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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = 2 a^{x} - e x^{2} (a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ， $e$ 为自然对数的底数 $)$ 恰有两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{1}{e}, e)$ B、 $(0, \frac{1}{e})$ C、 $(e, + \infty)$ D、 $(\frac{1}{e},1) \cup (1,e)$

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2、若 ${(1 - 2 x)}^{2024} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{2024} x^{2024}$ ，则 $|a_{0}| + |a_{1}| + |a_{2}| + \cdot \cdot \cdot |a_{2024}| =$ （）

A、4048 B、 $2^{2024}$ C、1 D、 $3^{2024}$

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3、直线 $y = 2 x + a$ 与曲线 $f (x) = b x^{2} + x - 2 ln x$ 相切于点 $(2, f (2))$ ，则 $a b$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- 2 ln 2$ C、 $- ln 2$ D、 $2 - ln 2$

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4、已知随机变量 $X \sim B (4, p)$ ，若方差 $D (X) = \frac{3}{4}$ ，则 $P (X = 2)$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{128}$ B、 $\frac{9}{256}$ C、 $\frac{27}{256}$ D、 $\frac{27}{128}$

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5、已知函数 $f (x) = sin x + cos x - 2 x$ ，若 $a = f (lg \frac{1}{2}), b = f (ln 3), c = f ({(- 1)}^{0})$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系为（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $b > c > a$ D、 $c > b > a$

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6、求整数的正整数因数时可将其改写成若干个质数的乘积，例如 $12 = 3^{1} \times 2^{2}, 12$ 的正整数因数只需分别从 $\{3^{0}, 3^{1}\}, \{2^{0}, 2^{1}, 2^{2}\}$ 中各选一个元素相乘即可，则500的正整数因数的个数为（）

A、12 B、15 C、16 D、18

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7、已知某独立性检验中，由 $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}, n = a + b + c + d$ 计算出 $χ^{2} = χ_{1}^{2}$ ，若将 $2 \times 2$ 列联表中的数据 $a, b, c, d$ 分别变成 $2 a, 2 b, 2 c, 2 d$ ，计算出的 $χ^{2} = χ_{2}^{2}$ ，则（）

A、 $χ_{2}^{2} = χ_{1}^{2}$ B、 $χ_{2}^{2} = 2 χ_{1}^{2}$ C、 $χ_{1}^{2} = 2 χ_{2}^{2}$ D、 $χ_{2}^{2} = 4 χ_{1}^{2}$

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8、若函数 $f (x) = e^{x} - x - 1$ （ $e$ 为自然对数的底数），则 $f^{'} (0) =$ （）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、2

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9、若函数 $f (x)$ 在定义域区间 $[a, b]$ 上连续，对任意 $x_{1}$ ， $x_{2} \in [a, b]$ 恒有 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) \geq \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$ ，则称函数 $f (x)$ 是区间 $[a, b]$ 上的上凸函数，若恒有 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) \leq \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$ ，则称函数 $f (x)$ 是区间 $[a, b]$ 上的下凸函数，当且仅当 $x_{1} = x_{2}$ 时等号成立，这个性质称为函数的凹凸性．上述不等式可以推广到取函数定义域中的任意n个点，即若 $f (x)$ 是上凸函数，则对任意 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， …， $x_{n} \in [a, b]$ 恒有 $f (\frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}}{n}) \geq \frac{f (x_{1}) + f (x_{2}) + \dots + f (x_{n})}{n}$ ，若 $f (x)$ 是下凸函数，则对任意 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， …， $x_{n} \in [a, b]$ 恒有 $f (\frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}}{n}) \leq \frac{f (x_{1}) + f (x_{2}) + \dots + f (x_{n})}{n}$ ，当且仅当 $x_{1} = x_{2} = \dots = x_{n}$ 时等号成立．应用以上知识解决下列问题：

(1)、判断函数 $f (x) = x^{2} + 1 (x \in R)$ 在定义域上是上凸函数还是下凸函数（说明理由）；

(2)、证明 $h (x) = \sin x$ ， $x \in (0, π)$ 上是上凸函数；

(3)、若A、B、C、 $D \in (0, π)$ ，且 $A + B + C + D = π$ ，求 $\sin A + \sin B + \sin C + \sin D$ 的最大值．

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10、已知函数 $f (x) = - 1 + 4 \sin (x + \frac{π}{6}) \cos x (x \in R)$

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小值，以及 $f (x)$ 取得最小值时x的集合；

(2)、已知 $\frac{π}{2} < β < α < π$ ， $f (\frac{α - β}{2} - \frac{π}{12}) = \frac{8}{5}$ ， $f (\frac{β}{2} + \frac{π}{6}) = - \frac{10}{13}$ ，求 $\cos α$ 的值．

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11、已知在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $\frac{\sin C}{a + b} = \frac{\cos (\frac{π}{2} - A) - \sin B}{a - c}$

(1)、求角B；

(2)、若点D在 $A C$ 上， $B D$ 为 $∠ A B C$ 的角平分线， $B D = 2 \sqrt{3}$ ，求 $2 a + c$ 的最小值．

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12、2024年5月3日，搭载嫦娥六号探测器的长征五号遥八运载火箭，在中国文昌航天发射场成功发射，这是我国航天器继嫦娥五号之后，第二次实现月球轨道交会对接，为普及探月知识，某校开展了“探月科普知识竞赛”活动，现从参加该竞赛的学生中随机抽取了80名，统计他们的成绩（满分100分），其中成绩不低于80分的学生被评为“探月达人”，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图．

(1)、估计参加这次竞赛的学生成绩的 $75 %$ 分位数；

(2)、若在抽取的80名学生中，从成绩在 $[70, 80)$ ， $[80, 90)$ ， $[90, 100]$ 中采用分层抽样的方法随机抽取6人，再从这6人中选择2人，求被选中的2人均为“探月达人”的概率．

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13、已知向量 $\vec{a} = (- 1, 4)$ ， $\vec{b} = (2, - 1)$

(1)、求 $|\frac{5}{7} \vec{a} - \frac{8}{7} \vec{b}|$ ；

(2)、若向量 $\vec{c} = (2, m)$ ，向量 $m \vec{a} + \vec{c}$ 与向量 $\vec{a} + m \vec{b}$ 共线，求m的值．

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14、窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，如图是一个正八边形的窗花，从窗花图中抽象出的几何图形是一个正八边形，正八边形 $A B C D E F G H$ 的边长为4，P是正八边形 $A B C D E F G H$ 内的动点（含边界），则 $\vec{A P} \cdot \vec{A B}$ 的取值范围为．

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15、若函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ $(A > 0, ω > 0, | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图像如图所示，则函数 $y = f (x)$ 的解析式为．

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16、已知角α的终边经过点 $P (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，则 $\tan α$ 的值为．

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17、将函数 $y = \sin x + 1$ 图象上所有的点向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位，再把所得各点的横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2 π}$ （纵坐标不变）得到函数 $y = f (x)$ 的图象，则下列关于 $y = f (x)$ 说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为1 B、 $f (x)$ 在 $[- \frac{5 π}{12}, \frac{π}{12}]$ 上为增函数 C、对于任意 $x \in R$ 都有 $f (x + \frac{2}{3}) + f (- x) = 2$ D、若方程 $f (\frac{1}{2} ω x) = 1 (ω > 0)$ 在 $[0, 2)$ 上有且仅有4个根，则 $ω \in [\frac{11}{6}, \frac{7}{3}]$

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18、已知事件A、B发生的概率分别为 $P (A) = \frac{1}{3}$ ， $P (B) = \frac{1}{4}$ ，则下列说法正确的是（）

A、若A与B相互独立，则 $P (A \cup B) = \frac{1}{2}$ B、若 $P (A \bar{B}) = \frac{1}{4}$ ，则事件A与 $\bar{B}$ 相互独立 C、若A与B互斥，则 $P (A \cup B) = \frac{1}{2}$ D、若B发生时A一定发生，则 $P (A B) = \frac{1}{4}$

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19、已知复数 $z = 2 + 3 i$ （ $i$ 是虚数单位），则下列正确的是（）

A、 $|z| = \sqrt{13}$ B、z的虚部是3 C、若 $z + t i$ 是实数，则 $t = 0$ D、复数z的共轭复数为 $\bar{z} = - 2 + 3 i$

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20、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ， $f (x + y) = f (x) + f (y) - 2$ ，则（）

A、 $f (0) = 0$ B、函数 $f (x) - 2$ 是奇函数 C、若 $f (2) = 2$ ，则 $f (2024) = - 2$ D、函数 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 单调递减

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