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相关试卷

1、“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知 $M$ 是 $△ A B C$ 内一点， $△ B M C, △ A M C, △ A M B$ 的面积分别为 $S_{A}, S_{B}, S_{C}$ ，且 $S_{A} \cdot \vec{M A} + S_{B} \cdot \vec{M B} + S_{C} \cdot \vec{M C} = \vec{0}$ ．以下命题正确的有（）

A、若 $S_{A} : S_{B} : S_{C} = 1 : 1 : 1$ ，则 $M$ 为 $△ A M C$ 的重心 B、若 $M$ 为 $△ A B C$ 的内心，则 $B C \cdot \vec{M A} + A C \cdot \vec{M B} + A B \cdot \vec{M C} = \vec{0}$ C、若 $∠ B A C = 45 °, ∠ A B C = 60 °, M$ 为 $△ A B C$ 的外心，则 $S_{A} : S_{B} : S_{C} = 1 : \sqrt{3} : 2$ D、若 $M$ 为 $△ A B C$ 的垂心， $2 \vec{M A} + 3 \vec{M B} + 4 \vec{M C} = \vec{0}$ ，则 $cos ∠ A M B = - \frac{\sqrt{7}}{7}$

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2、正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1， $E 、 F 、 G$ 分别为 $B C, C C_{1}, B B_{1}$ 的中点，则（）

A、直线 $A_{1} G$ 与平面 $A E F$ 平行 B、 $V_{E - A_{1} F G} = \frac{1}{12}$ C、过 $A_{1} C$ 的平面截此正方体所得的截面可能不是四边形 D、过 $A_{1} C$ 的平面截此正方体所得的截面的面积范围是 $[\frac{\sqrt{6}}{2}, \sqrt{2}]$

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3、已知 $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}$ 是夹角为 $\frac{2 π}{3}$ 的单位向量，且 $\vec{a} = \vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}, \vec{b} = \vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $|\vec{a}| = \sqrt{3}$ B、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = - \frac{1}{2}$ C、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\vec{e_{1}}$ 在 $\vec{e_{2}}$ 方向上的投影向量为 $- \frac{1}{2} \vec{e_{2}}$

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4、下列命题是真命题的是（）

A、空间三点可以唯一确定一个平面 B、 $α, β$ 为两个不同的平面，直线 $l \subset α$ ，则“ $l / / β$ ”是“ $α ∥ β$ ”必要不充分条件 C、如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 D、长方体是直平行六面体

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5、如图，四面体各个面都是边长为2的正三角形，其三个顶点在一个圆柱的下底面圆周上，另一个顶点是上底面圆心，则圆柱的体积是（）

A、 $\frac{4 \sqrt{6}}{9} π$ B、 $\frac{4 \sqrt{3}}{9} π$ C、 $\frac{8 \sqrt{6}}{9} π$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3} π$

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6、已知扇形 $A O B$ 的半径为13，以 $O$ 为原点建立如图所示的平面直角坐标系， $\vec{O A} = (13, 0), \vec{O B} = (12, 5)$ ，弧 $A B$ 的中点为 $C$ ，则 $\vec{O C} =$ （）

A、 $(3 \sqrt{13}, 2 \sqrt{13})$ B、 $(\frac{5}{2} \sqrt{26}, \frac{1}{2} \sqrt{26})$ C、 $(4 \sqrt{10}, 3)$ D、 $(\sqrt{153}, 4)$

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7、正四棱台的上、下底面的边长分别为2，8，侧棱长为 $2 \sqrt{5}$ ，则其体积为（）

A、 $84 \sqrt{2}$ B、 $\frac{80 \sqrt{2}}{3}$ C、 $80 \sqrt{2}$ D、 $28 \sqrt{2}$

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8、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，面积为 $S$ ，若 $\sqrt{3} b \sin A = a \cos B$ ， $6 S = \sqrt{3} \vec{A B} \cdot \vec{A C}$ ，则 $△ A B C$ 的形状是（）

A、等腰三角形 B、直角三角形 C、正三角形 D、等腰直角三角形

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9、下列结论正确的是（）

A、若直线 $l$ 不平行于平面 $α$ ，且 $l ⊄ α$ ，那么 $α$ 内存在一条直线与 $l$ 平行 B、已知平面 $α$ 和直线 $l$ ，则 $α$ 内至少有一条直线与 $l$ 垂直 C、如果两个平面相交，则它们有有限个公共点 D、棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等

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10、已知 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ 是非零向量，则“ $\vec{a} = \vec{b}$ ”是“ $\vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{c}$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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11、已知向量 $\vec{a} = (1, - 1), \vec{b} = (m, 2)$ ，若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ （）

A、 $- 2$ B、2 C、 $- 4$ D、4

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12、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对边分别为 $a, b, c$ ，且 $a = \sqrt{2}, b = 1, A = 45 °$ ， $B =$ （）

A、 $30 °$ B、 $30 °$ 或 $150 °$ C、 $60 °$ D、 $60 °$ 或 $120 °$

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13、已知函数 $f (x) = e^{x - 1} + a \ln x - \frac{2}{a} x$ ， $a \in R$

(1)、当 $a = - 2$ 时，求 $f (x)$ 的最小值；

(2)、若 $f (x)$ 在定义域内单调递增，求实数a的取值范围；

(3)、当 $0 < a < 1$ 时，设 $x_{1}$ 为函数 $f (x)$ 的极大值点，求证： $f (x_{1}) < \frac{1}{e}$ .

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14、已知抛物线 $Γ$ ： $y^{2} = 2 p x$ （ $p > 0$ ）的焦点为F，A，B是抛物线 $Γ$ 上两点（A，B互异）.

(1)、若 $\vec{A F} = \vec{F B}$ ，且 $|A B| = 2$ ，求抛物线 $Γ$ 的方程.

(2)、O为坐标原点，G为线段 $A B$ 中点，且 $|O G| = \frac{1}{2} |A B|$ .
（ⅰ）求证：直线 $A B$ 过定点；
（ⅱ）x轴上的定点E满足 $E O$ 为 $∠ A E B$ 的角平分线，连接 $A E$ 、 $B E$ ，延长 $B O$ 交 $A E$ 于点P，延长 $A O$ 交 $B E$ 于点Q，求 $S_{△ O P Q}$ 的最大值（用含p的代数式表示）.

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15、盒中共有3个小球，其中1个黑球，2个红球.每次随机抽取1球后放回，并放入k个同（ $k \in N$ ）色球.

(1)、若 $k = 0$ ，记抽取n次中恰有1次抽中黑球的概率为 $P_{n}$ ，求 $P_{n}$ 的最大值；

(2)、若 $k = 1$ ，记事件 $B_{1}$ 表示抽取第i次时抽中黑球.
（ⅰ）分别求 $P (B_{1} {\bar{B}}_{2} {\bar{B}}_{3})$ ， $P ({\bar{B}}_{1} B_{2} {\bar{B}}_{3})$ ， $P ({\bar{B}}_{1} {\bar{B}}_{2} B_{3})$ ；
（ⅱ）结合上述分析，请直接写出抽取n次中恰有2次抽中黑球的概率.

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16、如图，五面体ABCDEF中，已知面 $A D E ⊥$ 面 $C D E F$ ， $A B / / C D / / E F$ ， $|A D| = |A E|$ ， $C D ⊥ A D$ .

(1)、求证： $A B ⊥ A E$ .

(2)、若 $|A B| = 2 |C D| = 2 |E F| = 4$ ， $∠ A B C = ∠ A E D = \frac{π}{3}$ ，点P为线段 $A F$ 中点，求直线 $B P$ 与平面 $B D F$ 夹角的正弦值.

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17、已知 $△ A B C$ 面积为 $S$ ，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，请从以下条件中任选一个，解答下列问题：
① $4 S = \sqrt{3} (a^{2} + b^{2} - c^{2})$ ；
② $c \sin A = \sqrt{3} a \cos \frac{A + B}{2}$ ；
③ $c \sin (A + C) = b \cos (C - \frac{π}{6})$

(1)、求角 $C$ ；

(2)、若 $c = 3$ ， $D$ 是 $A B$ 上的点， $C D$ 平分 $∠ A C B$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\frac{5 \sqrt{3}}{4}$ ，求角平分线 $C D$ 的长.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

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18、已知左、右焦点为 $F_{1} (- c, 0)$ ， $F_{2} (c, 0)$ 的椭圆 $C_{1}$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ），圆 $C_{2}$ ： $x^{2} + y^{2} - \frac{5}{2} c x + c^{2}$ $= 0$ ，点A是椭圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 的交点，直线 $A F_{2}$ 交椭圆 $C_{1}$ 于点B.若 $|A F_{1}| = |A B|$ ，则椭圆的离心率是.

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19、若 $a > 0$ ， $b > 0$ ，则 $\min \{a b, \frac{1}{a^{2} + 4 b^{2}}\}$ 的最大值是.（其中 $min \{a, b\}$ 表示a，b中的较小值）

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20、已知平面向量 $\vec{a} = (1, - 2)$ ， $\vec{a} + \vec{b} = (4, 2)$ ，若 $(\vec{a} + k \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - k \vec{b})$ ，则k的值可以是.（写出一个值即可）

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