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相关试卷

1、在 $△ A B C$ 中， $a, b, c$ 为角 $A, B, C$ 对应的边， $S$ 为 $△ A B C$ 的面积.且 $a b \sin B - a ^{2} \sin A = 2 S (1 - \frac{\sin C}{\sin B})$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $a = 2$ ，求 $△ A B C$ 内切圆半径的最大值.

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2、如图，四边形 $P D C E$ 为矩形，直线 $P D$ 垂直于梯形 $A B C D$ 所在的平面. $∠ A D C = ∠ B A D = 90 ^{\circ}$ ， $F$ 是线段 $P A$ 的中点， $P D = \sqrt{2}$ ， $A B = A D = \frac{1}{2} C D = 1$ .

(1)、求证： $A C / /$ 平面 $D E F$ ；

(2)、求点 $F$ 到平面 $B C P$ 的距离.

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3、某市举办了党史知识竞赛，从中随机抽取部分参赛选手，统计成绩后对统计数据整理得到如图所示的频率分布直方图.

(1)、试估计全市参赛者成绩的第40百分位数（保留小数点后一位）和平均数（单位：分）；

(2)、若用按比例分配的分层随机抽样的方法从 $[50, 60)$ ， $[60, 70)$ ， $[70, 80)$ 三层中抽取一个容量为6的样本，再从这6人中随机抽取两人.求抽取的两人都及格（大于等于60分为及格）的概率.

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4、在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A A_{1} = 4$ ， $E$ 为线段 $C C_{1}$ 上动点， $D$ 为 $B C$ 边中点，则三棱锥 $A - B D E$ 外接球表面积的最小值为.

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5、已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $|\vec{b}| = 3$ ，向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $- \frac{1}{6} \vec{b}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ .

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6、已知圆锥体积为 $3 π$ ，表面积是底面积的 $3$ 倍，则该圆锥的母线长为.

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7、如图所示，在直角梯形 $B C E F$ 中， $∠ C B F = ∠ B C E = 90^{\circ}$ ， $A$ ， $D$ 分别是 $B F$ ， $C E$ 上的点，且 $A D / / B C$ ， $A B = E D = 2 B C = 2 A F = 2$ ，将四边形 $A D E F$ 沿 $A D$ 向上折起，连接 $B E$ ， $B F$ ， $C E$ .在折起的过程中，下列结论正确的是（）

A、 $A C / /$ 平面 $B E F$ B、 $B E$ 与 $A D$ 所成的角先变大后变小 C、几何体 $E F A B C D$ 体积有最大值 $\frac{5}{3}$ D、平面 $B C E$ 与平面 $B E F$ 不可能垂直

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8、在平面直角坐标系中，可以用有序实数对表示向量.类似的，可以把有序复数对 $(z_{1}, z_{2}) (z_{1}, z_{2} \in C)$ 看作一个向量，记 $\vec{a} = (z_{1}, z_{2})$ ，则称 $\vec{a}$ 为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于 $\vec{a} = (z_{1}, z_{2})$ ， $\vec{b} = (z_{3}, z_{4})$ ， $z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4} \in C$ ，规定如下运算法则：① $\vec{a} + \vec{b} = (z_{1} + z_{3}, z_{2} + z_{4})$ ；② $\vec{a} - \vec{b} = (z_{1} - z_{3}, z_{2} - z_{4})$ ；③ $\vec{a} \cdot \vec{b} = z_{1} \bar{z_{3}} + z_{2} \bar{z_{4}}$ ；④ $|\vec{a}| = \sqrt{\vec{a} \cdot \vec{a}}$ .则下列结论正确的是（）

A、若 $\vec{a} = (i, 1 + i)$ ， $\vec{b} = (2, 2 - i)$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 + 5 i$ B、若 $|\vec{a}| = 0$ ，则 $\vec{a} = (0, 0)$ C、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$ D、 $\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}$

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9、四名同学各掷骰子7次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，判断可能出现了点数6的是（）

A、中位数为3，极差为3 B、平均数为2，第 $80$ 百分位数为4 C、平均数为3，中位数为4 D、平均数为3，方差为1

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10、在平行四边形 $A B C D$ 中， $∠ B A D = \frac{2 π}{3}$ ， $A B = 1$ ， $A D = 2$ ， $P$ 是以 $C$ 为圆心， $\sqrt{3}$ 为半径的圆上一动点，且 $\vec{A P} = λ \vec{A B} + μ \vec{A D}$ ，则 $λ + μ$ 的最大值为（）

A、 $2 + \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{7} + \sqrt{3}$ C、 $2 + \sqrt{7}$ D、 $2 + \frac{\sqrt{21}}{7}$

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11、掷一枚质地均匀的骰子3次，则三个点数之和大于14的概率为（）

A、 $\frac{17}{216}$ B、 $\frac{5}{54}$ C、 $\frac{4}{27}$ D、 $\frac{35}{216}$

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12、如图，圆台 $O O_{1}$ 的轴截面是等腰梯形 $A B C D$ ， $A B = B C = 2 C D = 4$ ， $E$ 为下底面 $⊙ O$ 上的一点，且 $A E = \sqrt{3} B E$ ，则直线 $C E$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正切值为（）

A、2 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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13、在 $△ A B C$ 中， $a$ ， $b$ ， $c$ 为角 $A$ ， $B$ ， $C$ 对应的边，则“ $a c o s C - a s i n C = b - c$ ”是“ $△ A B C$ 为直角三角形”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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14、甲乙两人进行三分远投比赛，甲、乙每次投篮命中的概率分别为0.5和0.4，且两人之间互不影响.若两人分别投篮一次，则两人中至少一人命中的概率为（）

A、0.6 B、0.7 C、0.8 D、0.9

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15、已知 $l, m$ ， $n$ 是不同的直线， $α$ ， $β$ ， $γ$ 是不同的平面，则下列结论正确的是（）

A、若 $m / / α$ ， $n / / α$ ，则 $m / / n$ B、若 $m / / α$ ， $m / / β$ ，则 $α / / β$ C、若 $m / / α$ ， $α / / β$ ，则 $m / / β$ D、若 $α ⊥ γ$ ， $β ⊥ γ$ ， $α \cap β = l$ ，则 $l ⊥ γ$

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16、某商场组织了一次幸运抽奖活动，袋中装有标号分别为1~8的8个大小形状相同的小球，现抽奖者从中抽取1个小球.事件 $A =$ “取出的小球编号为奇数”，事件 $B =$ “取出的小球编号为偶数”，事件 $C =$ “取出的小球编号小于6”，事件 $D =$ “取出的小球编号大于6”，则下列结论错误的是（）

A、 $A$ 与 $B$ 互斥 B、 $A$ 与 $B$ 互为对立事件 C、 $C$ 与 $D$ 互为对立事件 D、 $B$ 与 $D$ 相互独立

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17、已知复数 $z$ 满足 $(1 + i) \cdot z = i^{2024}$ （ $i$ 为虚数单位），则 $z$ 的虚部为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{i}{2}$ D、 $- \frac{i}{2}$

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18、已知函数 $f (x) = a \ln x - \frac{x + 1}{x - 1}$ ， $a > 0$ ．

(1)、写出 $f (x)$ 的单调区间，并用单调性的定义证明；

(2)、若 $f (e) = 0$ ，解关于 $x$ 的不等式 $f (x) > 0$ ；

(3)、证明： $f (x)$ 恰有两个零点m， $n (m < n)$ ，且 $m + n > 2$ ．

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19、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，且 $P A = A D = 2$ ， $E$ 为线段 $P D$ 上的动点.

(1)、若 $E$ 为 $P D$ 的中点，求三棱锥 $D - A E C$ 的体积；

(2)、若 $\vec{E D} = 2 \vec{P E}$ ，问 $A B$ 上是否存在点 $M$ ，使得 $P M //$ 平面 $A E C$ ？若存在，请指明点 $M$ 的位置；若不存在，请说明理由；

(3)、求平面 $P A B$ 与平面 $P C D$ 所成锐二面角的余弦值.

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20、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，向量 $\vec{m} = (a, 2 b + c)$ ， $\vec{n} = (\cos C, \cos A)$ ，且 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ ， $D$ 为线段 $B C$ 上一点.

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $A D$ 为角 $A$ 的角平分线， $a = 7$ ， $△ A B C$ 的周长为15，求 $A D$ 的长.

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