

(1)、建立 $y$ 关于 $x$ 的回归直线方程，预测第10天进入该景区参观的人数；

(2)、该景区只开放东门，西门供游客出入，游客从东门，西门进入该景区的概率分别为 $\frac{3}{4}$ 、 $\frac{1}{4}$ ，且出景区与进入景区选择相同的门的概率为 $\frac{1}{5}$ ，出景区与进入景区选择不同的门的概率为 $\frac{4}{5}$ .假设游客从东门，西门出入景区互不影响，求甲，乙两名游客都从西门出景区的概率.
附：参考数据： $\sum_{i = 1}^{5} x_{i} y_{i} = 72, \sum_{i = 1}^{5} x_{i}^{2} = 55, \bar{y} = 4$ .
参考公式：回归直线方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，其中 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .

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3、已知函数 $f (x) = cos(ω x - \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 在区间 $(- π, π)$ 上有且仅有1个零点和1条对称轴，则实数 $ω$ 的取值范围是.

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4、若函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 1 - a x, x \leq 1 \\ x ln x, x > 1 \end{array}$ 有最小值，则实数 $a$ 的取值范围是.

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5、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，空间中的点 $P$ 满足 $\vec{A P} = \vec{A D} + λ \vec{A B} + μ \vec{A A_{1}}$ ，且 $λ \in [0, 1], μ \in[0, 1]$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $μ = 1$ ，则 $B P ⊥ A_{1} D$ B、若 $A P = \sqrt{5}$ ，则 $λ + 2 μ$ 的最大值为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ C、若 $λ = 1$ ，则平面 $B P D_{1}$ 截该正方体的截面面积的最小值为 $\sqrt{6}$ D、若 $λ + μ = 1$ ，则平面 $A C D_{1}$ 与平面 $A B_{1} P$ 夹角的正切值的最小值为 $2 \sqrt{2}$

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6、已知连续函数 $y = f (x)$ 是定义域为 $R$ 的偶函数，且在区间 $(0, + \infty)$ 上单调递增，则下列说法正确的是（）

A、函数 $y = x^{2} + f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增 B、函数 $y = x^{2} f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增 C、函数 $y = f (x^{2})$ 存在极小值点 D、“ $f (0) \geq 1$ ”是“ $f (x + 1) + x e^{x + 1} \geq 0$ ”的充要条件

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7、设样本空间 $Ω = \{5, 6, 7, 8\}$ ，且每个样本点是等可能的，已知事件 $A = \{5, 6\}, B = \{5, 7\}, C = \{5, 8\}$ ，则下列结论正确的是（）

A、事件A与B为互斥事件 B、事件 $A, B, C$ 两两独立 C、 $P (A B C) = P (A) P (B) P (C)$ D、 $P (A ∣ C) = P (C ∣ A)$

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8、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，点 $P$ 在椭圆上，连接 $P F_{1}$ 并延长交椭圆 $C$ 于点 $N$ .若 $P F_{1} ⊥ P F_{2}$ ，且 ${\vec{P F}}_{1} = 4 \vec{F_{1} N}$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{7}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{13}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{17}}{5}$

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9、已知 $cos 2 α = 2 {sin}^{2} β - \frac{5}{6}, cos (α - β) = \frac{1}{4}$ ，则 $tan α tan β =$ （）

A、 $\frac{1}{7}$ B、7 C、 $- \frac{1}{7}$ D、 $- 7$

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10、从1，2，3，4，5，6，7这7个数任选3个不同数排成一个数列，则得到的数列为等差数列的概率为（）

A、 $\frac{3}{35}$ B、 $\frac{3}{70}$ C、 $\frac{9}{35}$ D、 $\frac{18}{35}$

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11、下列不等式正确的是（）

A、 ${0.3}^{0.3} > {0.3}^{0.2}$ B、 ${log}_{0.2} 0.3 > {log}_{0.2} 0.2$ C、 $2^{0.3} > 3^{0.2}$ D、 ${log}_{2} 0.3 < {log}_{3} 0.2$

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12、已知复数 $z$ 满足： $z - \frac{1}{z} = 2 i$ ，则 $|z| =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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13、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{1} = 1$ ，且 $a_{n + 1} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} (n \in N^{*})$ ，则（）

A、 $a_{2} = 2$ B、 $a_{4} = 8$ C、 $S_{2} = 3$ D、 $S_{5} = 16$

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14、命题“ $\exists x \in R, x^{2} + x + 2 = 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x \in R, x^{2} + x + 2 \neq 0$ B、 $\exists x \in R, x^{2} + x + 2 > 0$ C、 $\forall x \in R, x^{2} + x + 2 \neq 0$ D、 $\forall x \in R, x^{2} + x + 2 = 0$

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15、已知集合 $A = \{x| (x + 1) (x - 3) \leq 0\}, B = {- 3, - 2, - 1, 1, 2, 3}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 2, - 1\}$ B、 $\{- 1, 1, 2, 3\}$ C、 $\{1, 2\}$ D、 $\{- 3, - 2, - 1\}$

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16、已知函数 $f (x) = (x^{2} - m) e^{x}$ 在 $x = 0$ 处的切线与直线 $y = x - 1$ 垂直.

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $f (x) \geq a x - 1$ 对任意 $x \in (- 1, + \infty)$ 恒成立，求实数 $a$ 的值；

(3)、对于函数 $f (x)$ ，规定： $f^{'} (x) = {[f (x)]}^{'}, f^{(2)} (x) = {[f^{'} (x)]}^{'}, \dots, f^{(n)} (x) = {[f^{(n - 1)} (x)]}^{'}$ ， $f^{(n)} (x)$ 叫做函数 $f (x)$ 的 $n$ 阶导数 $(n \in N^{*})$ .若对任意 $x \in (- 1, + \infty), f^{(n)} (x) > 0$ 恒成立，求满足条件的正整数 $n$ 的最小值.

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17、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，上顶点为 $P$ ，长轴长为 $4 \sqrt{2}$ ， $∠ F_{1} P F_{2} = \frac{π}{2}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程.

(2)、若椭圆 $C$ 上的两动点 $A$ ， $B$ 均在 $x$ 轴上方，且 $A F_{1} // B F_{2}$ ，求证： $\frac{1}{|A F_{1}|} + \frac{1}{|B F_{2}|}$ 的值为定值.

(3)、在（2）的条件下求四边形 $A B F_{2} F_{1}$ 的面积 $S$ 的取值范围.

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18、已知复数 $z, \bar{z}, z^{2}$ ，在复平面内对应的点分别为A，B，C，其中A在第一象限，且原点O是 $△ A B C$ 的外心.

(1)、求 $| z |$ .

(2)、记 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ${(b + c)}^{2} = a^{2} + 4 b c \sin^{2} \frac{A}{2}$ .
（i）证明： $△ A B C$ 是直角三角形；
（ii）求 $△ A B C$ 的面积.

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19、平面内，动点 $M (x, y)$ 与定点 $F (\sqrt{3}, 0)$ 的距离和 $M$ 到定直线 $l : x = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ 的距离的比是常数 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，记动点 $M$ 的轨迹为曲线 $E$ ．

(1)、求曲线 $E$ 的方程；

(2)、 $O$ 为坐标原点， $A, B$ 为曲线 $E$ 上不同两点，经过 $A, B$ 两点的直线与圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 相切，求 $△ O A B$ 面积的最大值．

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20、某校开设农耕劳动教育课，共设置了两类课程：农作物种植和田间管理，学校对选择这两类课程的学生人数进行了统计，数据记录在如下表格.
男生
女生
农作物种植课程
160
80
田间管理课程
40
120

(1)、根据小概率值 $α = 0.001$ 的独立性检验，判断男生和女生在选择课程的偏好上是否有差异.

(2)、选择农作物种植课程的学生被分为6个小组，各小组种植的农作物存活率 $x_{i} % (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6)$ 分别为 $50 %$ ， $70 %$ ， $60 %$ ， $66 %$ ， $72 %$ ， $84 %$ .学校为了解存活率的偏差情况，需计算偏差系数w，其值越大，对大偏差数据的体现越明显.现给出两种计算偏差系数的方式：① $w_{1} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} | x_{i} - \bar{x} |$ ， ② $w_{2} = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ，请比较哪一种方式对大偏差数据的体现更明显.
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ .
$α$
0.05
0.01
0.001
$x_{α}$
3.841
6.635
10.828

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日期	3月5日	3月6日	3月7日	3月8日	3月9日
第x天	1	2	3	4	5
参观人数y	2.2	2.6	3.1	5.2	6.9

	男生	女生
农作物种植课程	160	80
田间管理课程	40	120

$α$	0.05	0.01	0.001
$x_{α}$	3.841	6.635	10.828