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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} \cos x, x \in (0, \frac{π}{2}], \\ f^{'} (x - \frac{π}{2}), x \in (\frac{π}{2}, + \infty), \end{array}$ 则关于x的方程 $f (x) + \log_{95} x = 0$ 根的个数为．

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2、第33届夏季奥运会于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，某高校欲从4名男生、5名女生中选派5名大学生到奥运会的3个项目当志愿者（每个项目必须有志愿者），则志愿者中至少有4名女生的分配方法共有种（用数作答）．

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3、已知x，y之间的一组数据：
x
1
4
9
16
y
5.5
4
3.5
3
若y与x满足回归方程 $\hat{y} = b \sqrt{x} + 6$ ，则b的值为．

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4、对于可以求导的函数 $y = f (x)$ ，如果它的导函数 $y = f^{'} (x)$ 也是可导函数，那么将 $y = f^{'} (x)$ 的导函数记为 $y = f^{″} (x)$ ．如果 $y = f^{'} (x)$ 有零点，则称其为 $y = f (x)$ 的“驻点”；如果 $y = f^{″} (x)$ 有零点 $x = x_{0}$ ，则称点 $(x_{0}, f (x_{0}))$ 为 $y = f (x)$ 的“拐点”．某同学对三次函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + 1$ 和 $g (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d (a \neq 0)$ 进行探究发现，得到如下命题，其中真命题为：（）

A、 $f (x)$ 在“驻点”处取得最值 B、 $g (x)$ 一定有“拐点”，但 $g (x)$ 不一定有“驻点” C、若 $y = f (x) - t$ 有3个零点，则 $- \frac{7}{3} < t < \frac{13}{6}$ D、存在实数m， $n (m < n)$ ，使得 $g (x)$ 对于任意不相等的两实数 $x_{1}$ ， $x_{2} \in (m, n)$ 都有 $(x_{1} - x_{2}) [g (x_{1}) - g (x_{2})] < 0$

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5、在一个大型公司中，技术部门员工占 $40 %$ ，非技术部门员工占 $60 %$ ．在技术部门中，有 $80 %$ 的员工持有硕士学位，而在非技术部门中，只有 $60 %$ 的员工持有硕士学位．现从该公司随机抽取一名员工．则下列结论正确的是（）

A、抽到的员工是技术部门且持有硕士学位的概率为 $\frac{8}{25}$ B、抽到的员工持有硕士学位的概率为 $\frac{7}{10}$ C、若抽到的员工持有硕士学位，则该员工是技术部门的概率为 $\frac{10}{17}$ D、若抽到的员工持有硕士学位，则该员工是非技术部门的概率为 $\frac{9}{17}$

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6、下列有关样本相关系数r，叙述正确的是（）

A、r的取值范围是 $[- 1, 1]$ B、r的取值范围是 $[0, 1]$ C、 $|r|$ 越接近1，表示两变量的线性相关程度越强 D、 $|r|$ 越接近0，表示两变量的线性相关程度越强

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7、一个直四棱柱的底面为梯形，这个四棱柱的每两个顶点相连形成多条直线，这些直线最多能组成（）对异面直线

A、174 B、180 C、210 D、368

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8、已知函数 $y = \frac{x}{e^{x}}$ 的最大值为a，令 $b = \lg \sin \frac{π}{7}$ ， $c = \ln \sqrt{2}$ ，则a，b，c的大小关系是（）

A、 $a > c > b$ B、 $a > b > c$ C、 $c > b > a$ D、 $c > a > b$

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9、 ${(1 + x)}^{2} + {(1 + x)}^{3} + {(1 + x)}^{4} + \dots + {(1 + x)}^{11}$ 的展开式中，各项系数和与含 $x^{3}$ 项的系数分别是（）

A、4092，495 B、8188，220 C、4092，220 D、8188，495

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10、已知函数 $f (x) = x (e^{x} + a)$ ， $a \in R$ 有大于 $- 1$ 的极值点，则a的取值范围为（）

A、 $(- \frac{1}{e^{2}}, + \infty)$ B、 $(- \infty, - \frac{1}{e^{2}})$ C、 $(0, + \infty)$ D、 $(- \infty, 0)$

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11、某种生态鱼在某个池塘一年的生长量X（单位：克）服从正态分布 $N (300, 25)$ ，则概率 $P (285 < X \leq 305)$ 为（）
参考数据：① $P (μ - σ < X \leq μ + σ) = 0.6827$ ；② $P (μ - 2 σ < X \leq μ + 2 σ) = 0.9545$ ；③ $P (μ - 3 σ < X \leq μ + 3 σ) = 0.9973$

A、0.8186 B、0.84 C、0.8785 D、0.9759

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12、一名同学有4本不同的数学书，5本不同的物理书，3本不同的化学书，现要将这些书全部放在一个单层的书架上，且同科目的书不分开，则不同的放法种数为（）

A、 $A_{3}^{3} A_{4}^{4} A_{5}^{5}$ B、 $A_{4}^{4} A_{5}^{5} A_{6}^{6}$ C、 ${{(A}_{4}^{4})}^{2} A_{5}^{5} A_{3}^{3}$ D、 $A_{4}^{4} A_{5}^{5} {{(A}_{3}^{3})}^{2}$

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13、已知 $P (B |A) = \frac{1}{3}$ ， $P (A B) = \frac{2}{15}$ ，则 $P (A) =$ （）

A、 $\frac{2}{45}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{1}{3}$

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14、根据物理中的胡克定律，弹簧伸长的长度与所受的外力成正比．测得一根弹簧伸长长度x和相应所受外力F的一组数据如下：
编号
1
2
3
4
5
6
$x / cm$
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
$F / N$
3.08
3.76
4.31
5.02
5.51
6.25
据此给出以下结论：
①这两变量不相关；②这两个变量负相关；③这两个变量正相关．
其中所有正确结论的个数是（）

A、3 B、2 C、1 D、0

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15、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，左､右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，直线 $l_{1} : y = k x + 2$ 是 $C$ 与圆 $O : x^{2} + y^{2} = \frac{16}{5}$ 的一条公切线.

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、已知过 $F_{1}$ 的直线 $l_{2}$ 交 $C$ 于 $M, N$ 两点，交 $y$ 轴于 $P$ 点， $\vec{P M} = λ {\vec{M F}}_{1}, \vec{P N} = μ \vec{N F_{1}}$ ，若 $S_{△ O M N} = m S_{△ O M F_{2}} - λ S_{△ O N F_{2}}$ （ $S_{△ O M N}, S_{△ O M F_{2}}, S_{△ O N F_{2}}$ 分别表示 $△ O M N, △ O M F_{2}, △ O N F_{2}$ 的面积）， $- 3 \leq μ \leq - \frac{7}{3}$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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16、已知函数 $f (x) = a x^{3} + x^{2} + b x (a, b \in R)$ 在 $x = 1$ 和 $x = - 3$ 处取得极值.

(1)、求 $a, b$ ；

(2)、 $\forall x \in R, f (x) ⩾ \frac{1}{3} x^{3} - e^{x} + 2 c - 3$ ，求整数 $c$ 的最大值.

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17、如图，三棱锥 $S - A B C$ 的底面 $A B C$ 是边长为2的等边三角形，点 $S$ 在底面 $A B C$ 内的射影为 $△ A B C$ 的垂心.

(1)、证明： $S A ⊥ B C$ ；

(2)、设 $\vec{A P} = λ \vec{A S} (0 < λ < 1)$ ，若 $S B = B C$ ，则当 $λ$ 取何值时，直线 $P B$ 与平面 $A S C$ 所成角的正弦值最大？

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18、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $2 a_{n + 1} = a_{n} + a_{n + 2}, a_{1} = 1, a_{2024} = 2024$ .

(1)、求 $a_{n}$ ；

(2)、证明： $\frac{1}{16} \leq \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{{(3 a_{k} + 1)}^{2}} < \frac{1}{3}$ .

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19、为了解甲､乙两所学校高二年级学生在 $2023 ~ 2024$ 学年度第二学期期末考试中的物理成绩情况，采用随机抽样方法从两所学校各抽取50名学生的物理成绩，并作出了频数分布统计表如下：

分组
$[0, 20)$
$[20, 40)$
$[40, 60)$
$[60, 80)$
$[80, 100]$
甲校
频数
3
4
18
15
10
乙校
频数
2
6
12
18
12

(1)、分别估计甲校物理成绩的 $75 %$ 分位数（精确到0.1）和乙校物理成绩的平均分（同一组中的数据用该区间的中点值代表）：

(2)、根据以上统计数据完成 $2 \times 2$ 列联表（成绩不低于60分的视为及格），并依据 $α = 0.10$ 的独立性检验，判断两所学校的物理成绩的及格率是否存在差异.

甲校
乙校
合计
及格

不及格

合计

参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
参考数据：
$α$
0.10
0.05
0.010
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635

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20、定义函数 $f_{[a, b]} (x) = \{\begin{array}{l} a, x < a, \\ x, a ⩽ x ⩽ b \\ b, x > b, \end{array}$ ，已知函数 $g (x) = {(f_{[- 1, 2]} (x))}^{2} - f_{[3, 4]} (x)$ ，则 $g (x)$ 的值域为
；若函数 $h (x) = g (x) - k x + 1 - 2 k$ 恰有3个零点，则实数 $k$ 的取值范围为.

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编号	1	2	3	4	5	6
$x / cm$	1	1.2	1.4	1.6	1.8	2.0
$F / N$	3.08	3.76	4.31	5.02	5.51	6.25

	分组	$[0, 20)$	$[20, 40)$	$[40, 60)$	$[60, 80)$	$[80, 100]$
甲校	频数	3	4	18	15	10
乙校	频数	2	6	12	18	12

x	1	4	9	16
y	5.5	4	3.5	3

	甲校	乙校	合计
及格
不及格
合计

$α$	0.10	0.05	0.010
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635