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相关试卷

1、复数 $z = a + \frac{a + i}{3 - i}$ (其中 $a \in R$ ， $i$ 为虚数单位)，若复数 $z$ 的共轭复数的虚部为 $- \frac{1}{2}$ ，则复数 $z$ 在复平面内对应的点位于

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2、已知函数 $f (x) = cos x + λ ln (1 + x)$ ，且曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线斜率为1.

(1)、求 $f (x)$ 的表达式；

(2)、若 $f (x) \leq a x + 1$ 恒成立，求 $a$ 的值.

(3)、求证： $\sum_{k = n + 1}^{2 n} f (\sin \frac{1}{k} - 1) < \ln 2, n \in N^{*}$ .

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3、已知 $F$ 为拋物线 $E : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点， $O$ 为坐标原点， $M$ 为 $E$ 的准线 $l$ 上一点，直线 $M F$ 的斜率为 $- 1, △ O F M$ 的面积为 $\frac{1}{16}$ ．已知 $P (3, 1), Q (2, 1)$ ，设过点 $P$ 的动直线与抛物线 $E$ 交于 $A 、 B$ 两点，直线 $A Q, B Q$ 与 $E$ 的另一交点分别为 $C, D$ ．

(1)、求拋物线 $E$ 的方程；

(2)、当直线 $A B$ 与 $C D$ 的斜率均存在时，讨论直线 $C D$ 是否恒过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．

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4、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $\frac{a_{1}}{2} + \frac{a_{2}}{2^{2}} + \dots + \frac{a_{n}}{2^{n}} = 3 - \frac{2 n + 3}{2^{n}} (n \in N^{*})$ ，记数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ．

(1)、求 $S_{n}$ ；

(2)、已知 $k_{n} \in N^{*}$ 且 $k_{1} = 1, k_{2} = 2$ ，若数列 $\{a_{k_{n}}\}$ 是等比数列，记 $\{k_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求使得 $S_{n} \geq T_{n}$ 成立的 $n$ 的取值范围．

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5、在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，四边形 $B C C_{1} B_{1}$ 是菱形， $△ A B C$ 是等边三角形，点 $M$ 是线段 $A B$ 的中点， $∠ A B B_{1} = 60 °$ ．

(1)、证明： $B_{1} C ⊥$ 平面 $A B C_{1}$ ；

(2)、若平面 $A B B_{1} A_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ，求直线 $B_{1} C$ 与平面 $A_{1} M C_{1}$ 所成角的正弦值．

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6、已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 2 a x^{2} + 3 x$ （ $a$ 为常数），曲线 $y = f (x)$ 在点 $A (- 1, f (- 1))$ 处的切线平行于直线 $y = 8 x - 7$ .

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 的极值.

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7、用半径为 $R$ 的圆形铁皮剪出一个圆心角为 $α$ 的扇形，制成一个圆锥形容器．当该容器的容积最大时，扇形的圆心角 $α =$ ．

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8、已知直线 $l$ 经过 $A (- 1, - 1, 0), B (1, - 1, 2)$ 两点，则点 $P (- 1, 1, 2)$ 到直线 $l$ 的距离为．

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9、函数 $f (x) = \ln (2 x + 3) + x^{2}$ 的单调增区间是.

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10、如图，在平面直角坐标系中，直角三角形 $A B C$ 中， $B = \frac{π}{3}$ ，它的两个锐角的顶点A和B分别在x正半轴、y正半轴上滑动，则下列结论正确的是（　　）

A、点C在直线 $y = \frac{\sqrt{3}}{3} x$ 上 B、点C在直线 $y = \sqrt{3} x$ 上 C、点C的轨迹长度等于 $A C$ D、点C的轨迹长度等于 $B C$

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11、已知数列{ $a_{n}$ }中， $a_{2} = 2$ ， $a_{6} = 32$ ，下列说法正确的是（）

A、若{ $a_{n}$ }是等比数列，则 $a_{4}$ =-8或8 B、若{ $a_{n}$ }是等比数列，则 $a_{5} = 16$ 或-16 C、若{ $a_{n}$ }是等差数列，则 $a_{4}$ =17 D、若{ $a_{n}$ }是等差数列，则公差为 $\frac{15}{2}$

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12、如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝ $\sqrt{2}$ ， AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE.则M点的坐标为（）

A、(1，1，1) B、 $(\frac{\sqrt{2}}{3}, \frac{\sqrt{2}}{3}, 1)$ C、 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, 1)$ D、 $(\frac{\sqrt{2}}{4}, \frac{\sqrt{2}}{4}, 1)$

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13、已知椭圆 $Γ : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $Γ$ 上一点 $P$ 满足 $P F_{1} ⊥ P F_{2}$ ， A为线段 $P F_{2}$ 的中垂线与 $Γ$ 的交点，若 $△ A P F_{1}$ 的周长为 $\frac{7}{2} a$ ，则 $Γ$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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14、如图是定义在 $(a, b)$ 上的函数 $f (x)$ 的导函数的图象，则函数 $f (x)$ 的极值点的个数为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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15、在空间四边形 $O A B C$ 中， $\overset{⃑}{O A} = \overset{⃑}{a}$ ， $\overset{⃑}{O B} = \overset{⃑}{b}$ ， $\overset{⃑}{O C} = \overset{⃑}{c}$ ，且 $\overset{⃑}{A M} = 2 \overset{⃑}{M B}$ ，则 $\overset{⃑}{M C} =$ （）

A、 $- \frac{1}{3} \overset{⃑}{a} - \frac{2}{3} \overset{⃑}{b} + \overset{⃑}{c}$ B、 $- \frac{2}{3} \overset{⃑}{a} - \frac{1}{3} \overset{⃑}{b} + \overset{⃑}{c}$ C、 $\frac{1}{3} \overset{⃑}{a} + \frac{2}{3} \overset{⃑}{b} - \overset{⃑}{c}$ D、 $\frac{2}{3} \overset{⃑}{a} + \frac{1}{3} \overset{⃑}{b} - \overset{⃑}{c}$

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16、已知函数 $f (x) = e^{x} + \frac{1}{2} a x^{2} - x$ ，记 $g (x) = f^{'} (x)$ ．

(1)、判断 $g (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 存在极值点 $x_{0}$ ，且 $x_{0} > 0$ ，
①求a的取值范围；
②求证： $f (x_{0}) < \frac{3 - x_{0}}{2}$ ．

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17、随着信息技术的飞速进步，大数据的应用领域正日益扩大，它正成为推动社会进步的关键力量．某研究机构开发了一款数据分析软件，该软件能够精准地从海量数据中提取有价值的信息．在软件测试阶段，若输入的数据集质量高，则软件分析准确的概率为0.8；若数据集质量低，则分析准确的概率为0.3．已知每次输入的数据集质量低的概率为0.1．

(1)、求一次数据能被软件准确分析的概率；

(2)、在连续 $n (n \geq 8)$ 次测试中，每次输入一个数据集，每个数据集的分析结果相互独立．设软件准确分析的数据集个数为X．
①求X的方差；
②当n为何值时， $P (X = 8)$ 的值最大?

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18、竹编是某地的地方特色，某地区相关部门对该地居民在过去两年内学习竹编次数进行了详尽统计，然后随机抽取了80名居民的学习数据，现将整理后的结果呈现如下表：
学习竹编次数
0
1
2
3
4
5
6
合计
男
1
3
5
7
9
9
6
40
女
5
6
7
7
6
5
4
40
合计
6
9
12
14
15
14
10
80

(1)、若将这两年学习竹编的次数为3次及3次以上的，称为学习竹编“先锋”，其余的称为学习竹编“后起之秀”．请完成以下2×2列联表，并依据小概率值 $α = 0.1$ 的独立性检验，能否认为性别因素与学习竹编有关系；
性别
学习竹编
合计
后起之秀
先锋
男生
女生
合计

(2)、若将这两年内学习竹编6次的居民称为竹编“爱好者”，为进一步优化竹编技术，在样本的“爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男性人数为Y，求Y的分布列和数学期望．
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$
$α$
0.1
0.05
0.01
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635

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19、设 $x > 0$ ， $f (x) = \ln x$ ， $g (x) = 1 - \frac{1}{x}$ ，两个函数的图象如下图所示．

(1)、过点 $(0, - 1)$ 作 $f (x)$ 的切线l，求l的方程；

(2)、判断 $f (x)$ ， $g (x)$ 的图象与 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 之间的对应关系，根据这些关系，写出一个不等式，并证明．

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20、已知 ${(x + \frac{2}{x^{2}})}^{n} (n \in N^{*})$ 的展开式中所有的二项式系数之和为64．

(1)、求n的值；

(2)、求该展开式的常数项．

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学习竹编次数	0	1	2	3	4	5	6	合计
男	1	3	5	7	9	9	6	40
女	5	6	7	7	6	5	4	40
合计	6	9	12	14	15	14	10	80

性别	学习竹编		合计
性别	后起之秀	先锋	合计
男生
女生
合计

$α$	0.1	0.05	0.01
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635