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相关试卷

1、在正 $△ A B C$ 中， $D$ 为 $B C$ 的中点，则（）

A、 $〈 \vec{B A}, \vec{A D} 〉 = \frac{π}{6}$ B、 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = \frac{2}{3} {\vec{A D}}^{2}$ C、 $\vec{B D} = \vec{D A} - \vec{C A}$ D、 $\vec{B D}$ 在 $\vec{B A}$ 上的投影向量为 $\frac{1}{4} \vec{B A}$

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2、苏州双塔又称罗汉院双塔，位于江苏省苏州市凤凰街定慧寺巷的双塔院内，二塔“外貌”几乎完全一样（高度相等，二塔根据位置称为东塔和西塔）.某测绘小组为了测量苏州双塔的实际高度，选取了与塔底 $A$ ， $B$ （ $A$ 为东塔塔底， $B$ 为西塔塔底）在同一水平面内的测量基点 $C$ ，并测得 $A B = 22$ 米.在点 $C$ 测得东塔顶的仰角为 $45 ^{\circ}$ ，在点 $C$ 测得西塔顶的仰角为 $α (tan α = 1.5)$ ，且 $cos ∠ A C B = 0.75$ ，则苏州双塔的高度为（）

A、30米 B、33米 C、36米 D、44米

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3、从正四面体 $A B C D$ 的6条棱中任选2条，这2条棱所在直线互相垂直的概率为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{15}$ D、 $\frac{1}{5}$

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4、如图，在四棱锥 $O - A B C D$ 中，侧棱长均为 $\sqrt{2}$ ，正方形 $A B C D$ 的边长为 $\sqrt{3} - 1$ ， $E$ ， $F$ 分别是线段 $O B$ ， $O C$ 上的一点，则 $A E + E F + F D$ 的最小值为（）

A、2 B、4 C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $4 \sqrt{2}$

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5、若非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - 2 \vec{b}|$ ， $|\vec{b}| = \frac{1}{2}$ ，则（）

A、 $|\vec{a}|$ 的最大值为 $\frac{1}{4}$ B、 $|\vec{a}|$ 的最大值为1 C、 $|\vec{a}|$ 的最小值为 $\frac{1}{4}$ D、 $|\vec{a}|$ 的最小值为1

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6、若某圆台的上底面半径、下底面半径分别为1，2，高为5，将该圆台的下底面半径扩大为原来的2倍，上底面半径与高保持不变，则新圆台的体积比原圆台的体积增加了（）

A、1倍 B、2倍 C、3倍 D、4倍

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7、某公司共有940名员工，其中女员工有400人.为了解他们的视力状况，用分层随机抽样（按男员工、女员工进行分层）的方法从中抽取一个容量为47的样本，则男员工的样本量为（）

A、21 B、24 C、27 D、30

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8、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $b = 4 c$ ， $B = \frac{π}{3}$ ，则 $sin C =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{8}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ C、 $\frac{1}{8}$ D、 $\frac{1}{4}$

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9、设复数 $z = - 1 + \sqrt{3} i$ ，则 $i (z - \bar{z}) =$ （）

A、 $- 2 \sqrt{3}$ B、 $- 2 \sqrt{3} i$ C、 $- 2$ D、 $- 2 i$

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10、2024年4月25日，神舟十八号载人飞船在长二F遥十八运载火箭的托举下，成功将叶光富、李聪、李广送到中国空间站，圆满完成飞行任务，为纪念中国航天事业所取得的成就，发扬并传承中国航天精神，我市随机抽取1000名学生进行航天知识竞赛并记录得分（满分100分），将学生的成绩整理后分成五组，从左到右依次记为 $[50, 60)$ ， $[60, 70)$ ， $[70, 80)$ ， $[80, 90)$ ， $[90, 100]$ ，并绘制成如图所示的频率分布直方图.

(1)、求n的值并估计这1000名学生成绩的平均数和80%分位数（求平均数时同一组数据用该组区间的中点值作代表）；

(2)、现从以上各组中采用分层抽样的方法抽取240人，若第三、四、五各组中被抽取的学生成绩的平均数依次为 $75, 88, 96$ ，方差依次为 $2, 1, 1$ ，求这240人中分数在区间 $[70, 100]$ 的学生成绩的方差（精确到0.001）.

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11、如图，单位圆与 $x$ 轴交于A，B两点， $C$ 为圆上一动点， $∠ A O C = θ$ .

(1)、若 $θ = \frac{2}{3} π$ ，设点 $D$ 为线段OA上的动点，求 $| \vec{O C} + \vec{O D} |$ 的最小值：

(2)、若 $θ \in [- π, π]$ ，向量 $\vec{m} = \vec{B C}$ ， $\vec{n} = (1 - \cos θ, \sin θ - 2 \cos θ)$ .求 $f (θ) = \vec{m} \cdot \vec{n}$ 的最大值及对应 $θ$ 的值.

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12、已知正 $△ A B C$ 的边长为 $4 \sqrt{3}$ ，内切圆圆心为 $I$ ，点 $P$ 满足 $| \vec{I P} | = \sqrt{3}$ ，则 ${\vec{P A}}^{2} + {\vec{P B}}^{2} + {\vec{P C}}^{2} =$ .

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13、若 $z = x + y i (x, y \in R)$ ，则复平面内满足 $| z - i | \leq \sqrt{3}$ 的点Z的集合的图形面积是.

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14、在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2 B C = 2$ ，点 $E$ 是 $C D$ 的中点，将 $△ B C E$ 沿 $B E$ 翻折到 $△ P B E$ ，连接 $A P, D P$ 得到四棱锥 $P - A B E D$ ，在 $△ B C E$ 翻折到 $△ P B E$ 的过程中，二面角 $P - B E - A$ 的大小为 $θ$ ，下列说法正确的是（）

A、当四棱锥 $P - A B E D$ 体积为最大值时， $A E ⊥ P B$ B、当 $θ = \frac{π}{2}$ 时，三棱锥 $P - A B E$ 的外接球表面积为 $4 π$ C、若 $M$ 是 $P B$ 的中点，则存在 $θ$ 使 $E M$ 与平面 $P A D$ 不平行 D、当 $θ = \frac{3}{4} π$ 时， $P A^{2} = 3 + \sqrt{2}$

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15、平面向量 $\vec{a}, \vec{b}$ ，满足 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = 1$ ，对任意实数 $t$ ， $|t \vec{a} + \vec{b}| \geq |\frac{\sqrt{3}}{2} \vec{a} - \vec{b}|$ 恒成立，则（）

A、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{6}$ B、 ${(\vec{a} + t \vec{b})}^{2} + {(\vec{b} - t \vec{a})}^{2}$ 为定值 C、 $| \vec{a} - t \vec{b} |$ 的最小值为 $\frac{1}{4}$ D、 $\vec{a}$ 在 $\vec{a} + \vec{b}$ 上的投影向量为 $\frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$

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16、在 $△ A B C$ 中，点M，N满足 $\vec{B M} = \frac{3}{4} \vec{B C}$ ， $\vec{A N} = \frac{1}{3} \vec{A C}$ ，若 $\vec{A N} = λ \vec{A B} + μ \vec{A M}$ ，则 $λ + μ =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{5}{12}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{3}{4}$

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17、 $\cos 35 ° \cos 145 ° + \cos 125 ° \cos 55 ° =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- 1$ C、1 D、 $\frac{1}{2}$

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18、若空间中四条不同的直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ， $l_{3}$ ， $l_{4}$ 满足 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ， $l_{2} // l_{3}$ ， $l_{1} // l_{4}$ ，则下面结论正确的是（）

A、 $l_{2} ⊥ l_{4}$ B、 $l_{2} // l_{4}$ C、 $l_{2}$ ， $l_{4}$ 既不垂直也不平行 D、 $l_{2}$ ， $l_{4}$ 的位罝关系不确定

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19、对于两个平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，如果有 $\vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{a} \cdot \vec{a} > 0$ ，则称向量 $\vec{a}$ 是向量 $\vec{b}$ 的“迷你向量”.

(1)、若 $\vec{m} = (1, x)$ ， $\vec{n} = (2, 1 - x)$ ， $\vec{m}$ 是 $\vec{n}$ 的“迷你向量”，求实数 $x$ 的取值范围；

(2)、一只蚂蚁从坐标原点 $O (0, 0)$ 沿最短路径爬行到点 $N (n, n)$ 处（ $n \in N$ 且 $n \geq 2$ ）.蚂蚁每次只能沿平行或垂直于坐标轴的方向爬行一个单位长度，爬完第 $i$ 次后停留的位置记为 $P_{i} (1 \leq i \leq 2 n)$ ，设 $M (n - 1, 0)$ .记事件 $T =$ “蚂蚁经过的路径中至少有 $n$ 个 $P_{i}$ 使得 $\vec{O M}$ 是 $\vec{O P_{i}}$ 的迷你向量”.（假设蚂蚁选择每条路径都是等可能的）
①当 $n = 3$ 时，求 $P (T)$ ；
②证明： $P (T) \leq \frac{1}{2 ^{n - 1}}$ .

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20、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面是边长为4的等边三角形， $C C_{1} = 4$ ， $D, E$ 分别是线段 $A C, C C_{1}$ 的中点，点 $C_{1}$ 在平面 $A B C$ 内的射影为点 $D$ .

(1)、求证： $A_{1} C ⊥$ 平面 $B D E$ ；

(2)、设 $G$ 为棱 $B_{1} C_{1}$ 上一点， $C_{1} G = λ C_{1} B_{1}$ ， $λ \in (0, 1)$ .
①若 $λ = \frac{1}{2}$ ，请在图中作出三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 过 $G, B, D$ 三点的截面，并求该截面的面积；
②求二面角 $G - B D - E$ 的取值范围.

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