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相关试卷

1、已知曲线 $C : x^{2} + y^{2} = \sqrt{x^{2} + y^{2}} + x$ ，下列结论正确的是（）

A、曲线C关于x轴对称 B、曲线C上任一点到坐标原点O的距离都不超过2 C、曲线C内部（不含边界）有4个整点（横、纵坐标均为整数的点） D、曲线C构成的封闭图形面积大于 ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ 的面积

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2、已知等式 $a^{b} = e^{a} (a > 0, a \neq 1)$ 其中e是自然对数的底数，将a视为自变量x（ $x > 0$ ， $x \neq 1$ ），b为x的函数，记为 $y = f (x)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (e) = e$ B、 $f (3) < f (π) < f (2)$ C、若方程 $f (|x|) = 2 m$ 有4个不等的实根，则 $m > e$ D、当 $k > e$ 时，若 $f (x) = k$ 的两实根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} > 2 e$

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3、2024年10月央行再次下调人民币存款利率，存款利率下调是为了刺激经济增长促进投资和消费而采取的一种货币政策.下表为某银行近年来的人民币一年定期存款利率：
时间
2018年
2019年
2020年
2021年
2022年
2023年
2024年
利率%
1.55
1.50
1.75
1.75
1.55
1.85
1.65
关于表中的7个存款利率数据，下列结论正确的是（）

A、极差为0.35 B、平均数小于1.65 C、中位数为1.65 D、20%分位数为1.50

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4、已知椭圆 $C_{1}$ ： $\frac{x^{2}}{a_{1}^{2}} + \frac{y^{2}}{b_{1}^{2}} = 1 (a_{1} > b_{1} > 0)$ 和双曲线 $C_{2}$ ： $\frac{x^{2}}{a_{2}^{2}} - \frac{y^{2}}{b_{2}^{2}} = 1 (a_{2} > 0, b_{2} > 0)$ 有公共的焦点，其中 $F_{1}$ 为左焦点，P是 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 在第一象限的公共点，线段 $P F_{1}$ 的垂直平分线经过坐标原点，若 $C_{1}$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，则 $C_{2}$ 的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$ B、 $y = \pm x$ C、 $y = \pm \sqrt{2} x$ D、 $y = \pm \sqrt{3} x$

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5、如图是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若 $A D = B D = 3$ ， $∠ A B C = 120 °$ ，则该圆台的内切球的表面积为（）

A、 $π$ B、 $2 π$ C、 $4 π$ D、 $8 π$

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6、已知 $a = 2 cos 73 °$ ，则 $\frac{2 {sin}^{2} 28 ° - 1}{a \sqrt{4 - a^{2}}} =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{4}$

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7、函数 $f (x)$ 的图象如图所示，则 $f (x)$ 的解析式可能为（）

A、 $f (x) = \frac{10 cos x}{x^{2} + 1}$ B、 $f (x) = \frac{10 sin x}{x^{2} + 1}$ C、 $f (x) = \frac{10 (e^{x} + e^{- x})}{x^{2} + 2}$ D、 $f (x) = \frac{10 (e^{x} - e^{- x})}{x^{2} + 2}$

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8、某市20000名学生参加一次数学测试（满分150分），学生的测试成绩X近似服从正态分布 $N (100, 10^{2})$ ，则测试成绩在 $[90, 100]$ 内的学生人数约为（）
附：（若 $X \sim N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ \leq X \leq μ + σ) \approx 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ \leq X \leq μ + 2 σ) \approx 0.9545$ ）

A、2717 B、2718 C、6827 D、9545

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9、设l，m，n表示不同的直线， $α$ ， $β$ ， $γ$ 表示不同的平面，则下列结论正确的是（）

A、若 $α ⊥ β$ ， $γ ⊥ β$ ，则 $α ⊥ γ$ B、若 $l / / m$ ， $m ⊥ α$ ，则 $l ⊥ α$ C、若 $m ⊥ n$ ， $m ⊥ α$ ， $n / / β$ ，则 $α ⊥ β$ D、若 $α ⊥ β$ ， $m / / α$ ， $n ⊥ β$ ，则 $m / / n$

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10、集合 $A = \{x |lg x \leq 0\}$ ， $B = \{x |2^{x} > 1\}$ ，则 $∁_{R} (A \cap B) =$ （）

A、 $\{x |x \leq 0$ 或 $x > 1\}$ B、 $\{x |x \geq 1\}$ C、 $\{x |x < 0$ 或 $x > 1\}$ D、 $\{x |x > 1\}$

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11、已知i为虚数单位，若 $z i = 1 - i$ ，则复数z在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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12、已知函数 $f (x) = 2 \ln x - (a + 1) x^{2} - 2 a x + 1$ ， $a \in R$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若函数 $f (x)$ 有两个零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、在（2）的条件下，证明： $x_{1} + x_{2} > \frac{2}{a + 1}$ ．

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13、对于定义域为 $D$ 的函数 $y = f (x)$ ，如果存在区间 $[m, n] \subseteq D$ ，同时满足：① $f (x)$ 在 $[m, n]$ 内是单调函数；②当定义域是 $[m, n]$ 时， $f (x)$ 的值域也是 $[m, n]$ ，则称 $[m, n]$ 是该函数的“优美区间”.

(1)、求证： $[0, 2]$ 是函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2}$ 的一个“优美区间”；

(2)、已知函数 $y = h (x) = \frac{(a^{2} + a) x - 1}{a^{2} x}$ （ $a \in R$ ， $a \neq 0$ ）有“优美区间” $[m, n]$ ，当 $a$ 变化时，求出 $n - m$ 的最大值.

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14、设全集 $U = R$ ，集合 $A = \{x |\frac{x - 1}{x - 5} \leq 0\}$ ，非空集合 $B = \{x |2 \leq x \leq 1 + 2 a\}$ ，其中 $a \in R$ ．
（1）若“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”的必要条件，求 $a$ 的取值范围；
（2）若命题“ $\exists x \in B$ ， $x \in ∁_{R} A$ ”是真命题，求 $a$ 的取值范围．

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15、定义在 $(0, + \infty)$ 上的函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，当 $x > 0$ 时， $x f^{'} (x) < 2 ，$ 且 $f (e) = 5$ ，则不等式 $f (x^{2}) - 4 \ln x < 3$ 的解集为．

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16、若 $x_{1} = \frac{π}{3}$ ， $x_{2} = π$ 是函数 $f (x) = \sin ω x (ω > 0)$ 的两个相邻极值点，则 $ω =$ ．

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17、奇函数 $f (x)$ 满足 $f (4 - x) = f (x) ， f (1) = 1$ ，则 $f (5) =$

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18、设函数 $f (x) = {(x - 1)}^{2} (x - 4)$ ，则（）

A、 $x = 1$ 是 $f (x)$ 的极大值点 B、 $f (2 + x) + f (2 - x) = - 4$ C、 $- 4 < f (2 x - 1) < 0$ 的解集为 ${x | 1 < x < 2}$ D、当 $0 < x < \frac{π}{2}$ 时， $f (sin x) > f ({sin}^{2} x)$

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19、下列命题正确的是（）

A、若函数 $f (x)$ 定义域为 $[1, 5]$ ，则函数 $f (2 x + 1)$ 的定义域为 $[0, 2]$ B、 $f (0) = 0$ 是 $f (x)$ 为奇函数的必要不充分条件 C、正实数x，y满足 $3 x + 4 y - 5 x y = 0$ ，则 $x + 3 y$ 的最小值为5 D、函数 $f (x) = \log_{\frac{1}{2}} (- x^{2} + 4 x + 5)$ 在区间 $(3 m - 2, m + 2)$ 内单调递增，则实数m的取值范围为 $[\frac{4}{3}, 2]$

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20、已知函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $[0, 4]$ ，则函数 $y = \frac{f (x + 1)}{\sqrt{x - 1}} + {(x - 2)}^{0}$ 的定义域是（）

A、 $[1, 5]$ B、( $(1, 2) \cup (2, 5)$ C、 $(1, 2) \cup (2, 3]$ D、 $[1, 2) \cup (2, 3]$

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时间	2018年	2019年	2020年	2021年	2022年	2023年	2024年
利率%	1.55	1.50	1.75	1.75	1.55	1.85	1.65